1、 动态电路分析方法动态电路分析方法?一阶电路（一阶微分方程）一阶电路（一阶微分方程）第六章第六章 一阶电路一阶电路 电阻电路（代数方程）电阻电路（代数方程）分析方法：分析方法：KCL、KVL、VCR6-1 分解方法在动态电路分析中的应用分解方法在动态电路分析中的应用6-2 零状态响应零状态响应6-4 零输入响应零输入响应6-5 线性动态电路的叠加原理线性动态电路的叠加原理 6-6 三要素法三要素法6-3 阶跃响应阶跃响应 冲激响应冲激响应第六章第六章 一阶电路一阶电路6-7 瞬态和稳态瞬态和稳态6-8 正弦激励的过渡过程和稳态正弦激励的过渡过程和稳态第六章第六章 一阶电路一阶电路零输入响应零输
2、入响应 零状态响应零状态响应 全响应全响应重点内容重点内容三要素法三要素法时间常数时间常数 固有频率固有频率第六章第六章 一阶电路一阶电路 含有储能元件的动态电路中的电压电流仍然含有储能元件的动态电路中的电压电流仍然受到受到KCL、KVL的拓扑约束和元件特性的拓扑约束和元件特性VCR的约的约束。一般来说，根据束。一般来说，根据KCL、KVL和和VCR写出的电写出的电路方程是一组微分方程。路方程是一组微分方程。由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。由由n阶微分方程描述的电路称为阶微分
3、方程描述的电路称为n阶电路。阶电路。第六章第六章 一阶电路一阶电路描述一阶动态电路的方程是一阶线性微分方程：描述一阶动态电路的方程是一阶线性微分方程：10()0dxaa xe ttdt 注注：因本章所讨论的仍是线性电路，因此，线性电因本章所讨论的仍是线性电路，因此，线性电路中所阐述的部分分析方法和定理仍然适用。路中所阐述的部分分析方法和定理仍然适用。动态电路的分析方法动态电路的分析方法（1）根据）根据KVL、KCL和和VCR建立微分方程建立微分方程（2）求解微分方程）求解微分方程第六章第六章 一阶电路一阶电路例：列出所示电路的一阶微分方程。例：列出所示电路的一阶微分方程。得到得到 CCSd()
4、()()dutRCututt 这是常系数非齐次一阶微分方程，图这是常系数非齐次一阶微分方程，图(a)是是一阶电路。一阶电路。在上式中代入在上式中代入:ttuCtid)(d)(CSRCC()()()()()u tututRi tut解：对于图解：对于图(a)所示所示RC串联电路，可以写出以下方程串联电路，可以写出以下方程 第六章第六章 一阶电路一阶电路 对于图对于图(b)所示所示RL并联电路，可以写出以下方程并联电路，可以写出以下方程 SRLLL()()()()()i titi tGu ti t 在上式中代入在上式中代入：ttiLtud)(d)(LL 得到得到LLSd()()()ditGLiti
5、tt 这是常系数非齐次一阶微分方程。图这是常系数非齐次一阶微分方程。图(b)是是一阶电路。一阶电路。第六章第六章 一阶电路一阶电路例：电路如图所示，以例：电路如图所示，以iL为变量列出电路的微分方程。为变量列出电路的微分方程。含有多个电阻电路元件时，怎么处理？含有多个电阻电路元件时，怎么处理？第六章第六章 一阶电路一阶电路解一：列出网孔方程解一：列出网孔方程(2)0dd(1)(L2L12SL2121iRtiLiRuiRiRR 由式由式(2)求得求得 L1L2ddiLiiRt 代入式代入式(1)得到得到 SL2L21L221)(dd)(uiRiRRtiRLRR 整理整理S12LL121()ddu
6、RRLiiR RtR第六章第六章 一阶电路一阶电路6-1 分解方法与动态电路分析分解方法与动态电路分析回忆前面的分解方法，求解非线性电路回忆前面的分解方法，求解非线性电路N2，动态元件，动态元件解二：将含源电阻单口用诺顿等效电路代替，得到图解二：将含源电阻单口用诺顿等效电路代替，得到图(b)电电 路，其中路，其中1SSC2121o RuiRRRRR6-1 分解方法与动态电路分析分解方法与动态电路分析 按照按照KCL和电阻、电感的和电阻、电感的VCR，可得，可得 S12L121()ddLuRRLiiR RtR 这是常系数非齐次一阶微分方程，图这是常系数非齐次一阶微分方程，图(a)是一阶电路。是一
