1、第 1页（共 83页）2018-2022 高考真题高考真题 圆锥曲线圆锥曲线 解答题全集解答题全集（学生版（学生版 解析版）解析版）一解答题（共一解答题（共 60 小题）小题）1（2022全国）已知椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1（c，0），F2（c，0），直线 y?x交 C 于 A，B 两点，|AB|2?，四边形 AF1BF2的面积为 4?（1）求 c；（2）求 C 的方程2（2022天津）椭圆?1（ab0）的右焦点为 F、右顶点为 A，上顶点为 B，且满足?th?tt?（1）求椭圆的离心率 e；（2）直线 l 与椭圆有唯一公共点 M，与 y 轴相交于 N（N 异于 M）记 O 为坐标原点
2、，若|OM|ON|，且OMN 的面积为?，求椭圆的标准方程3（2022上海）设有椭圆方程：?1（ab0），直线 l：x+y4?0，下端点为 A，M 在 l 上，左、右焦点分别为 F1（?，0）、F2（?，0）（1）a2，AM 中点在 x 轴上，求点 M 的坐标；（2）直线 l 与 y 轴交于 B，直线 AM 经过右焦点 F2，在ABM 中有一内角余弦值为?，求 b；（3）在椭圆上存在一点 P 到 l 距离为 d，使|PF1|+|PF2|+d6，随 a 的变化，求 d 的最小值4（2022浙江）如图，已知椭圆?y21设 A，B 是椭圆上异于 P（0，1）的两点，且第 2页（共 83页）点 Q（0
3、，?）在线段 AB 上，直线 PA，PB 分别交直线 y?x+3 于 C，D 两点（）求点 P 到椭圆上点的距离的最大值；（）求|CD|的最小值5（2022新高考）已知点 A（2，1）在双曲线 C：?1（a1）上，直线 l 交 C于 P，Q 两点，直线 AP，AQ 的斜率之和为 0（1）求 l 的斜率；（2）若 tanPAQ2?，求PAQ 的面积6（2022乙卷）已知椭圆 E 的中心为坐标原点，对称轴为 x 轴、y 轴，且过 A（0，2），B（?，1）两点（1）求 E 的方程；（2）设过点 P（1，2）的直线交 E 于 M，N 两点，过 M 且平行于 x 轴的直线与线段AB 交于点 T，点 H
4、 满足?证明：直线 HN 过定点7（2022北京）已知椭圆 E：?1（ab0）的一个顶点为 A（0，1），焦距为 2?（）求椭圆 E 的方程；（）过点 P（2，1）作斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 B，C，直线 AB，AC 分别与 x 轴交于点 M，N当|MN|2 时，求 k 的值8（2022甲卷）设抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，点 D（p，0），过 F 的直线交 C于 M，N 两点当直线 MD 垂直于 x 轴时，|MF|3（1）求 C 的方程；（2）设直线 MD，ND 与 C 的另一个交点分别为 A，B，记直线 MN，AB 的倾斜角分别为，当取得最大值时，求直线
5、AB 的方程第 3页（共 83页）9（2022新高考）已知双曲线 C：?1（a0，b0）的右焦点为 F（2，0），渐近线方程为 y?x（1）求 C 的方程；（2）过 F 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点，点 P（x1，y1），Q（x2，y2）在 C 上，且 x1x20，y10过 P 且斜率为?的直线与过 Q 且斜率为?的直线交于点 M从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立M 在 AB 上；PQAB；|MA|MB|注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分10（2022上海）已知椭圆：?y21（a1），A、B 两点分别为的左顶点、下顶点，C、D 两点均在直线 l：xa
6、上，且 C 在第一象限（1）设 F 是椭圆的右焦点，且AFB?，求的标准方程；（2）若 C、D 两点纵坐标分别为 2、1，请判断直线 AD 与直线 BC 的交点是否在椭圆上，并说明理由；（3）设直线 AD、BC 分别交椭圆于点 P、点 Q，若 P、Q 关于原点对称，求|CD|的最小值11（2021全国）设椭圆 G：?1（ab0）与 y 轴正半轴的交点为 B，右焦点为 F 已知 B，F 在C：x2+y22x2y0 上（1）求 G 的方程；（2）若直线 l 过点 C，交 G 于 M，N 两点，且 C 为线段 MN 的中点，求|MN|12（2021新高考）已知椭圆 C 的方程为?1（ab0），右焦点
7、为 F（?，0），且离心率为?（）求椭圆 C 的方程；（）设 M，N 是椭圆 C 上的两点，直线 MN 与曲线 x2+y2b2（x0）相切证明：M，N，F 三点共线的充要条件是|MN|?13（2021上海）已知：?y21，F1，F2是其左、右焦点，直线 l 过点 P（m，0）（m?），交椭圆于 A，B 两点，且 A，B 在 x 轴上方，点 A 在线段 BP 上（1）若 B 是上顶点，|th?|?h?|，求 m 的值；第 4页（共 83页）（2）若h?t?h?t?，且原点 O 到直线 l 的距离为?，求直线 l 的方程；（3）证明：对于任意 m?，使得h?t?h?t?的直线有且仅有一条14（20
