1、自动控制原理2009年年11月月中国科学技术大学工业自动化研究所吴刚第第 七七 章章根轨迹法根轨迹法目录目录7.1 引论引论7.2 根轨迹的概念根轨迹的概念7.3 绘制根轨迹的绘制根轨迹的步骤步骤7.4 应用根轨迹法进行参数设计应用根轨迹法进行参数设计7.5 灵敏度与根轨迹灵敏度与根轨迹7.6 三作用（三作用（PIDPID）控制器）控制器7.7 设计实例设计实例7.8 应用控制设计软件分析根轨迹应用控制设计软件分析根轨迹7.9 系列设计案例：磁盘驱动器读取系统系列设计案例：磁盘驱动器读取系统7.10 总结总结习题习题7.17.17.67.6节：节：E7.1E7.1、E7.13E7.13、E7.
2、14E7.14、E7.16E7.16、P7.5P7.5、P7.6P7.6、P7.12P7.12、P7.16P7.16、P7.19P7.197.77.77.107.10节：节：E7.19E7.19、E7.24E7.24、P7.26P7.26、P7.30P7.30、P7.35P7.35、AP7.3AP7.3、AP7.5AP7.5、AP7.10AP7.10、DP7.1DP7.1、DP7.8DP7.8作业说明：题目中要求画根轨迹的请手工作图，作业说明：题目中要求画根轨迹的请手工作图，高阶特征方程的根用高阶特征方程的根用MATLAB求解，在作业本上求解，在作业本上直接写出答案即可，另外要求画除根轨迹以外
3、的直接写出答案即可，另外要求画除根轨迹以外的其他图请用其他图请用MATLAB作图，并集中在一起打印，作图，并集中在一起打印，贴到作业本上。贴到作业本上。闭环控制系统稳定性和瞬态性能与闭环特征方闭环控制系统稳定性和瞬态性能与闭环特征方程的根在程的根在S平面上的位置有直接关系平面上的位置有直接关系通常需要通常需要调整一个或多个系统参数，使闭环特调整一个或多个系统参数，使闭环特征方程的根处于合适的位置征方程的根处于合适的位置当某个参数变化时，需要确定特征根在当某个参数变化时，需要确定特征根在S平面平面上的移动规律，即参数变化时上的移动规律，即参数变化时S平面上的根轨迹平面上的根轨迹根轨迹法根轨迹法r
4、oot locus method1948年年Evans提出。提出。图解法确定图解法确定参数变化时参数变化时S平面上根的变化轨迹平面上根的变化轨迹根轨迹法可以了解特征根对参数变化的灵敏度根轨迹法可以了解特征根对参数变化的灵敏度根轨迹法与根轨迹法与Routh-Hurwitz判据相结合，能够发判据相结合，能够发挥更大的作用挥更大的作用根轨迹法可以用于分析、设计控制系统根轨迹法可以用于分析、设计控制系统7.1 稳定性的概念稳定性的概念闭环系统传递函数：闭环系统传递函数：7.2 根轨迹的概念根轨迹的概念 Y sp sT sR sq s参数参数K可变的闭环控制系统可变的闭环控制系统闭环系统的极点就是特征方
5、程的零点：闭环系统的极点就是特征方程的零点：10KG sKG s为一个可变参数，为系统开环传递函数闭环系统特征方程的根必须满足：闭环系统特征方程的根必须满足：()1|()|10()KG sKG sjKG s ，或：7.2 根轨迹的概念根轨迹的概念即闭环系统极点必须满足：即闭环系统极点必须满足：|11803600,1,2,3,()KG skkKG s，参数参数K变化时，闭环系统极点也随之变化变化时，闭环系统极点也随之变化根轨迹根轨迹root locus某个系统参数（根轨迹增益）某个系统参数（根轨迹增益）变化时，特征方程的根在变化时，特征方程的根在S平面上绘出的路径平面上绘出的路径单位反馈控制系统
6、，增益单位反馈控制系统，增益K为可调参数：为可调参数：7.2 根轨迹的概念根轨迹的概念开环系统零极点：开环系统零极点：1102KKG ss s 闭环系统特征方程的根，即闭环系统极点：闭环系统特征方程的根，即闭环系统极点：22221222011111101010nnnnnnennsssKssssKKKKK ，当时，：，：1，：闭环系统特征方程：闭环系统特征方程：1202SS，没有有限的开环零点增益增益K从从0到到+变化时，根轨迹要满足：变化时，根轨迹要满足：7.2 根轨迹的概念根轨迹的概念|12180,540,()KKG ss sKG s 22121222121111111nnnnnnnnnss
7、sssjsj 时，两个稳定的闭环实极点：，时，两个重合的闭环实极点：，时，一对闭环共轭复极点：，7.2 根轨迹的概念根轨迹的概念11111180180(2)(2)1coscos1/s sKsss sK 时，与某个闭环极点与某个闭环极点S1对应的根轨迹增益对应的根轨迹增益K：111111112|2|2|2s sKKs sssssss为从开环极点0到闭环极点 的向量的幅值为从开环极点到闭环极点 的向量的幅值11|2|Kss对根轨迹上某个点对根轨迹上某个点S1（即闭环极点），有（即闭环极点），有：对根轨迹上某个点对根轨迹上某个点S1（即闭环极点），有（即闭环极点），有：111KKs根轨迹增益时，闭环