7、阶电路。6-1 分解方法与动态电路分析分解方法与动态电路分析 一阶电路可以用常系数非齐次一阶微分方程描述，动一阶电路可以用常系数非齐次一阶微分方程描述，动态电路的分析转化为微分方程的求解。态电路的分析转化为微分方程的求解。()()()()()()()()()()()()COCOCCOCSCLO LOCLOLSCdutR CututdtdutCG utitdtdi tLR i tutdtdi tG Li titdt 微分方程的求解，结合电容和电感的初始条件，即可求微分方程的求解，结合电容和电感的初始条件，即可求得状态变量得状态变量 ，再利用置换定理即可求解整个电路。，再利用置换定理即可求解整个电
8、路。(),()CLuti t6-1 分解方法与动态电路分析分解方法与动态电路分析6-2 零状态响应零状态响应KRUS+_CCuit=t000,()cttu t电容初始电压电容初始电压 0tt等效电路等效电路 RUS+_C()Cut0()cu t1()u t()Cit0tt等效电路中存在两等效电路中存在两个独立源，可利用个独立源，可利用叠加定理求解叠加定理求解 叠加定理叠加定理RUS+_C0tt()Cut()CitRC()Cut0()cu t1()u t()Cit零状态响应零状态响应：初始状态为零，输入单独初始状态为零，输入单独作用作用零输入响应零输入响应：输入为零，初始状态单独输入为零，初始状
9、态单独作用作用全响应全响应零输入响应零状态响应零输入响应零状态响应6-2 零状态响应零状态响应列写微分方程列写微分方程SCCUudtduRC(0)0Cu1CSCdudtUuRC()1SCSCd UudtUuRC1ln()SCUutkRCR RU US S+_ _C C0tt()Cut()Cit求解求解()1()0cScdu tUutdtRC6-2 零状态响应零状态响应1ln()SCUutkRC(0)0lnCSukU 1ln()lnSCSUuUtRC 1tSCRCSUueU11()(1)0tRCSCStRCSutUU eUet6-2 零状态响应零状态响应()(1)0tRCcSu tUetRC电路
10、的零状态响应曲线电路的零状态响应曲线tRCe指数项指数项时间常数时间常数RC6-2 零状态响应零状态响应指数函数指数函数6-2 零状态响应零状态响应响应的波形曲线响应的波形曲线()(1)tRCCSutUe()()(0)ttCSRCRCCCdutUitCeiedtRuC是连续的，是连续的，iC是不连续的是不连续的6-2 零状态响应零状态响应能量关系能量关系电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。储存在电容中。221SCU 221SCU电容储存：电容储存：电源提供能量：电源提供能量：20dSRCtSSCUteRUU 电阻消耗
11、：电阻消耗：tRRUtRiRCSted)(d2002 RC+-US6-2 零状态响应零状态响应RUS+_0tt()Lut()Li tLRL串联电路串联电路()(1)RtSLLUi teR时间常数时间常数LR6-2 零状态响应零状态响应RL、RC串联电路零状态响应分析串联电路零状态响应分析()(1)()(1)RtSLLRtLLUi teRie时间常数时间常数LR()(1)()(1)tRCCStRCCutUeue稳态值稳态值：电容开路，电感短路：电容开路，电感短路()CSuU()SLUiR RC零状态响应线性：比例性、叠加性零状态响应线性：比例性、叠加性6-2 零状态响应零状态响应例例 电路如图电
12、路如图(a)所示，已知电容电压所示，已知电容电压uC(0-)=0。t=0 打开开关，求打开开关，求t 0的电容电压的电容电压uC(t),电容电流电容电流iC(t)以及以及 电阻电流电阻电流i1(t)。0)0(CuV120ocUuC(0-)=0 300oR6-2 零状态响应零状态响应解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到 0)0()0(CCuu 先将连接于电容两端的含源电阻单口网络等效于戴维先将连接于电容两端的含源电阻单口网络等效于戴维南等效电路，得到图南等效电路，得到图(b)所示电路，其中所示电路，其中V120ocU 300oR 电路的时间
13、常数为电路的时间常数为 64o300 103 10 s300 sR C 当电路达到新的稳定状态时，电容相当于开路，由此求得当电路达到新的稳定状态时，电容相当于开路，由此求得 V120)(ocCUU可以得到可以得到)0(Ae4.0e103112010dd)()0(V)e1(120)e1()(4441031 1031 46CC1031 ocCttuCtitUtutttt为了求得为了求得i1(t)，根据图（根据图（a）所示电路，用所示电路，用KCL方程得到方程得到)0(A)e4.01()()(41031 CS1ttiItit6-2 零状态响应零状态响应例例 电路如图电路如图(a)所示，已知电感电流所
