1、4 4 协方差及相关系数协方差及相关系数第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征（第十七讲）（第十七讲）协方差的定义协方差的定义协方差的性质协方差的性质相关系数的定义相关系数的定义相关系数的性质相关系数的性质退 出前一页后一页目 录4 协方差第四章 随机变量的数字特征一、协方差一、协方差称称 COV(X,Y)=E(X EX)(Y-EY)=E XY EX EY为随机变量为随机变量 X,Y 的的协方差协方差.DYDXYXCOVXY),(COV(X,X)=DX.称为随机变量称为随机变量 X,Y 的的相关系数相关系数。XY 是一个无量纲的量；是一个无量纲的量；1）协方差的定义协方差的定义2）
2、相关系数的定义）相关系数的定义退 出前一页后一页目 录4 协方差第四章 随机变量的数字特征证明：证明：E XY=EX EY所以所以COV(X,Y)=0.由数学期望的性质由数学期望的性质:定理定理：若若X，Y 独立，则独立，则 X,Y 不相关。不相关。(反之，不然）反之，不然）称称 X,Y 不相关不相关，若若0 XY此时此时 COV(X，Y)=0.若若X，Y 独立，独立，注意：注意：若若 E(X EX)(Y-EY)则则X，Y一定相关，且一定相关，且 X，Y 一定不独立。一定不独立。0 0 即即 EXY-EXEY退 出前一页后一页目 录二、协方差的性质二、协方差的性质第四章 随机变量的数字特征4
3、协方差1)COV(X,Y)=COV(Y,X)2)COV(aX，bY)=abCOV(X，Y)；3)COV(X+Y,Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);5)X，Y不相关不相关.)(22DYbDXabYaXD EXEYEXY 0),(YXCOV )(1niiiXaD njijijiniiiXXCOVaaDXa112),(2),(222YXabCOVDYbDXa )()4bYaXDCOV(X,Y)=E(X EX)(Y-EY)退 出前一页后一页目 录三、相关系数的性质三、相关系数的性质证明：证明：令：令：第四章 随机变量的数字特征4 协方差.1)1 XY.1,1)2 bXaYPbaXY使使存存在在
4、常常数数 2)(bXaYEe abEXbEXYaEYaEXbEY2222222 022202222aEXEXYbEXbeEYbEXaae求求a，b 使使 e 达到最小。达到最小。令：令：bEXEYa 退 出前一页后一页目 录第四章 随机变量的数字特征4 协方差代代入入第第二二个个方方程程得得将将,bEXEYa 22)(EXEXEXEYEXYb 故故,0)(2 EXbEXEYEXYbEX.),(;),(000DXYXCOVEXEYEXbEYaDXYXCOVb 得：得：02222aEXEXYbEX,),(DXYXCOV 退 出前一页后一页目 录第四章 随机变量的数字特征 2,)(minbXaYEb
5、a200)(XbaYE 2),(),(DXYXCOVXDXYXCOVEXEYYE 2),()()(DXYXCOVEXXEYYE DY DXYXCOVDXYXCOVDY),(2),(22 22)(),(DXYXCOVDX DXYXCOVYXCOV),(),(2 退 出前一页后一页目 录第四章 随机变量的数字特征DXYXCOVDY),(2 DXDYDXDYXY 2 DYXY)1(2 2,)(minbXaYEbaDYXY)1(2 即即由上式得由上式得:,01)12 XY 1 XY 若若.1 XY 即即0)(200 XbaYE4 协方差DYDXYXCOVXY),(2,)(minbXaYEba 1,bX
6、aYPba使使存存在在常常数数现在证明：现在证明：由上面知此时由上面知此时退 出前一页后一页目 录第四章 随机变量的数字特征4 协方差 )(00XbaYD200)(XbaYE 0)(200 XbaYE从而从而,0)(00 XbaYD0)(00 XbaYE所以所以1000 XbaYP故故.100 XbaYP即即,10EXccXPDX 由于由于退 出前一页后一页目 录第四章 随机变量的数字特征4 协方差反之，若存在反之，若存在 使使，ba,1 XbaYP这时这时,10)(XbaYP故故 0)(2 XbaYE则则 2)(0XbaYE2,)(minbXaYEba .0)1(2 DYXY 故故,012