8、极点 对应的相角和幅值为满足相角条件，时的根轨迹应当垂直负实轴21eKKKK时，二阶系统根轨迹。根轨迹用粗线，箭头为 增加方向。在根轨迹上，特征方程根用“”表示对于多回路闭环系统，由对于多回路闭环系统，由Mason增益公式：增益公式：7.2 根轨迹的概念根轨迹的概念1,()1Nnn mn mpnn mn m pqsLL LL L LLq 不接触不接触：第 个自回路的增益闭环闭环特征多项式的特征多项式的根，即闭环极点，应满足根，即闭环极点，应满足：1010q ssF sF sj 函数函数F(s)的一般形式：的一般形式：123123MnK szszszszF sspspspsp根轨迹应满足的幅值条
9、件和相角条件根轨迹应满足的幅值条件和相角条件：7.2 根轨迹的概念根轨迹的概念 12121212|1|()180360K szszF sspspF sszszspspkk为整数；所有角度从水平线开始按逆时针方向计算绘制如下二阶系统在参数绘制如下二阶系统在参数a变化时的根轨迹：变化时的根轨迹：7.2 根轨迹的概念根轨迹的概念 1 21121111222110011805400 10KKG ss sajza ssKssj Ksj KsasKssKasKsKs ，特征方程：，开环零点上满足幅值条件、相角条件：，除以因子，可得：变换后系统开环极点在闭环特征根改写特征方程，将改写特征方程，将a变为分子多
10、项式的乘积系数变为分子多项式的乘积系数参数参数a变化时的根轨迹，变化时的根轨迹，a07.2 根轨迹的概念根轨迹的概念211111|sKsj K sj Kass计算某个闭环极点计算某个闭环极点S1对应的参数对应的参数a：在在S2处特征根汇入实轴，此时系统对阶跃输入处特征根汇入实轴，此时系统对阶跃输入有临界阻尼响应，临界阻尼根有临界阻尼响应，临界阻尼根S2对应的参数对应的参数a：222222222sKj Kj KKaK 临界阻尼根参数参数a继续增大超过临界值，闭环特征根分成两继续增大超过临界值，闭环特征根分成两个实根，一个幅值大于个实根，一个幅值大于2，一个幅值小于，一个幅值小于2绘制根轨迹图的七
11、个步骤绘制根轨迹图的七个步骤Step 1：整理特征方程，将待研究的参数：整理特征方程，将待研究的参数K化为化为乘积因子的形式：乘积因子的形式：7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤 10100F sKP sK，将将P(s)用极点多项式、零点多项式用极点多项式、零点多项式表达：表达：11111 00MiinjjnMjijiszKp snMspspKsz，有 个极点、个有限零点7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤111100nMjijiMiispszKKsz 时，有：在在S平面上，用平面上，用“”表示表示P(s)的极点的极点-pi，用，用“”表示表示P(s)的零点的零点-zi当当K=0时，特
12、征方程的根就是时，特征方程的根就是P(s)的极点，即：的极点，即：10njjsp当当K时，特征方程的根就是时，特征方程的根就是P(s)的零点。特的零点。特征方程除以征方程除以K，得：，得：当当K从从0增加到增加到时，特征方程的根轨迹始于时，特征方程的根轨迹始于P(s)的极点，终于的极点，终于P(s)的零点的零点P(s)有有n个极点、个极点、M个有限零点，个有限零点，P(s)在在S平面无平面无穷远处有穷远处有n-M个零点个零点n阶系统有阶系统有n条根轨迹分支，条根轨迹分支，M条根轨迹分支始条根轨迹分支始于于P(s)的极点、终于的极点、终于P(s)的有限零点，的有限零点，n-M条根轨条根轨迹分支始
13、于迹分支始于P(s)的极点、终于无穷远处的的极点、终于无穷远处的P(s)零点零点Step 2：实轴上根轨迹线段的右侧有奇数个：实轴上根轨迹线段的右侧有奇数个P(s)极零点极零点。由相角条件保证。由相角条件保证例例7.1 二阶系统：系统特征方程二阶系统：系统特征方程7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤 122141110KsGH sss 步骤步骤1：特征方程改写为：特征方程改写为：7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤 2222221044ssKP sssss，令：将将P(s)改写为极零点形式：改写为极零点形式：122210(4)042sKKs sP sssz ，乘积增益参数为的极点为、，