14、示，已知电感电流iL(0-)=0。t=0闭合开关，求闭合开关，求t 0的电感电流和电感电压。的电感电流和电感电压。0)0(Li6-2 零状态响应零状态响应解：开关闭合后的电路如图解：开关闭合后的电路如图(b)所示，由于开关闭合瞬间电所示，由于开关闭合瞬间电 感电压有界，电感电流不能跃变，即感电压有界，电感电流不能跃变，即 0)0()0(LLii 将图将图(b)中连接电感的含源电阻单口网络用诺顿等效电中连接电感的含源电阻单口网络用诺顿等效电路代替，得到图路代替，得到图(c)所示电路。由此电路求得时间常数为所示电路。由此电路求得时间常数为 s05.0s84.0oRLA)e1(5.1)(20Ltti
15、可以得到可以得到 20L2020()1.5(1 e)A(0)d()0.4 1.5 20e12eV(0)dtttLLi ttiu tLtt 假如还要计算电阻中的电流假如还要计算电阻中的电流i(t)，可以根据图可以根据图(b)电路，电路，用欧姆定律求得用欧姆定律求得 2020L36()3612e()(1.50.5e)A2424ttuti t6-3 6-3 阶跃响应阶跃响应 冲激响应冲激响应单位阶跃函数单位阶跃函数定义定义 0)(10)(0)(ttt t(t)01单位阶跃函数的延迟单位阶跃函数的延迟 )(1)(0)(000tttttt t(t-t0)t001t=0合闸合闸 i(t)=Is()tIsK
16、)(tiu(t)(tIS KEu(t)u(t)(tE（1）在电路中模拟开关的动作）在电路中模拟开关的动作t=0合闸合闸 u(t)=E)(t 单位阶跃函数的作用单位阶跃函数的作用6-3 6-3 阶跃响应阶跃响应 冲激响应冲激响应（2）延迟一个函数）延迟一个函数tf(t)0)(sintt tf(t)0)()sin(00tttt t0（3）起始一个函数）起始一个函数tf(t)0t0)()sin(tt)()sin(0ttt 6-3 6-3 阶跃响应阶跃响应 冲激响应冲激响应由单位阶跃函数可组成复杂的信号，分段信号由单位阶跃函数可组成复杂的信号，分段信号例例 1)()()(0ttttf 1t0tf(t)
17、0(t)tf(t)10t0-(t-t0)6-3 6-3 阶跃响应阶跃响应 冲激响应冲激响应1t1 f(t)0243)4()3()1(2)(ttttf 例例 2)()()1(ttu 例例 3已知电压已知电压u(t)的波形如图，的波形如图，试画出下列电压的波形。试画出下列电压的波形。)1()2()4(ttu)1()1()3(ttu)()1()2(ttu t1 u(t)022t1 u(t)011tt1 u(t)01tt1 02u(t)t1021u(t)6-3 6-3 阶跃响应阶跃响应 冲激响应冲激响应iC +uCRuC(0)=0)(t)()1()(tetuRCtC )(1)(teRtiRCt tuc
18、1t0R1i激励为单位阶跃函数时，电激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。路中产生的零状态响应。阶跃响应阶跃响应6-3 6-3 阶跃响应阶跃响应 冲激响应冲激响应tiC0激励在激励在 t=t0 时加入，时加入，则响应从则响应从t=t0开始。开始。iC(t-t0)C +uCR+-t-t0RCCeRi-=1(t-t0)R1t0注意注意RCeR1 t(t-t0)不要写为不要写为时不变性时不变性6-3 6-3 阶跃响应阶跃响应 冲激响应冲激响应)5.0(10)(10 ttuS 例例 1 1 求图示电路中电流求图示电路中电流 i iC C(t t)10k10kus+-ic100 FuC(0-)=
19、010k10k+-ic100 FuC(0-)=0)(10t 10k10k+-ic100 FuC(0-)=0)5.0(10 t 0.510t(s)us(V)06-3 6-3 阶跃响应阶跃响应 冲激响应冲激响应+-ic100 FuC(0-)=05k)(5t s5.01051010036 RC 10k10k+-ic100 FuC(0-)=0)5.0(10 t mA)5.0()5.0(2 teitC mA)(2teitC mA)5.0()()5.0(22 teteittC 10k10k+-ic100 FuC(0-)=0)(10t 等效等效6-3 6-3 阶跃响应阶跃响应 冲激响应冲激响应单位冲激函数单