8、21北京）已知椭圆 E：?1（ab0）的一个顶点 A（0，2），以椭圆 E的四个顶点围成的四边形面积为 4?（）求椭圆 E 的方程；（）过点 P（0，3）作斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 B，C，直线 AB、AC 分别与直线 y3 交于点 M、N，当|PM|+|PN|15 时，求 k 的取值范围15（2021天津）已知椭圆?1（ab0）的右焦点为 F，上顶点为 B，离心率为?，且|BF|?（1）求椭圆的标准方程；（2）直线 l 与椭圆有唯一的公共点 M，与 y 轴的正半轴交于点 N，过 N 与 BF 垂直的直线交 x 轴于点 P若 MPBF，求直线 l 的方程16（2021浙江）
9、如图，已知 F 是抛物线 y22px（p0）的焦点，M 是抛物线的准线与 x轴的交点，且|MF|2（）求抛物线的方程：（）设过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，若斜率为 2 的直线 l 与直线 MA，MB，AB，x 轴依次交于点 P，Q，R，N，且满足|RN|2|PN|QN|，求直线 l 在 x 轴上截距的取值范围第 5页（共 83页）17（2021新高考）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F1（?，0），F2（?，0），点 M 满足|MF1|MF2|2记 M 的轨迹为 C（1）求 C 的方程；（2）设点 T 在直线 x?上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A，B 两点和 P，Q
10、两点，且|TA|TB|TP|TQ|，求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和18（2021甲卷）抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，直线 l：x1 交 C 于 P，Q 两点，且 OPOQ已知点 M（2，0），且M 与 l 相切（1）求 C，M 的方程；（2）设 A1，A2，A3是 C 上的三个点，直线 A1A2，A1A3均与M 相切判断直线 A2A3与M 的位置关系，并说明理由19（2021乙卷）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点 F 到准线的距离为 2（1）求 C 的方程；（2）已知 O 为坐标原点，点 P 在 C 上，点 Q 满足?t?9th?，求直线 OQ 斜率
11、的最大值20（2021甲卷）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2?cos（1）将 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点 A 的直角坐标为（1，0），M 为 C 上的动点，点 P 满足t?t?，写出 P的轨迹 C1的参数方程，并判断 C 与 C1是否有公共点第 6页（共 83页）21（2021乙卷）已知抛物线 C：x22py（p0）的焦点为 F，且 F 与圆 M：x2+（y+4）21 上点的距离的最小值为 4（1）求 p；（2）若点 P 在 M 上，PA，PB 为 C 的两条切线，A，B 是切点，求PAB 面积的最大值22
12、（2021上海）（1）团队在 O 点西侧、东侧 20 千米处设有 A、B 两站点，测量距离发现一点 P 满足|PA|PB|20 千米，可知 P 在 A、B 为焦点的双曲线上，以 O 点为原点，东侧为 x 轴正半轴，北侧为 y 轴正半轴，建立平面直角坐标系，P 在北偏东 60处，求双曲线标准方程和 P 点坐标（2）团队又在南侧、北侧 15 千米处设有 C、D 两站点，测量距离发现|QA|QB|30 千米，|QC|QD|10 千米，求|OQ|（精确到 1 米）和 Q 点位置（精确到 1 米，1）23（2020全国）经过点 A（2，4）且倾斜角为 135的直线与抛物线 y22px（p0）交于 M，N
13、 两点，且t?，t?，0求 p 和24（2020天津）已知椭圆?1（ab0）的一个顶点为 A（0，3），右焦点为 F，且|OA|OF|，其中 O 为原点（）求椭圆的方程；（）已知点 C 满足 3?h?，点 B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线 AB 与以 C为圆心的圆相切于点 P，且 P 为线段 AB 的中点求直线 AB 的方程25（2020北京）已知椭圆 C：?1 过点 A（2，1），且 a2b（）求椭圆 C 的方程；（）过点 B（4，0）的直线 l 交椭圆 C 于点 M，N，直线 MA，NA 分别交直线 x4 于点 P，Q求?t?tt?的值26（2020上海）已知双曲线1：?1 与圆2
14、：x2+y24+b2（b0）交于点 A（xA，yA）（第一象限），曲线为1、2上取满足 x|xA|的部分（1）若 xA?，求 b 的值；（2）当 b?，2与 x 轴交点记作点 F1、F2，P 是曲线上一点，且在第一象限，且|PF1|8，求F1PF2；（3）过点 D（0，?2）斜率为?的直线 l 与曲线只有两个交点，记为 M、N，用 b第 7页（共 83页）表示?，并求?的取值范围27（2020江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E：?1 的左、右焦点分别为 F1、F2，点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内，AF2F1F2，直线 AF1与椭圆 E 相交于另一点 B（1）求AF1F2的周