14、零点为在在S平面上标出平面上标出P(s)的的极点、零点：极点、零点：7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤步骤步骤2：由相角条件确定实轴上的根轨迹线段：由相角条件确定实轴上的根轨迹线段204sss 111122141143 12122sKs sssK 在处：由幅值条件确定某个根由幅值条件确定某个根S1对应的根轨迹增益对应的根轨迹增益K：7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤322 6Ks 当增益时，另一个根根轨迹增益根轨迹增益K也可以用图解法求取：也可以用图解法求取：根轨迹的分支数根轨迹的分支数SL等于极点的个数等于极点的个数根轨迹与实轴对称根轨迹与实轴对称。因为复数根以成对的共轭。因为复
15、数根以成对的共轭复根出现复根出现Step 3：根轨迹增益：根轨迹增益K时，有时，有N=n-M条根轨条根轨迹分支趋向于无穷远处零点，根轨迹分支的渐近迹分支趋向于无穷远处零点，根轨迹分支的渐近线与实轴交点为线与实轴交点为A，与实轴夹角为，与实轴夹角为A：7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤 1121180012 1nMjijiAApzP sP snMnMkknMnM的极点的零点，考虑根轨迹上无穷远处一点考虑根轨迹上无穷远处一点S，F(s)的相角应为的相角应为180+k360；点；点S与与P(s)所有极点、有限零点相所有极点、有限零点相距无穷远，可以认为所有极点和有限零点到点距无穷远，可以认为所
16、有极点和有限零点到点S的向量的相角都相等，记为的向量的相角都相等，记为，全部相角和为全部相角和为（n-M），n、M分别为极点、有限零点个数分别为极点、有限零点个数特征方程可化为：特征方程可化为：7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤 123123110110111110 1 1MnMMMnnnMnMinjijF sK szszszszspspspspsbsbKsasabzap 其中：，1803601802180211800,1,2,1AAnMkkkknMnM，7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤111011011111111111111n MMMMnnnM nM nMnM nMnM nM
17、nnMsbsbKsasasbasKKMnssbasMnKbaabsKMnKMn 做长除法，有：当时，满足上式的 必然趋于无穷远上式与下式前两项相同，时可以用下式近似：7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤11111211111111 asymptote centroid21180011n Mn Mn MnMkjnMn MnMjijinMAAabsKMnabKenMnMspzabnMnMkknMnM 这是条根轨迹在时的渐近线方程，这些渐近线共交实轴于一点，渐近线质心：与实轴夹角为：，例例7.27.2 四阶系统：特征方程为：四阶系统：特征方程为：7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤 2111
18、24K sGH ss ss 在在S平面标出平面标出GH(s)极零点，实轴上根轨迹右侧极零点，实轴上根轨迹右侧有奇数个极零点：有奇数个极零点：n=4，M=1，n-M=3有三条渐近线有三条渐近线7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤2118021 600124 106011802300 AAAAkkkkkk，渐近线与实轴交叉点的坐标：渐近线与实轴交叉点的坐标：02441934 13A 渐近线与实轴的夹角：渐近线与实轴的夹角：根轨迹起始于极点，应有两条根轨迹始于双重根轨迹起始于极点，应有两条根轨迹始于双重极点极点s=-4Step 4：确定根轨迹与虚轴的交点：确定根轨迹与虚轴的交点方法一：对特征方程
19、构造方法一：对特征方程构造Routh阵列，如果某阵列，如果某一行元素全为零，则有与原点对称的根；用零元一行元素全为零，则有与原点对称的根；用零元素行的前一行的系数构造辅助多项式素行的前一行的系数构造辅助多项式U(s)，可以，可以分析出是否存在虚根、虚根的位置和相应分析出是否存在虚根、虚根的位置和相应K值值方法二：令方法二：令s=j，得：，得：7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤求得根轨迹与虚轴交点的角频率求得根轨迹与虚轴交点的角频率，使闭环系，使闭环系统临界稳定的根轨迹增益统临界稳定的根轨迹增益K值值10Re 1Im 10Re 10Re1 Im0Im 10FjFjjFjFjFjFjFj 7