20、位冲激函数定义定义单位冲激函数的延迟单位冲激函数的延迟()()dttdt()0 0tt()1 td 00()0 tttt0()1 tt d 取样性质取样性质()()(0)()f ttft00()()()()f tttf tt6-3 6-3 阶跃响应阶跃响应 冲激响应冲激响应单位冲激响应单位冲激响应单位冲激输入作用下的零状态响应单位冲激输入作用下的零状态响应()s t阶跃响应阶跃响应()()ds th tdt冲激响应冲激响应线性、时不变电路的冲激响应是其阶跃响应的导数线性、时不变电路的冲激响应是其阶跃响应的导数例题见例题见P202P2026-3 6-3 阶跃响应阶跃响应 冲激响应冲激响应6-4
21、6-4 零输入响应零输入响应输入为零时的响应输入为零时的响应1()(0)(1)tRCcu tue RC0()cu t1()u t()Cit()cu t1()()(0)(0)(1)(0)(0)0cctRCcctRCcu tu tuueuuet 注：注：零输入响应是依靠动态元件的初始储能进行的零输入响应是依靠动态元件的初始储能进行的RL电路的零输入响应电路的零输入响应我们以图我们以图(a)电路为例来说明电路为例来说明RL电路零输入响应的计算过程。电路零输入响应的计算过程。L00 LL00()ee (0)d()(0)dtRtLtRtLi tIItiu tLRI eRI ett6-4 6-4 零输入响
22、应零输入响应()(0)0tRCccu tuet1(0)()()=(0)0ttcRCRCCCudu titCeietdtR零输入响应都是随时间衰减的，衰减速度与时间常数有关。零输入响应都是随时间衰减的，衰减速度与时间常数有关。响应的组成：响应的组成：初始值、时间常数初始值、时间常数固有频率固有频率1电路零输入响应分析电路零输入响应分析线性：比例性线性：比例性 LLLLLd()(0)e(0)()(0)(0)dRRttLLii titu tLuett6-4 6-4 零输入响应零输入响应例例 电路如图电路如图(a)所示，已知电容电压所示，已知电容电压uC(0-)=6V。t=0闭合开关，求闭合开关，求t
23、 0的电容电压和电容电流。的电容电压和电容电流。解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到 V6)0()0(CCuu6-4 6-4 零输入响应零输入响应 戴维南等效电阻为戴维南等效电阻为 o6 3810k63R 得到图得到图(b)所示电路，其时间常数为所示电路，其时间常数为 36210 105 10 5 100.05sRC 6-4 6-4 零输入响应零输入响应 20CC()(0)e6eV(0)ttu tut 电阻中的电流电阻中的电流iR(t)可以用与可以用与iC(t)同样数值的电流源代替同样数值的电流源代替电容，用电阻并联的分流公式求得电容，用
24、电阻并联的分流公式求得 iR(t)2020RC31()()0.6e0.2emA3 63tti ti t CCC20320d(0)()ed6e10 100.6emA(0)tttuuitCtRt 6-4 6-4 零输入响应零输入响应例例 电路如图电路如图(a)所示，开关所示，开关S1连接至连接至1端已经很久，端已经很久，t=0时开关时开关S由由1端倒向端倒向2端。求端。求t 0时的电感电流时的电感电流iL(t)和电感电压和电感电压uL(t)。解：开关转换瞬间，电感电流不能跃变，故解：开关转换瞬间，电感电流不能跃变，故 A1.0)0()0(LLii6-4 6-4 零输入响应零输入响应计算戴维南等效电
25、阻，得到的电路如图计算戴维南等效电阻，得到的电路如图(b)所示。该电路的所示。该电路的时间常数为时间常数为 30.210 s1ms200LR得到电感电流和电感电压为得到电感电流和电感电压为333 10LL31010LL()(0)e0.1eA (0)d()0.20.1 10 e20eV (0)dttttititiutLtt 全响应全响应线性一阶电路的叠加定理线性一阶电路的叠加定理全响应零状态响应零输入响应全响应零状态响应零输入响应零状态响应线性零状态响应线性零输入响应线性零输入响应线性作用：利用叠加定理求解动态电路作用：利用叠加定理求解动态电路6-5 6-5 线性动态电路的叠加原理线性动态电路的