7、XY.1 XY 即即.1 XY 退 出前一页后一页目 录第四章 随机变量的数字特征4 协方差说说 明明时时，当当1 XY 紧紧密密程程度度的的量量之之间间线线性性关关系系与与量量相相关关系系数数是是表表征征随随机机变变YX时时，越越接接近近于于当当0XY 时，时，当当0 XY X与与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系。之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系。存存在在着着线线性性关关系系；之之间间以以概概率率与与1YX之之间间的的线线性性关关系系越越弱弱；与与YX 不不相相关关之之间间不不存存在在线线性性关关系系与与YXX 与与 Y 不相关，但不一定相互独立。不相关，但不一定相互独立。
8、退 出前一页后一页目 录第四章 随机变量的数字特征4 协方差解：解：，记记，是是二二个个随随机机变变量量，已已知知，设设141 YXcovDYDXYXYXYX 22 ，试试求求：YXDD2 YXDYDX，cov44 14441 13 YXDD 2 YXDYDX，cov44 14414 4 例例1 DDCOV),(退 出前一页后一页目 录第四章 随机变量的数字特征4 协方差 ，cov XX，cov2 DYYXDX2cov52 ，421512 5 所以，所以，DD，cov 4135 26135 XY，cov4 YX，cov YY，cov2 YXYX 22cov，退 出前一页后一页目 录第四章 随机
9、变量的数字特征4 协方差 22222121212122212121exp121 yyxxyxf，由上述知：由上述知：,21)(21212)(1 xXexf22222)(221)(yYeyf则：则：例例2设设(X，Y)服从二维正态分布，求：服从二维正态分布，求：XY,222211 DYEYDXEX退 出前一页后一页目 录第四章 随机变量的数字特征4 协方差),(YXCov dxdyyxfyx),()(21 dydxeeyxxyx221122222121)1(212)(21221)(121 令令：,1111222 xyt,11 xu,11ux 则则)(EYYEXXE 222)1(uty 退 出前一
10、页后一页目 录第四章 随机变量的数字特征4 协方差11221210 111111 yuxuytxtJ22112211)11(退 出前一页后一页目 录第四章 随机变量的数字特征),(YXCOV22211)1(,utyux 2211 J dtdueututu221222212211)1(12122 21210 dtedueutu22221222 dydxeeyxxyx221122222121)1(212)(21221)(121 dtteduuetu222212221 退 出前一页后一页目 录第四章 随机变量的数字特征0 XY故故.XY独独立立YX,不相关不相关YX,4 协方差例例3量量是是二二随随
11、机机事事件件；随随机机变变设设BA,.1,11,1不出现不出现，若，若出现，出现，若若不出现，不出现，若，若出现，出现，若若BBYAAX.相相互互独独立立与与是是不不相相关关的的充充分分必必要要条条件件和和试试证证明明随随机机变变量量BAYX证明：证明：EXEYEXYYX ),cov(EX.1)(2 BPEY)()(APAP,1)(2 AP退 出前一页后一页目 录第四章 随机变量的数字特征4 协方差 EXY)()()()(BAPBAPBAPABP EXEY)(ABP)()()()()(ABPBPABPAPABP 1)(2)(2)(4 BPAPABP 0),cov(EXEYEXYYX)()()(
12、BPAPABP 1,111 YXP1,1)1(1 YXP1,11)1(YXP1,1)1()1(YXP1)(2)(2)()(4 BPAPBPAP1)(21)(2 BPAP)()(ABPAP )()(ABPBP )()(BAPAP )()()(1 ABPBPAP 退 出前一页后一页目 录第四章 随机变量的数字特征4 协方差2）,4,1,2,2 DYDXEYEX已已知知,5.0 XY 则根据切比雪夫不等式有则根据切比雪夫不等式有._6|YXP3）服服从从均均匀匀分分布布，为为顶顶点点的的三三角角形形区区域域上上的的联联合合分分布布在在点点和和设设随随机机变变量量)1,1(),0,1(),1,0(YX
13、的的方方差差。试试求求随随机机变变量量YXU 思考题：思考题：的的指指数数分分布布，服服从从参参数数为为1 Y2,1,1,0 kkYkYXk212),121XXXX）的的联联合合分分布布率率；（）（求求1)退 出前一页后一页目 录第四章 随机变量的数字特征4 协方差小结：小结：1）协方差的定义和性质；）协方差的定义和性质；2）相关系数的定义性质；）相关系数的定义性质；3）不相关的定义及等价条件；不相关的定义及等价条件；4）独立性与不相关性的关系；）独立性与不相关性的关系；5）二维正态分布的不相关性与独立性等价。）二维正态分布的不相关性与独立性等价。退 出前一页后一页目 录第十七讲结束，谢谢！第十七讲结束，谢谢！退 出前一页后一页第四章 随机变量的数字特征目 录