20、.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤Step 5：确定实轴上的分离点：确定实轴上的分离点breakaway point在分离点上根轨迹与实轴分离，此时系统存在在分离点上根轨迹与实轴分离，此时系统存在多重闭环极点（通常是多重闭环极点（通常是2个）个）根据相角条件，分离点处分离的各条根轨迹的根据相角条件，分离点处分离的各条根轨迹的切线均分切线均分3607.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤在分离点上特征多项式存在多重极点，因此：在分离点上特征多项式存在多重极点，因此：1211011121012101 001210liiiiliisllF sssFsdF sd F sssssdsdsdssFss
21、sdsilF sK如果在 处特征多项式存在 对重根个，则：其中：，通过等条件计算分离点的位置和 值在实轴上的会合点在实轴上的会合点7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤 22241024240242402603KG sssG sd ssdKssKdG sdsdsdsssd ssdsss 特征方程为：分离点为：单位负反馈系统开环传递函数为：单位负反馈系统开环传递函数为：7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤 11231 11023K sG sH ss ssK sG s H ss ss，特征方程：例例7.37.3 三阶系统三阶系统7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤 23231222 10
22、0123045302.4590AnMnMZ sF sKP sdF sKZ s P sKZ s P sdsPsZ s P sZ s P sZ ssP ss ssZ s P sZ s P sssss 极点数，有限零点数，根轨迹有 条渐近线，质心为，与实轴交角为，得：分离点K00.4110.4190.417 0.3900s-2.00-2.40-2.46-2.50-2.60-3.07.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤Step 6：应用相角条件，确定根轨迹在：应用相角条件，确定根轨迹在P(s)极点极点处的出射角、零点处的入射角处的出射角、零点处的入射角根轨迹在根轨迹在P(s)极点处的出射角，等于极点
23、处的出射角，等于P(s)各零点各零点和其它极点到该极点的向量的相角之净和，与和其它极点到该极点的向量的相角之净和，与180(2k+1)之差之差根轨迹在根轨迹在P(s)零点处的入射角，等于零点处的入射角，等于P(s)其它零其它零点和各极点到该零点的向量的相角之净和，与点和各极点到该零点的向量的相角之净和，与180(2k+1)之差之差考虑三阶开环传递函数：考虑三阶开环传递函数：7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤 2232nnKF sG s H sspss7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤12313113390180-27090p 极点处的出射角为：P(s)有三个极点，一个实极点有三个极
24、点，一个实极点-p3，1M时，闭环系统特征方程为时，闭环系统特征方程为：7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤111111111()()nMnnijnnijniinnnniiiispKszsa sasassssss当当n-M2时，上式第二项系数与时，上式第二项系数与K无关，无论无关，无论K取什么值，取什么值，n个个P(s)极点之和等于闭环特征方程极点之和等于闭环特征方程n个根之和个根之和：11nniiiisp当当n-M2，且，且P(s)的极点确定时，上式是一个不的极点确定时，上式是一个不变的常数，即闭环特征方程的根之和不变。变的常数，即闭环特征方程的根之和不变。当根当根轨迹增益轨迹增益K增大
25、时，如果一部分闭环特征方程的增大时，如果一部分闭环特征方程的根在根在S平面上向左移动，则必有另一部分闭环特征平面上向左移动，则必有另一部分闭环特征方程的根在方程的根在S平面上向右移动平面上向右移动此法则对判断根轨迹走向很有用此法则对判断根轨迹走向很有用7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤步骤步骤相关的方程或规则相关的方程或规则1.准备根轨迹作图准备根轨迹作图 (a)列写特征方程，使感兴列写特征方程，使感兴 趣参数趣参数K以乘积因子出现以乘积因子出现1+KP(s)=0 (b)将将P(s)记为记为n个极点和个极点和 M 个零点个零点 (c)在在S平面用指定符号标平面用指定符号标 记记P(s)的