26、叠加原理例例 图图(a)所示电路原来处于稳定状态。所示电路原来处于稳定状态。t=0时开关断开，求时开关断开，求t 0的电感电流的电感电流iL(t)和电感电压和电感电压uL(t)。6-5 6-5 线性动态电路的叠加原理线性动态电路的叠加原理零输入响应为零输入响应为Ae25.0e)0()(500 LLttiti零状态响应为零状态响应为)Ae1(2.0)e1()(500 LpLttitiiL(0+)=0.25A 图图(a)电路的微分方程和初始条件为电路的微分方程和初始条件为 CoCocC0d()()(0)d(0)utR CutUttuU 图图(b)电路的微分方程和初始条件为电路的微分方程和初始条件为
27、 LoLscL0d()()(0)d(0)itG LitIttiI6-6 6-6 三要素法三要素法 上述两个微分方程可以表示为具有统一形式的微分方程上述两个微分方程可以表示为具有统一形式的微分方程d()()(0)d(0)f tf tAttf 其通解为其通解为 AKtftftft phe)()()(如果如果 0，在直流输入的情况下，在直流输入的情况下，t时，时，fh(t)0，则有则有)()(CpfAtf 由初始条件由初始条件f(0+)，可以求得可以求得)()0(ffK 于是得到全响应的一般表达式于是得到全响应的一般表达式 oo()(0)()e()(0)/tf tffftR CL R其中或 因而得到
28、因而得到)(e)(fKtft6-6 6-6 三要素法三要素法 这就是这就是直流激励的直流激励的RC一阶电路和一阶电路和RL中的任一响应的中的任一响应的表达式表达式(可以用叠加定理证明可以用叠加定理证明)。其波形曲线如图所示。由。其波形曲线如图所示。由此可见，直流激励下一阶电路中此可见，直流激励下一阶电路中任一响应总是从初始值任一响应总是从初始值f(0+)开始，按照指数规律增长或衰减到稳态值开始，按照指数规律增长或衰减到稳态值f()，响应变响应变化的快慢取决于电路的时间常数化的快慢取决于电路的时间常数 。直流激励下一阶电路全响应的波形曲线直流激励下一阶电路全响应的波形曲线 oo()(0)()e(
29、)(0)/tf tffftR CL R其中或分解方法求解状态变量分解方法求解状态变量利用置换定理求解其他非状态变量利用置换定理求解其他非状态变量响应的响应的特点特点按指数规律变化，有初始值和稳态值，变化过程由时按指数规律变化，有初始值和稳态值，变化过程由时间常数确定。间常数确定。从初始值开始，按指数衰减或增长到稳态值，且同一从初始值开始，按指数衰减或增长到稳态值，且同一电路各支路电流和电压的时间常数是一样的。电路各支路电流和电压的时间常数是一样的。6-6 6-6 三要素法三要素法适用范围：适用范围：（1 1）直流激励；直流激励；（2 2）一阶电路任一支路的电压或电流的（全）响应；）一阶电路任一
30、支路的电压或电流的（全）响应；（3 3）适合于求零输入响应和零状态响应。）适合于求零输入响应和零状态响应。直流激励下一阶电路的全响应取决于直流激励下一阶电路的全响应取决于f(0(0+)，f()和和 这三个要素。只要分别计算出这三个要这三个要素。只要分别计算出这三个要素，就能够确定全响应，而不必建立和求解微分素，就能够确定全响应，而不必建立和求解微分方程。这种方法称为方程。这种方法称为三要素法三要素法。oo()(0)()e()(0)/tf tffftR CL R其中或三要素法三要素法步骤步骤 1.初始值初始值f(0+)的计算的计算 (1)根据根据t0的电路，将的电路，将电容用开路代替或电感用短路
31、代替电容用开路代替或电感用短路代替，得到一个直流电阻电路，再从此电路中计算出稳态值得到一个直流电阻电路，再从此电路中计算出稳态值 f()。3.时间常数时间常数 的计算的计算 先计算与电容或电感连接的线性电阻单口网络的输出先计算与电容或电感连接的线性电阻单口网络的输出电阻电阻Ro，然后用以下公式然后用以下公式 =RoC或或 =L/Ro计算出时间常数。计算出时间常数。6-6 6-6 三要素法三要素法 oo()(0)()e()(0)/tf tffftR CL R其中或 4.将将f(0+)，f()和和 代入下式得到响应的一般表达式代入下式得到响应的一般表达式和画出波形曲线。和画出波形曲线。6-6 6-