15、长；（2）在 x 轴上任取一点 P，直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q，求?t?的最小值；（3）设点 M 在椭圆 E 上，记OAB 与MAB 的面积分别为 S1，S2，若 S23S1，求点M 的坐标28（2020浙江）如图，已知椭圆 C1：?y21，抛物线 C2：y22px（p0），点 A 是椭圆 C1与抛物线 C2的交点，过点 A 的直线 l 交椭圆 C1于点 B，交抛物线 C2于点 M（B，M 不同于 A）（）若 p?，求抛物线 C2的焦点坐标；（）若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点，求 p 的最大值29（2020海南）已知椭圆 C：?1（ab0）过点 M（2
16、，3），点 A 为其左顶点，且 AM 的斜率为?第 8页（共 83页）（1）求 C 的方程；（2）点 N 为椭圆上任意一点，求AMN 的面积的最大值30（2020山东）已知椭圆 C：?1（ab0）的离心率为?，且过点 A（2，1）（1）求 C 的方程；（2）点 M，N 在 C 上，且 AMAN，ADMN，D 为垂足证明：存在定点 Q，使得|DQ|为定值31（2020新课标）已知椭圆 C1：?1（ab0）的右焦点 F 与抛物线 C2的焦点重合，C1的中心与 C2的顶点重合过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1于 A，B 两点，交C2于 C，D 两点，且|CD|?|AB|（1）求 C1的离心率；（
17、2）若 C1的四个顶点到 C2的准线距离之和为 12，求 C1与 C2的标准方程32（2020新课标）已知椭圆 C1：?1（ab0）的右焦点 F 与抛物线 C2的焦点重合，C1的中心与 C2的顶点重合，过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1于 A，B 两点，交C2于 C，D 两点，且|CD|?|AB|（1）求 C1的离心率；（2）设 M 是 C1与 C2的公共点若|MF|5，求 C1与 C2的标准方程33（2020新课标）已知椭圆 C：?1（0m5）的离心率为?，A，B 分别为C 的左、右顶点（1）求 C 的方程；（2）若点 P 在 C 上，点 Q 在直线 x6 上，且|BP|BQ|，BPBQ
18、，求APQ 的面积34（2020新课标）已知 A，B 分别为椭圆 E：?y21（a1）的左、右顶点，G 为 E的上顶点，t?t?8P 为直线 x6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D（1）求 E 的方程；（2）证明：直线 CD 过定点35（2020上海）已知抛物线 y2x 上的动点 M（x0，y0），过 M 分别作两条直线交抛物线于 P、Q 两点，交直线 xt 于 A、B 两点第 9页（共 83页）（1）若点 M 纵坐标为?，求 M 与焦点的距离；（2）若 t1，P（1，1），Q（1，1），求证：yAyB为常数；（3）是否存在 t，使得 yAyB1 且 y
19、PyQ为常数？若存在，求出 t 的所有可能值，若不存在，请说明理由36（2019新课标）已知 F1，F2是椭圆 C：?1（ab0）的两个焦点，P 为 C上的点，O 为坐标原点（1）若POF2为等边三角形，求 C 的离心率；（2）如果存在点 P，使得 PF1PF2，且F1PF2的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围37（2019全国）已知点 A1（2，0），A2（2，0），动点 P 满足 PA1与 PA2的斜率之积等于?，记 P 的轨迹为 C（1）求 C 的方程；（2）设过坐标原点的直线 l 与 C 交于 M，N 两点，且四边形 MA1NA2的面积为 2?，求l 的方程38（2019江
20、苏）如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 l，湖上有桥 AB（AB 是圆 O 的直径）规划在公路 l 上选两个点 P，Q，并修建两段直线型道路 PB，QA，规划要求：线段 PB，QA 上的所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径已知点 A，B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD（C，D 为垂足），测得 AB10，AC6，BD12（单位：百米）（1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长；（2）在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路 PB 和 QA 的长度均为 d（单位：百米），求当 d 最小时
21、，P、Q 两点间的距离39（2019上海）已知椭圆?1，F1，F2为左、右焦点，直线 l 过 F2交椭圆于 A，B两点第 10页（共 83页）（1）若直线 l 垂直于 x 轴，求|AB|；（2）当F1AB90时，A 在 x 轴上方时，求 A、B 的坐标；（3）若直线 AF1交 y 轴于 M，直线 BF1交 y 轴于 N，是否存在直线 l，使得Sh?tt?Sh?，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由40（2019天津）设椭圆?1（ab0）的左焦点为 F，左顶点为 A，上顶点为 B已知?|OA|2|OB|（O 为原点）（）求椭圆的离心率；（）设经过点 F 且斜率为?的直线 l 与椭圆