26、开环零极点的开环零极点=极点，极点，=零点，根零点，根轨迹始于极点终于零点轨迹始于极点终于零点 (d)确定根轨迹分支数确定根轨迹分支数SL当当nM时，时，SL=n (e)根轨迹对称于实轴根轨迹对称于实轴111 0MiinjjszKsp2.确定实轴上的根轨迹确定实轴上的根轨迹实轴上根轨迹位于奇数实轴上根轨迹位于奇数个零极点的左侧个零极点的左侧3.根轨迹趋近无穷远处零根轨迹趋近无穷远处零点时，根轨迹渐近线的质点时，根轨迹渐近线的质心（根轨迹渐近线与实轴心（根轨迹渐近线与实轴交点）交点）A A、与实轴的夹、与实轴的夹角角A A4.确定根轨迹与虚轴交点确定根轨迹与虚轴交点a)构造构造Routh阵列，分
27、阵列，分析辅助多项式析辅助多项式b)Re1+F(j)=0 Im1+F(j)=0211800121jiAApznMknMknM ，5.确定实轴上的分离点、确定实轴上的分离点、会合点会合点a)令令K=p(s)，求出使求出使dp(s)/ds=0的根，或的根，或者用图解法求者用图解法求p(s)的极值点的极值点b)求求dF(s)/ds=0的根的根6.用相角条件确定根轨迹用相角条件确定根轨迹在复极点的出射角、到达在复极点的出射角、到达复零点的入射角复零点的入射角P(s)=180+k360其中其中s=-pj 或或-zi7.完成根轨迹作图完成根轨迹作图7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤例例7.47.4
28、四阶系统四阶系统1.1.(a).(a).系统特征方程：系统特征方程：4321001264128KKssss，(b).(b).确定确定P(s)极零点：极零点：1044444Ks ssjsjP(s)没有有限的零点没有有限的零点 (c).(c).在在S平面上平面上绘出绘出P(s)的极点的极点 (d).(d).因为极点数因为极点数n为为4 4，故有，故有4 4条根轨迹分支条根轨迹分支 (e).(e).根轨迹关于实轴对称根轨迹关于实轴对称2.实轴上根轨迹在实轴上根轨迹在s=0和和s=-4之间之间P(s)的极零点的极零点7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤24324832012641280s sssK
29、ssssK3.3.根轨迹渐近线与实轴夹角：根轨迹渐近线与实轴夹角：21 1800 1 2 3445 135 225 315AAkk，；，根轨迹渐近线质心：根轨迹渐近线质心：044434A 4.4.求根轨迹与虚轴交点。将特征方程改写为：求根轨迹与虚轴交点。将特征方程改写为：根轨迹渐近线根轨迹渐近线7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤431211110164128 12 641212853.3312 1253.33 128 53.33RouthsKsbsbKKcscsK 阵列：2253.33568.8953.3310.67 53.333.2663.266sssjsj使闭环系统临界稳定的根轨迹增
30、益使闭环系统临界稳定的根轨迹增益K=568.89。求。求辅助方程的根：辅助方程的根：根轨迹与虚轴交点根轨迹与虚轴交点s=j3.266，此时根轨迹增益为，此时根轨迹增益为K=568.897.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤 43232323212641280436128128093232093232044160032042240KF sssssdF ssssdssssf xxxxf xF sf xfff 40求的实数根的实数根应当在的实数极点和 之间用二分法：在，0 上连续，且：，取，0 的中点，5.5.求实轴上根轨迹分离点：求实轴上根轨迹分离点：7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤21
31、180211.51.57.625021.51.751.752.8901.751.51.6251.6250.5301.6251.51.56251.56250.1601.6251.56251.593751.593750.187801.62ffffff 取，0 的中点，取，的中点，取，的中点，取，的中点，取，的中点取，的中点取51.56251.5781251.5781250.0160f，的中点实轴上根轨迹分离点近似为实轴上根轨迹分离点近似为s=-1.570实轴根轨迹的分离点实轴根轨迹的分离点133131119090180360135 360135135225kspsssp 044j4090为极点到极