32、6 三要素法三要素法(2)电容电压不能跃变电容电压不能跃变 uC(0+)=uC(0-)=8V+-10ViiC+8V-10k0+等效电路等效电路108(0)0.2mA10Ci(1)由由0-电路求电路求 uC(0-)或或iL(0-)+-10V+uC-10k40kuC(0-)=8V(3)由由0+等效电路求等效电路求 iC(0+)iC(0-)=0 iC(0+)例例+-10ViiC+uC-K10k40k求求 iC(0+)6-6 6-6 三要素法三要素法iL(0+)=iL(0-)=2A(0)2 48LuV 例例 iL+uL-L10VK1 4 t=0时闭合开关时闭合开关K,求求 uL(0+)+uL-10V1
33、 4 0+电路电路2A先求先求10(0)214LiA电感电流不能跃变电感电流不能跃变:(0)(0)LLuu注意：6-6 6-6 三要素法三要素法求初始值的步骤求初始值的步骤:1.由换路前电路（一般为稳定状态）求由换路前电路（一般为稳定状态）求 uC(0-)和和 iL(0-)。2.由连续性得由连续性得 uC(0+)和和 iL(0+)。3.画画0+等效电路等效电路。4.由由0+电路求所需各变量的电路求所需各变量的0+值。值。b.电容电容（电感电感）用）用电压源电压源（电流源电流源）替代。）替代。a.换路后的电路换路后的电路取取0+时刻值，方向同原假定的电容电压、时刻值，方向同原假定的电容电压、电感
34、电流方向。电感电流方向。6-6 6-6 三要素法三要素法例例 如图所示电路原处于稳定状态。如图所示电路原处于稳定状态。t=0时开关闭合，时开关闭合，求求t 0的电容电压的电容电压uC(t)和电流和电流i(t)，并画波形图。并画波形图。6-6 6-6 三要素法三要素法 由于开关转换时电容电流有界，电容电压不能跃变，故由于开关转换时电容电流有界，电容电压不能跃变，故 V8)0()0(CCuuC(0)428Vu解：解：1.计算初始值计算初始值uC(0+)6-6 6-6 三要素法三要素法C4 4144()2102 57V1114 4244244u 2.计算稳态值计算稳态值uC()开关闭合后，电路如图开
35、关闭合后，电路如图(b)所示，稳定状态时电容相当所示，稳定状态时电容相当于开路，根据用开路代替电容所得到一个电阻电路，运用于开路，根据用开路代替电容所得到一个电阻电路，运用叠加定理求得叠加定理求得 6-6 6-6 三要素法三要素法o11111442R 时间常数为时间常数为 o1 0.10.1sR C 3.计算时间常数计算时间常数 计算与电容相连接的电阻单口网络的输出电阻计算与电容相连接的电阻单口网络的输出电阻6-6 6-6 三要素法三要素法 4.将将uC(0+)=8V,uC()=7V和和=0.1s得到响应为得到响应为1010C()(8 7)e77 1eV(0)ttu tt 求得电容电压后，电阻
36、电流求得电容电压后，电阻电流i(t)可以利用欧姆定律求得可以利用欧姆定律求得1010c10()10(7 1e)()(1.5 0.5e)A(0)22ttu ti tt()(0)()e()tf tfff6-6 6-6 三要素法三要素法 也可以用叠加定理分别计算也可以用叠加定理分别计算2A电流源，电流源，10V电压源和电压源和电容电压电容电压uC(t)单独作用引起响应之和单独作用引起响应之和C1010()10()()()()022 53.50.5e (1.50.5e)A(0)ttuti ti ti ti ttVe17)(10Cttu6-6 6-6 三要素法三要素法 由于电路中每个响应具有相同的时间常
37、数，由于电路中每个响应具有相同的时间常数，)0(A)e5.05.1(A 5.1e)5.11()(1010ttitt电阻电流电阻电流i(t)还可以利还可以利用三要素法直接求得用三要素法直接求得 V8)0(CuCC10(0)108(0)1A2210()107()1.5A22uiui 6-6 6-6 三要素法三要素法例例 图示电路中，开关转换前电路已处于稳态，图示电路中，开关转换前电路已处于稳态，t=0 时开关时开关S由由1端接至端接至2端，求端，求t0时的电感电流时的电感电流iL(t)，电电 阻电流阻电流i2(t)，i3(t)和电感电压和电感电压uL(t)。6-6 6-6 三要素法三要素法解：三要
38、素法解：三要素法 1.计算电感电流的初始值计算电感电流的初始值iL(0+)直流稳态电路中，电感相当于短路，此时电感电流为直流稳态电路中，电感相当于短路，此时电感电流为L20(0)10mA2imA10)0()0(LLii 开关转换时，电感电压有界。电感电流不能跃变，即开关转换时，电感电压有界。电感电流不能跃变，即6-6 6-6 三要素法三要素法 2.计算电感电流的稳态值计算电感电流的稳态值iL()开关转换后，电感与电流源脱离，电感储存的能量释开关转换后，电感与电流源脱离，电感储存的能量释放出来消耗在电阻中，达到新的稳态时，电感电流为零，放出来消耗在电阻中，达到新的稳态时，电感电流为零，即即0)(