22、在 x 轴上方的交点为 P，圆 C 同时与 x 轴和直线 l 相切，圆心 C 在直线 x4 上，且 OCAP求椭圆的方程41（2019天津）设椭圆?1（ab0）的左焦点为 F，上顶点为 B已知椭圆的短轴长为 4，离心率为?（）求椭圆的方程；（）设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点，点N 在 y 轴的负半轴上若|ON|OF|（O 为原点），且 OPMN，求直线 PB 的斜率42（2019新课标）已知曲线 C：y?，D 为直线 y?上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B（1）证明：直线 AB 过定点（2）若以 E（0，?）为圆心的圆与
23、直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程43（2019浙江）如图，已知点 F（1，0）为抛物线 y22px（p0）的焦点过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 C 在抛物线上，使得ABC 的重心 G 在 x 轴上，直线 AC交 x 轴于点 Q，且 Q 在点 F 的右侧记AFG，CQG 的面积分别为 S1，S2（）求 p 的值及抛物线的准线方程；（）求?的最小值及此时点 G 的坐标第 11页（共 83页）44（2019新课标）已知点 A（2，0），B（2，0），动点 M（x，y）满足直线 AM 与 BM的斜率之积为?记 M 的轨迹为曲线 C（1）求 C 的方程，并说明 C
24、 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限，PEx 轴，垂足为 E，连结 QE 并延长交 C 于点 G（i）证明：PQG 是直角三角形；（ii）求PQG 面积的最大值45（2019北京）已知抛物线 C：x22py 经过点（2，1）（）求抛物线 C 的方程及其准线方程；（）设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M，N，直线 y1 分别交直线 OM，ON 于点 A 和点 B求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点46（2019北京）已知椭圆 C：?1 的右焦点为（1，0），且经过点 A（0，1）（）求椭
25、圆 C 的方程；（）设 O 为原点，直线 l：ykx+t（t1）与椭圆 C 交于两个不同点 P、Q，直线AP 与 x 轴交于点 M，直线 AQ 与 x 轴交于点 N 若|OM|ON|2，求证：直线 l 经过定点47（2019江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：?1（ab0）的焦点为 F1（1，0），F2（1，0）过 F2作 x 轴的垂线 l，在 x 轴的上方，l 与圆 F2：（x1）2+y24a2交于点 A，与椭圆 C 交于点 D连结 AF1并延长交圆 F2于点 B，连结 BF2交椭圆 C 于点 E，连结 DF1已知 DF1?（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）求点 E 的坐标
26、第 12页（共 83页）48（2019新课标）已知曲线 C：y?，D 为直线 y?上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B（1）证明：直线 AB 过定点；（2）若以 E（0，?）为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形ADBE 的面积49（2019新课标）已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，|AB|4，M 过点 A，B 且与直线 x+20 相切（1）若 A 在直线 x+y0 上，求M 的半径；（2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时，|MA|MP|为定值？并说明理由50（2019新课标）已知抛物线 C：y23x 的焦点为 F，斜率为?的直线 l
27、与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P（1）若|AF|+|BF|4，求 l 的方程；（2）若t?3?t?，求|AB|51（2019上海）已知抛物线方程 y24x，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：?h?ht?（1）当?，?时，求 d（P）；（2）证明：存在常数 a，使得 2d（P）|PF|+a；（3）P1，P2，P3为抛物线准线上三点，且|P1P2|P2P3|，判断 d（P1）+d（P3）与 2d（P2）的关系52（2018全国）双曲线?1，F1、F2为其左右焦点，C 是以 F2为圆心且过原点的圆第 13页（共 83页）（1）求 C 的轨迹方程
28、；（2）动点 P 在 C 上运动，M 满足h?2?，求 M 的轨迹方程53（2018新课标）已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C：?1 交于 A，B 两点，线段AB 的中点为 M（1，m）（m0）（1）证明：k?；（2）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且h?ht?ht?证明：|ht?|，|h?|，|ht?|成等差数列，并求该数列的公差54（2018新课标）已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C：?1 交于 A，B 两点，线段AB 的中点为 M（1，m）（m0）（1）证明：k?；（2）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且h?ht?ht?，证明：2|h?|ht?|+|h
