1、专题三专题三 向量组的线性相关性向量组的线性相关性三、向量组线性相关的判定方法三、向量组线性相关的判定方法内容内容一、线性一、线性组合组合二、线性相关与线性无关二、线性相关与线性无关nnkkk2112,n 12成立，则称向量成立，则称向量 是向量组是向量组 的的线性线性表示。表示。组合组合，也称向量，也称向量 可由向量组可由向量组 ,n 12线性线性,n 12定义定义 设有向量设有向量 ，如存在如存在12,nk kk一组数一组数,使得关系式使得关系式一、线性一、线性组合组合,n 12（1 1）向量向量 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示非齐次线性方程组有解非齐次线性方程组有解nnxxx12
2、21（线性方程组（线性方程组向量向量形式）形式）,n 12向量向量 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示的判断方法的判断方法:,n 12（2 2）向量）向量 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示()()AArr2,1,-1T313,10,1T=1,1,2T1-1,1,3T2例例2 2 设向量设向量证明证明123,aaa可以由向量组可以由向量组 线性表示线性表示,并写出具体的表示。并写出具体的表示。kkk 12313112101111231kkkkkkkkk12331231221310231123127kkk证明（证明（方法方法1 1）设）设 kkk12231312327,123即向量即向量
3、可由向量组可由向量组线性表示，并且线性表示，并且kkkkkkkkk112323123223其中其中 为实数，则为实数，则kkk123，所以所以A11213111102311(方法方法2)2).112131051575325000()()R AR A 312327所以，所以，,123可由可由线性表示，并且线性表示，并且11213213552500111001002007sskkk22110定义定义,s 12则称向量组则称向量组线性线性相关相关；如果上式如果上式,s12线性线性无关无关。组组s12，是是 个个 维向量，维向量，ns设设如果存在一组不全为零的数如果存在一组不全为零的数使得使得skkk
4、12，,，当且仅当当且仅当成立，则称向量成立，则称向量skkk120二、线性相关与线性无关二、线性相关与线性无关,n 12向量组向量组线性相关线性相关nnxxx22110线性方程组线性方程组有有非零非零解解。向量组线性无关向量组线性无关线性方程组线性方程组 只有只有零零解解nnxxx22110,n 12向量组向量组 线性线性相关性的判断方法相关性的判断方法:2、方程组法、方程组法将向量组构造成整齐次方程组将向量组构造成整齐次方程组1、定义法、定义法()r An若若12,n 则则线性无关；线性无关；(),r An若若12,n 则则线性有关。线性有关。12,n n给出一组给出一组 维向量维向量 就
5、得到一个就得到一个相应的矩阵相应的矩阵12,nA 求求 ，则则()r A3、矩阵的秩法、矩阵的秩法12,n nn个个 维向量维向量 ，当当，An线性相关则时210，An线性无关则时210例例 判断下列向量组的线性相关性判断下列向量组的线性相关性,1231012,2,0.352 解一解一:令令 k1 1+k2 2+k3 3=012310102200.3520kkk 即即整理得齐次线性方程组整理得齐次线性方程组:101220352解二解二:构造矩阵构造矩阵A=(1,2,3)=则则 由由 R(A)=2 3 得得,向量组向量组 1,2,3线性相关。线性相关。101101220223520000A 13
6、1212302203520kkkkkkk1012200352D 齐次线性方程组有齐次线性方程组有非零非零解解,故故 1 1,2 2,3 3线性相关。线性相关。例例 若向量组若向量组121 3 22 1 3，线性无关线性无关,求求t t 满足的条件。满足的条件。30,2t，解法一解法一:12031232t当当t t1010时时,行列式的值不为行列式的值不为0,0,向量组向量组123,构成的矩阵构成的矩阵满秩满秩,向量组向量组线性无关。线性无关。12050120t1201200010t12010502t解法二解法二1201200315232120tt1201 2000121251000 0tt当当
7、t t1010时时,向量组向量组123,构成的矩阵构成的矩阵满秩满秩,向量组向量组线性无关线性无关。例例 设向量组设向量组 线性无关，则向量组线性无关，则向量组123,112123,也线性无关也线性无关。证明证明 设数设数 使使123,k k k112123123()()0kkk则有则有123123312()()kkkkkko123,由于由于 线性无关线性无关则则123123000kkkkkk123000kkk所以向量组所以向量组112123,线性无关。线性无关。试证向量组试证向量组,1340是线性相关的。是线性相关的。00000 1341其中其中,系数系数0 1 0 0，不全为不全为0。所以
8、向量组所以向量组,1340线性相关的。线性相关的。含有零向量的向量组一定线性相关。含有零向量的向量组一定线性相关。例如例如证明证明 因为因为一、填空题：第一、填空题：第6、8题题二、选择题：第二、选择题：第6、第、第7题题三、判断题：第三、判断题：第3题、第题、第5题题四、计算题：第四、计算题：第4题、第题、第5题题五、证明题：第五、证明题：第3题、第题、第4题题非齐次非齐次线性方程组线性方程组:齐次齐次线性方程组线性方程组:()R An()()AArrn()()AArrn()()AArr方程组方程组有有唯一解唯一解;AXBAXB方程组方程组无解无解;方程组方程组无穷多解无穷多解;AX B0A
9、X有有非零非零解解()R An0AX有有唯一零唯一零解解专题四专题四 线性方程组线性方程组解解的的判断判断-列向量线性相关列向量线性相关-列向量线性无关列向量线性无关123412341234212427411xxxxxxxxxaxxx确定确定 的值使下列方程组有解的值使下列方程组有解a解解 A对对 施行初等行变换化成阶梯形矩阵施行初等行变换化成阶梯形矩阵21111121421214205373174 1100005aaAB例如例如1641055537301555B 134234416555337555xxxxxx其中其中 是自由未知量，是自由未知量，,x x45令令55,kkxx3142则方程组的解为则方程组的解为xkkxkkxkxk1122123142465337555,kk12为任意实常数。为任意实常数。一、填空题：第一、填空题：第9、10题题二、选择题：第二、选择题：第5、第、第6题、第题、第8题题三、判断题：三、判断题：四、计算题：第四、计算题：第7题题五、证明题：五、证明题：