39、Li6-6 6-6 三要素法三要素法 3.计算时间常数计算时间常数 与电感连接的电阻单口网络的等效电阻以及时间常数为与电感连接的电阻单口网络的等效电阻以及时间常数为37o320(10 10)1010k s 1 10 s20 10 1010 10R 4.计算计算iL(t)，uL(t)，i2(t)和和i3(t)。将将iL(0+)=10mA,iL()=0和和=1 10-7s得到电感电流得到电感电流7731010L()(10 100)e0 10emA(0)tti tt 6-6 6-6 三要素法三要素法 然后根据然后根据KCL，KVL和和VCR求出其它电压电流求出其它电压电流)0(mAe5 mAe5mA
40、e10)()()()0(mAe5 1020V100ek20)()()0(V100e e10101010dd)(77777771010103L210310L31010733LLttititittutittiLtuttttttt例例 已知已知uC(0-)=1V,求求t0的的i1(t)和和uC(t).K+-t=02V+-uC(t)4/5F111i1(t)2i1(t)+-解：解：V1)0()0(CCuu作作0+图图+-2V+-1V111i12i1+-0+图图iiiiiiiimmmmm11121 122 222 111 网网孔孔方方程程解之得解之得A6.0)0(1i解之得解之得V5.1)(A5.0)(C
41、1ui求求)()(C1ui图图作作+-2V111i12i1+-+-uCK+-t=02V+-uC(t)4/5F111i1(t)2i1(t)+-0)(22)(211ii111i12i1+-求等效电阻求等效电阻Req+-2V111i12i1+-加流求压法加流求压法+-ui i111112)(11iiuiiiiu 4/5/eqiuRs15445eqCR0 V5.05.1)(0 A 1.05.0 )5.06.0(5.0 )()()()(C11110tetuteeeiiititttt则由三要素法可得则由三要素法可得同理，得同理，得小结小结6-6 6-6 三要素法三要素法习题1：如图（a）所示电路，在t=0
42、时开关S闭合，S闭合前电路已达稳态。求t0时uC(t)和iC(t)。解：（1）求初始值uC(0+)。作t=0时的等效电路如图(b)所示。则有：S(t=0)2F+uC+20 V(a)iC4k 4k 2k VuuCC20)0()0(+uC（0）+20 V(b)4k 2k 作t=0+等效电路如图（c）所示。列出网孔电流方程：20)0(6)0(420)0(4)0(8CCiiii+20 V(c)iC（0+）4k 4k 2k 20 Vi（0+）miC5.2)0(可得：（2）求稳态值uC()、iC()。作t=时稳态等效电路如图（d）所示，则有：0)(1020444)(CCiVu+20 V(d)uC（）4k
43、4k 2k iC（）（3）求时间常数。将电容断开，电压源短路，求得等效电阻为：sRCkR363108 102104444442 (4)根据全响应表达式可得出电容的电压、电流响应分别为：VeetuttC)1(10)1020(10)(125125meetittC1251255.2)05.2(0)(或mAedteddttductittcc12512565.2)1(10102)()(S(t=0)2F+uC+20 V(a)iC4k 4k 2k 响应的分解响应的分解iK(t=0)US+uRC+uCRuC(0)=U0零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应)0(tt)(0ct)c(Ceu)e(1uu0t)e
44、u(uuut)c()c(0)c(C强制分量强制分量(稳态响应稳态响应)自由分量自由分量(暂态响应暂态响应)6-7 6-7 瞬态瞬态 稳态稳态uC-USU0暂态解暂态解uCUS稳态解稳态解U0uc全解全解tuc0全响应全响应=强制分量强制分量(稳态解稳态解)+自由分量自由分量(暂态解暂态解)着眼于动态电路的着眼于动态电路的工作状态工作状态6-7 6-7 瞬态瞬态 稳态稳态全响应全响应=零状态响应零状态响应+零输入响应零输入响应)0()1(0 teUeUuttSC着眼于着眼于因果关系因果关系零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应S(t=0)USC+RuC(0)=U0+S(t=0)USC+RuC(
