1、 Chap 10 函数列与函数项级数函数列与函数项级数 Chap10 1 一致收敛性一致收敛性一、基本问题一、基本问题对函数列对函数列fn(x),x X.若若fn(x0)收敛收敛,则称则称x0为为收敛点收敛点否则称之为否则称之为发散点发散点.收敛点的全体收敛点的全体D称为称为收敛域收敛域.定义定义1 设设fn(x)的收敛域为的收敛域为D,且且 x D:lim()(),nnfxf x则称则称fn(x)在在D上上(点态点态)收敛收敛,f(x)称为称为极限函数极限函数,记为记为()()Dnfxf x N叙述叙述：()()Dnfxf x,0,(,),:xDNN xnN N|()()|.nfxf x定义
2、定义2 设设un(x)为函数列为函数列,称称121()()()()nnnuxu xuxuxLL为为函数项级数函数项级数.1()()nnkkSxux称为其称为其部分和函数部分和函数.若若()(),DnSxS x 则称则称1()nnux在在D上上(点态点态)收敛收敛.S(x)称为称为和函数和函数，记为，记为1()()nnuxS x即即 问题问题 极限函数极限函数 f(x)(和函数和函数S(x)能否保持能否保持fn(x)(un(x)的的“连续性、可导性、可积性连续性、可导性、可积性”等分析性质？等分析性质？例例1 考察函数列考察函数列(),0,1nnfxxx的极限函数在的极限函数在0,1上的连续性上
3、的连续性.例例2 设设1(),0,1.1nnxfxxn考察其极限函数的导数考察其极限函数的导数及导数函数列的极限函数及导数函数列的极限函数.例例3 设设2()(1),0,1.nnfxnxxx考察其极限函数的考察其极限函数的积分及其积分的极限积分及其积分的极限.二、一致收敛二、一致收敛定义定义3 设设fn(x)为函数列为函数列,若存在若存在f(x)使使0,(),:NNnNxD N|()()|nfxf x则称则称fn(x)在在D上上一致收敛一致收敛于于 f(x),记为记为 nDfxf x 若若 ,nDfxf x 则则 D1 D:1nDfxf x 若若 ,nDfxf x 则则()(),Dnfxf x
4、 反之不然反之不然.f n(x)在在D上上不一致收敛不一致收敛的肯定叙述的肯定叙述:0(),0,:NNf xNnNxDN0|()()|.NnNNfxf x不一致收敛不一致收敛判别法：判别法：或者或者 fn(x)在在D上不点态收敛；上不点态收敛；或者或者 虽虽()(),Dnfxf x 但但fn(x)不一致收敛于不一致收敛于f(x),即即00,:kknxDN0|()()|.knkkfxf x例例4 说明说明2()(1)nnxfxnnx在在(0,+)上不一致收敛上不一致收敛.例例5 讨论讨论22()1nn xfxn x在在D上的一致收敛性上的一致收敛性.(1)D=1,+);(2)D=0,1.三、一致
5、收敛的判别三、一致收敛的判别定理定理(Cauchy一致收敛准则一致收敛准则)fn(x)在在D上一致收敛上一致收敛0,:NnNpxD NN|()()|.npnfxfx 思考思考 在在D上一致收敛的上一致收敛的Cauchy准则？准则？1()nnux1()nnux 结论结论 若若在在D上一致收敛，则有上一致收敛，则有 0nDux 定理定理(确界极限确界极限)limsup|()()|0nnnx DDfxf xfxf x 定理定理(点列极限点列极限):lim|()()|0nnnnnnDfxf xxDfxf x 例例6 讨论讨论2()enn xnfxx在在0,+)上的一致收敛性上的一致收敛性.注注 极限函
6、数极限函数(和函数和函数)难确定难确定,常用常用Cauchy准则准则!极限函数极限函数(和函数和函数)易计算易计算,常用常用定义定义或或确界极限确界极限！常用常用点列极限点列极限判断不一致收敛！判断不一致收敛！命题命题 设设un(x)Ca,b,且且1()nnux在在(a,b)内一致收敛内一致收敛,则则1()nnux在在a,b上上1(),nnu a1()nnu b收敛，且收敛，且思考思考 函数列的对应形式？函数列的对应形式？一致收敛一致收敛.例例7 证明函数项级数证明函数项级数2lnxnnn在在(1,+)上收敛上收敛,但不一致收敛但不一致收敛.定义定义4 设设D为区间为区间,若对若对 闭区间闭区
7、间I D,fn(x)总在总在I上一致收敛上一致收敛,则称则称fn(x)在在D上上内闭一致收敛内闭一致收敛.结论结论 设设fn(x)在在(a,b)内闭一致收敛内闭一致收敛,则则fn(x)在在(a,b)点态收敛点态收敛.又问又问fn(x)在在(a,b)必定一致收敛吗？必定一致收敛吗？例例8 考察考察()nnfxx在在(0,1)的一致收敛性和内闭的一致收敛性和内闭一致收敛性一致收敛性.四、内闭一致收敛四、内闭一致收敛 Chap10 2一致收敛性判别法一致收敛性判别法定理定理(Weierstrass M-判别法判别法)设设 n N,x D:|()|,nnuxM且且1nnM收敛收敛,则则1()nnux在