32、点的向量的相角，从极点、到极点的向量的相角均为由此可得复极点 处的出射角为：7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤6.6.用相角条件求复极点用相角条件求复极点-p1处的出射角：处的出射角：复极点处的出射角复极点处的出射角7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤7.7.完成根轨迹图完成根轨迹图7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤11122211111111221122112221241.9 2.9 3.8 6.0126 nnttttKs ssp spKsssssssssseesseess 1265时两对闭环复极点为 和、和与 和 相比，和 引起的瞬态响应可以忽略不计可以用两对闭环极点的瞬态
33、响应的衰减项验证与 和 对应的衰减项为：与和 对应的衰减项为：约为的 倍引起的瞬态响应衰减得比1快很多当阻尼系数当阻尼系数=0.707时，用时，用P(s)各个极点到闭环各个极点到闭环系统特征根系统特征根s1的向量长度，可以图解求出对应的向量长度，可以图解求出对应的根轨迹增益的根轨迹增益K：7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤 1211112221111sinsin 1 sinttty tc etc etc et 闭环系统单位阶跃响应可以近似为：闭环系统单位阶跃响应可以近似为：是否为主导极点，还需要考虑系数是否为主导极点，还需要考虑系数C1、C2的相的相对大小。对大小。C1、C2是极点的留数
34、，依赖于是极点的留数，依赖于S平面上平面上零点的位置零点的位置7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤例例7.57.5 自动平衡秤自动平衡秤7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤x是砝码是砝码Wc离开空载平衡位置的行程离开空载平衡位置的行程待称重物待称重物W放在距离枢轴放在距离枢轴lw=5 5cm处处横杆上的粘性阻尼器与枢轴距离横杆上的粘性阻尼器与枢轴距离li=2020cm期望完成如下任务：期望完成如下任务：1.1.确定反馈系统的参数和设计指标确定反馈系统的参数和设计指标2.2.建立系统模型建立系统模型3.3.采用根轨迹图确定增益采用根轨迹图确定增益K4.4.确定响应的主导模态确定响应的主导
35、模态横杆的转动惯量横杆的转动惯量I=0.05kgm0.05kgm2 2电位计电池电压电位计电池电压Eb=2424伏伏导引螺杆齿密度导引螺杆齿密度2020转转/cm/cm导引螺杆增益导引螺杆增益11/204000sKcmm rad转7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤测量砝码水平位移测量砝码水平位移x的电位计量程的电位计量程6cm6cm反馈电位计增益反馈电位计增益测量横杆竖直位移测量横杆竖直位移y的电位计量程的电位计量程0.5cm0.5cm输入电位计增益输入电位计增益粘性阻尼器的阻尼系数粘性阻尼器的阻尼系数砝码砝码Wc根据期望称重的量程选择，根据期望称重的量程选择，Wc=2N设计指标设计指标
36、：响应快速、准确、稳态称重误差小：响应快速、准确、稳态称重误差小为获得零测量误差，至少选择为获得零测量误差，至少选择1型系统型系统被测重物被测重物W阶跃变化时，欠阻尼响应是令人满阶跃变化时，欠阻尼响应是令人满意的，因此设定主导响应的阻尼比意的，因此设定主导响应的阻尼比=0.5为快速称重，希望调整时间小于为快速称重，希望调整时间小于2秒（秒（2允许允许误差）误差）10 3/bNm s24/64/400/fKVcmV cmV m24/0.548/4800/iKVcmV cmV m7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤 mifvtK yK x略微偏离平衡位置，偏离角为：略微偏离平衡位置，偏离角为：
37、iiyytgll横杆相对于枢轴运动的转矩方程：横杆相对于枢轴运动的转矩方程：222 wciwciddyIl WxWl bdtdtdl WxWl bdt 转矩电机输入电压为：电机输入电压为：导引螺杆运动的传递函数为：导引螺杆运动的传递函数为：s mX sKs7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤电机的传递函数为：电机的传递函数为：m1mmmsKVsss是输出轴转角；与系统时间常数相比，可忽略考察从考察从W(s)到到X(s)的前向通路，的前向通路，Y(s)之前有一个之前有一个纯积分环节，是纯积分环节，是1 1型系统，系统稳态误差为零型系统，系统稳态误差为零自动平衡秤的信号流图模型自动平衡秤的信号