45、0)=U0S(t=0)USC+RuC(0)=06-7 6-7 瞬态瞬态 稳态稳态)0()1(0 teUeUuttSC零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应US零状态响应零状态响应全响应全响应零输入响应零输入响应U0tuc06-7 6-7 瞬态瞬态 稳态稳态例例t=0 时时,开关开关k打开，求打开，求t 0后的后的iL、uL。零输入响应：零输入响应：零状态响应：零状态响应：全响应：全响应：iLS(t=0)+24V0.6H4+uL820()2(1)AtLite202020()62(1)24AtttLi teee20()6AtLi te/0.6/121/20sL R(0)(0)24/46ALLii
46、6-7 6-7 瞬态瞬态 稳态稳态或求出稳态分量：或求出稳态分量：全响应：全响应：代入初值有：代入初值有：62AA=4()24/122ALi 20()2AtLi tAe6-7 6-7 瞬态瞬态 稳态稳态 讨论一阶电路在正弦信号激励下的响应。对于图所示讨论一阶电路在正弦信号激励下的响应。对于图所示RL串联电路中，在电压源的正弦电压串联电路中，在电压源的正弦电压uS(t)=USmcos(t+u)激励下，以电感电流激励下，以电感电流i(t)为变量的电路方程为为变量的电路方程为 Smdcos()(0)dtuiLiRUtt6-8 正弦激励过渡过程和稳态正弦激励过渡过程和稳态 这是一个线性常系数非齐次一阶
47、微分方程。它的解答这是一个线性常系数非齐次一阶微分方程。它的解答由两部分组成由两部分组成 hp()()()i ti ti t ih(t)是对应齐次微分方程的通解，其形式为是对应齐次微分方程的通解，其形式为ttLRstKKKtieee)(h 式中式中=L/R是电路的时间常数，是电路的时间常数，K是待定常数，由初始是待定常数，由初始条件和输入共同确定。条件和输入共同确定。6-8 正弦激励过渡过程和稳态正弦激励过渡过程和稳态 ip(t)是非齐次微分方程的特解，其形式为是非齐次微分方程的特解，其形式为 为了确定待定常数，将上式代入微分方程中可以得到为了确定待定常数，将上式代入微分方程中可以得到 mms
48、msin()cos()cos()iiuLItRItUt 由此求得由此求得Im和和 i RLLRUIuiarctan )(22Smmpm()cos()ii tIt6-8 正弦激励过渡过程和稳态正弦激励过渡过程和稳态 将将Im和和 i代入式得到代入式得到 RLtLRUKtIKtiutLRitLRarctancos)(ecose)(22Sm m 假如初始条件为零，即假如初始条件为零，即i(0+)=0，代入上式求得待定常数代入上式求得待定常数K RLLRUIKuiarctancos)()cos(22Smm 最后得到电感电流的表达式为最后得到电感电流的表达式为 RLtLRURLLRUtIItiutLRu
49、itLRiarctancos)(earctancos)(cose)cos()(22Sm22Smmm 由此式可以看出，在一阶电路时间常数由此式可以看出，在一阶电路时间常数 0的情况下。的情况下。电感电流的第一项是一个衰减的指数函数，它经过电感电流的第一项是一个衰减的指数函数，它经过(35)的时间基本衰减到零，称为暂态响应。电感电流的第二项的时间基本衰减到零，称为暂态响应。电感电流的第二项是一个按照正弦规律变化的函数，其角频率与激励正弦电是一个按照正弦规律变化的函数，其角频率与激励正弦电源的相同，称为源的相同，称为正弦稳态响应正弦稳态响应。画出电感电流的暂态响应，正弦稳态响应以及完全响画出电感电流
50、的暂态响应，正弦稳态响应以及完全响应。由此曲线可以看出在经过应。由此曲线可以看出在经过(35)的时间后，暂态响应的时间后，暂态响应衰减到零，电感电流的全响应实际上就是按正弦规律变化衰减到零，电感电流的全响应实际上就是按正弦规律变化的正弦稳态响应。这个结论适合于时间常数大于零的任何的正弦稳态响应。这个结论适合于时间常数大于零的任何线性时不变一阶电路，以后还将推广到固有频率实部为负线性时不变一阶电路，以后还将推广到固有频率实部为负数的数的n阶线性时不变动态电路。阶线性时不变动态电路。由图所示曲线还可以看出在时间常数由图所示曲线还可以看出在时间常数 较大时，由于较大时，由于暂态响应衰减较慢，电感电流