8、在D上一致收敛上一致收敛 优级数：优级数：1nnM 绝对一致收敛：绝对一致收敛：一致收敛！一致收敛！1|()|nnux1()nnux例例1 判断判断21(1)nnxx在在0,1上的一致收敛性上的一致收敛性定理定理(A-D判别法判别法)设设un(x),vn(x)满足下列两组条件之一：则满足下列两组条件之一：则1()()nnnux vx在在D上一致收敛上一致收敛.(Abel)x D,vn(x)单调单调,且在且在D上上一致有界一致有界,(Dirichlet)1()nnux在在D上一致收敛上一致收敛;x D,vn(x)单调单调,且在且在D上一致趋于上一致趋于0,1()nnux的的Sn(x)在在D上一致
9、有界上一致有界.例例2 判断判断11(1)(1)nnnnxnx在在0,1上的一致收敛性上的一致收敛性例例3 判断判断1sin sinnxnxnx在在0,+)上的一致收敛性上的一致收敛性 Chap10 3一致收敛函数列、函数项一致收敛函数列、函数项级数的性质级数的性质定理定理(连续性连续性)设设fn(x)C(D),且且 nDfxf x ,则则f(x)C(D).等价形式等价形式 00lim limlim limnnxxnnxxfxfx 函数项级数函数项级数 若若un(x)C(D),且且1()nnux一致收敛一致收敛(或内闭一致收敛或内闭一致收敛)于于S(x),则则S(x)C(D).逆否命题逆否命题
10、 若若fn(x)C(D),且且 Dnfxf x,但但()f xC D,则则fn(x)在在D上不一致收敛上不一致收敛.例例1 讨论讨论221(1)nnxx在在R上的一致收敛性上的一致收敛性 思考思考 在在fn(x)C(D)的前提下的前提下,逆命题逆命题成立否？成立否？p 反例反例 考察考察 221nn xfxn x在在0,1上的情形上的情形.定理定理(积分号下取极限积分号下取极限)设设fn(x)Ca,b,且且 ,na bfxf x ,则则 limdlimd()dbbbnnaaannfxxfxxf xx 注注 用到连续性定理用到连续性定理:f Ca,b,从而从而f Ra,b！推论推论(逐项可积性逐
11、项可积性)设设un(x)Ca,b,且且1()nnux在在a,b上一致收敛上一致收敛,则则 11dd.bbnnaannuxxuxx定理定理(微分号下取极限微分号下取极限)设设 ,na bfxf xfn(x)Ca,b,且且fn(x)一致收敛一致收敛,则则f(x)Ca,b,又又 limlim().nnnnfxfxfx推论推论(逐项可微性逐项可微性)设设 满足：满足：1()nnux(2)un(x)Ca,b；1(1)()();nnuxS x1(3)()nnux在在a,b上一致收敛上一致收敛.则则S(x)Ca,b 11().nnnnS xuxux例例4 设设1()enxnf xn(1)求求f(x)的定义域
12、的定义域D;(2)证明证明 在在D上不一致收敛上不一致收敛;1enxnn(3)证明证明f(x)C(D);(4)证明证明 在在D内可逐项求导内可逐项求导,且导函数连续且导函数连续.1enxnn2lnxnnn在在(1,+)上收敛上收敛,但不一致收敛但不一致收敛.例例3 已证已证现记其和函数为现记其和函数为f(x),证明证明:f C(1,+).Chap10小小 结结一、一致收敛判别法一、一致收敛判别法 定义法定义法:|()()|0()nnxDfxf xan Cauchy一致收敛准则一致收敛准则,:|()()|npnnNpxDfxfx N N 确界极限确界极限limsup|()()|0nnx Dfxf
13、 x 命题命题 设设fn(x)Ca,b,且且则则 Weierstrass M 判别法判别法(函数项级数函数项级数)|()|,nnuxM且且1nnM收敛收敛1()nnux一致收敛一致收敛 A D判别法判别法(函数项级数函数项级数)nfx在在(a,b)内一致收敛内一致收敛,nfx在在a,b上一致收敛上一致收敛.二、不一致收敛判别法二、不一致收敛判别法 结论结论不点态收敛不点态收敛 不一致收敛不一致收敛 Cauchy不一致收敛准则不一致收敛准则0,:|()()|nnpnnnnNpxDfxfx N N 点列极限点列极限:|()()|nnnnxDfxf x0()n 命题命题 设设un(x)Ca,b),且且 1nnua发散发散,则则 1nnux 一致收敛的必要条件一致收敛的必要条件1()nnux不一致收敛不一致收敛 连续性定理逆否命题连续性定理逆否命题在在(a,b)内不一致收敛内不一致收敛.nux 0fn(x)C(D),且且f(x)C(D)nDfx ()f x