38、流图模型7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤采用采用Mason信号流图增益公式，得闭环系统传信号流图增益公式，得闭环系统传递函数：递函数：3223221 w iimsmsfimsfiiimscw iimsimsfcmsi il l K K KX sIsW sK K Kl bK K Kl bl K K K WIssIsIsl l K K Ks Isl bsK K KW K K K l自动平衡秤的信号流图模型自动平衡秤的信号流图模型 00/limlimlim2.5 cm/kgwtsscW sWsx tsX sX slWWW sW当时7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤系统稳态增益为：系统稳
39、态增益为：绘制电机系数绘制电机系数Km变化时的根轨迹，特征方程：变化时的根轨迹，特征方程：2220968 301010968 38 3010108 38 396010imsfcmsi immmmms Isl bsK K KW K K K lKKs ssKKsss sKsss s7.3 绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤 22/108 3961108 3/106.936.936.936.9318 3mmKs sKP sssKsjsjss 将特征方程改写成绘制根轨迹的等价形式：将特征方程改写成绘制根轨迹的等价形式：=0.5时，闭环主导极点时，闭环主导极点s=-4.5j7.7，根轨迹增，根轨迹增益益K
40、=25.3=Km/10，电机系数为：，电机系数为：rad/srad/srpm107957600voltvoltvoltmKK闭环主导极点的实部闭环主导极点的实部=-4.5，调整时间，调整时间=4/100的根轨迹，特征方程写为：的根轨迹，特征方程写为：3250101550KsssK=10时，时，-r1,2=-0.51j5.96，-r3=-13.98共轭复极点是主导极点共轭复极点是主导极点共轭复极点的阻尼比共轭复极点的阻尼比=0.085，n=0.517.7 设计实例设计实例选选K=10能使系统稳定，又满足稳态误差要求能使系统稳定，又满足稳态误差要求阶跃响应超调量阶跃响应超调量7070，调整时间，调
41、整时间7.5s7.5s对阶跃输入的响应振荡剧烈，无法被激光外科对阶跃输入的响应振荡剧烈，无法被激光外科手术接受，指令信号只能限于低速斜坡信号手术接受，指令信号只能限于低速斜坡信号7.7 设计实例设计实例例例7.10 7.10 机器人控制系统机器人控制系统机器人复制设备如下图。机械手设计指标为：机器人复制设备如下图。机械手设计指标为：n按按2%准则的调整时间小于准则的调整时间小于2 sn阶跃输入的百分比超调量小于阶跃输入的百分比超调量小于10%n阶跃输入的稳态误差为零阶跃输入的稳态误差为零7.7 设计实例设计实例 222222410004129003611022501622509ssssY sG
42、 sU ssssssss机械机械手手控制系统采用了速度反馈，前向通道控控制系统采用了速度反馈，前向通道控制器为制器为Gc(s)，机械臂的固有部分传递函数为：，机械臂的固有部分传递函数为：两对共轭复两对共轭复零零点位于：点位于：z=-2j100、z=-6j300两对共轭复两对共轭复极极点位于：点位于：s=-1j50、s=-3j150轻质机械臂控制结构轻质机械臂控制结构K2=0、K1从从0变化到变化到的根的根轨迹图。轨迹图。Gc(s)=K1当当K10时，特时，特征方程有两个征方程有两个根位于右半根位于右半S平面，闭环系平面，闭环系统不稳定统不稳定7.7 设计实例设计实例 2221222221141
43、000412900361022501622509cGs G s H ssK KsssssKssssss引入速度反馈，引入速度反馈，K20。则有。则有：211cH sK sGsK，回路传递函数为回路传递函数为：参数参数K1、K2可调。选择可调。选择5K210，将可调整的零，将可调整的零点点s=-1/K2配置在原点附近配置在原点附近K1=0.8、K2=5时，获得最佳响应，阶跃响应百时，获得最佳响应，阶跃响应百分比超调量分比超调量12，调整时间，调整时间1.8秒秒K2=5，K1变化的根轨迹图。在变化的根轨迹图。在s=-0.2有一个开环零点有一个开环零点完整的根轨迹图完整的根轨迹图-150-100-5
44、0050100150-1500-1000-500050010001500Root LocusReal AxisImaginary Axis第二象限的根轨迹图第二象限的根轨迹图-150-100-5000100200300400Root LocusReal AxisImaginary Axis第二象限根轨迹图的细节第二象限根轨迹图的细节-14-12-10-8-6-4-202-50050100150200250300350400450Root LocusReal AxisImaginary Axis原点附近的根轨迹图原点附近的根轨迹图-0.4-0.3-0.2-0.10-2-1012Root Locu
45、sReal AxisImaginary Axis7.7 设计实例设计实例 215cKKszGssp如果取如果取K2=7或或K2=4，超调量将超出设计指标，超调量将超出设计指标如果要进一步改进设计，就要给控制器设置零如果要进一步改进设计，就要给控制器设置零点和极点。例如：点和极点。例如：取取K1=5、z=1、p=5，阶跃响应，阶跃响应超调量超调量5，调整，调整时间时间1.6秒秒7.7 设计实例设计实例例例7.11 7.11 汽车速度控制汽车速度控制两车的期望相对速度两车的期望相对速度R(s)，根据指令控制主动车，根据指令控制主动车辆，保持两车相对速度辆，保持两车相对速度Y(s)7.7 设计实例设
46、计实例控制目标控制目标：保持两车之间的规定速度，并根据：保持两车之间的规定速度，并根据指令控制主动车辆指令控制主动车辆被控变量被控变量：车辆间的相对速度车辆间的相对速度y(t)设计指标设计指标：nDS1 阶跃输入稳态误差为零阶跃输入稳态误差为零nDS2 斜波输入稳态误差小于输入幅值的斜波输入稳态误差小于输入幅值的25%nDS3 阶跃输入的百分比超调量小于阶跃输入的百分比超调量小于5%nDS4 阶跃输入的调整时间小于阶跃输入的调整时间小于1.5s(2%准则准则)确立控制目标确立控制目标确定被控变量确定被控变量给出设计指标给出设计指标确立系统结构确立系统结构建立过程、执行机构、传感器的模型建立过程
47、、执行机构、传感器的模型确定控制器并选取需要调整的关键参数确定控制器并选取需要调整的关键参数优化关键参数并分析系统性能优化关键参数并分析系统性能系统性能不满足设计指标则重新选择系统结构系统性能不满足设计指标则重新选择系统结构 系统性能满足设计指标结束设计系统性能满足设计指标结束设计保持两车之间规定的保持两车之间规定的相对速度相对速度相对速度相对速度y(t)如图如图见方程见方程车辆速度控制的控制系统设计过程中的要素车辆速度控制的控制系统设计过程中的要素7.7 设计实例设计实例设计指标：设计指标：DS1：对阶跃输入稳态误：对阶跃输入稳态误差为差为0DS2：对斜坡输入稳态误：对斜坡输入稳态误差差25
48、DS3：百分比超调量：百分比超调量5%DS4：调整时间：调整时间64DS4要求主导极点在要求主导极点在s=-2.6的左边。开环系统有的左边。开环系统有3个极点个极点s=0,-2,-8、1个零点个零点s=-KI/KP，则两条趋，则两条趋向于无穷远处根轨迹的渐近线：向于无穷远处根轨迹的渐近线：7.7 设计实例设计实例28152.6224.764164.710/2.52.51028IPIAPIPIIIPPIPPKKKKKKKKKKKKKsKs ss ，假如选择。闭环传递函数为：-2.6，使两条根轨迹分支弯曲进入期望区域，使两条根轨迹分支弯曲进入期望区域为满足为满足DS3，要求，要求=0.69，选择，
49、选择KP64，满足，满足DS2得到得到PI控制器：控制器：6526 cGss超调量超调量P.O.=8%，调整时间，调整时间Ts=1.45s超调量并不严格满足设计指标（超调量并不严格满足设计指标（5），但作为），但作为初步设计已经很好了，可以逐步完善初步设计已经很好了，可以逐步完善尽管闭环极点位于期望区域内，但受控制器零尽管闭环极点位于期望区域内，但受控制器零点的影响，系统响应没有完全达到设计指标。点的影响，系统响应没有完全达到设计指标。闭环系统是三阶系统，性能与二阶系统不同闭环系统是三阶系统，性能与二阶系统不同可以设置零点可以设置零点s=-2（选择（选择KI/KP=2），对消掉极），对消掉极点
50、点s=-2，使系统为二阶系统，使系统为二阶系统KI/KP=2.5的根轨迹的根轨迹7.8 应用控制设计软件分析根轨迹应用控制设计软件分析根轨迹Matlab可以绘制精确的根轨迹图可以绘制精确的根轨迹图绘制根轨迹图绘制根轨迹图 闭环传递函数：闭环传递函数：特征方程：特征方程：调用调用rlocus函数画出对应的根轨迹。调用函数画出对应的根轨迹。调用rlocus函数之前，必须将特征方程写成下面的形式：函数之前，必须将特征方程写成下面的形式：13231Y sK ssT sR ss ssK s11023sKs ss 110p sKG sKq s 7.8 应用控制设计软件分析根轨迹应用控制设计软件分析根轨迹R