29、t?|55（2018新课标）设椭圆 C：?y21 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B两点，点 M 的坐标为（2，0）（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；（2）设 O 为坐标原点，证明：OMAOMB56（2018新课标）设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k（k0）的直线 l与 C 交于 A，B 两点，|AB|8（1）求 l 的方程；（2）求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程57（2018新课标）设抛物线 C：y22x，点 A（2，0），B（2，0），过点 A 的直线 l与 C 交于 M，N 两点（1）当 l 与 x 轴垂直时
30、，求直线 BM 的方程；（2）证明：ABMABN58（2018浙江）如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 C：y24x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上（）设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴；（）若 P 是半椭圆 x2?1（x0）上的动点，求PAB 面积的取值范围第 14页（共 83页）59（2018天津）设椭圆?1（ab0）的左焦点为 F，上顶点为 B已知椭圆的离心率为?，点 A 的坐标为（b，0），且|FB|AB|6?（）求椭圆的方程；（）设直线 l：ykx（k0）与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点
31、 Q 若?tt?t?sinAOQ（O 为原点），求 k 的值60（2018北京）已知抛物线 C：y22px 经过点 P（1，2），过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N（）求直线 l 的斜率的取值范围；（）设 O 为原点，t?t?，t?t?，求证：?为定值第 15页（共 83页）2018-2022 高考真题高考真题 圆锥曲线圆锥曲线 解答题全集解答题全集（学生版（学生版 解析版）解析版）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一解答题（共一解答题（共 60 小题）小题）1（2022全国）已知椭圆 C 的左、
32、右焦点分别为 F1（c，0），F2（c，0），直线 y?x交 C 于 A，B 两点，|AB|2?，四边形 AF1BF2的面积为 4?（1）求 c；（2）求 C 的方程【解答】解：（1）由对称性知，|OA|?|AB|?，不妨取点 A 在第一象限，设 A（x，y），则?t?，解得 x?，y2，因为四边形 AF1BF2的面积为 4?，所以 2?y|F1F2|22c4?，所以 c?（2）设椭圆 C 的方程为?1（ab0），由（1）知，A（?，2），代入椭圆方程有?1，又 c?，所以 a29，b26，故椭圆 C 的方程为?2（2022天津）椭圆?1（ab0）的右焦点为 F、右顶点为 A，上顶点为 B，且
33、满足?th?tt?（1）求椭圆的离心率 e；（2）直线 l 与椭圆有唯一公共点 M，与 y 轴相交于 N（N 异于 M）记 O 为坐标原点，若|OM|ON|，且OMN 的面积为?，求椭圆的标准方程【解答】解：（1）?th?tt?，?，a23b2，第 16页（共 83页）a23（a2c2），2a23c2，e?；（2）由（1）可知椭圆为?，即 x2+3y2a2，设直线 l：ykx+m，联立 x2+3y2a2，消去 y 可得：（3k2+1）x2+6kmx+（3m2a2）0，又直线 l 与椭圆只有一个公共点，36k2m24（3k2+1）（3m2a）0，3m2a2（3k2+1），又?h?h?，?h?h?
34、h?h?，又|OM|ON|，?h?h?h?，解得h?，k?，又OMN 的面积为?h?h?，?，m24，又 k?，3m2a2（3k2+1），a26，b22，椭圆的标准方程为?3（2022上海）设有椭圆方程：?1（ab0），直线 l：x+y4?0，下端点为 A，M 在 l 上，左、右焦点分别为 F1（?，0）、F2（?，0）（1）a2，AM 中点在 x 轴上，求点 M 的坐标；（2）直线 l 与 y 轴交于 B，直线 AM 经过右焦点 F2，在ABM 中有一内角余弦值为?，求 b；（3）在椭圆上存在一点 P 到 l 距离为 d，使|PF1|+|PF2|+d6，随 a 的变化，求 d 的最小值第 1
35、7页（共 83页）【解答】解：（1）由题意可得?，?，?：?，t?，?，AM 的中点在 x 轴上，M 的纵坐标为?，代入?得?，?（2）由直线方程可知 t?，?，若?thtt?，则?htt?，即?h?th?，?t?h?，?若?tht?t?，则 htht?t?，?tt?，?th?tt?t?t?，?thtt?，tanBAM7即 tanOAF27，?t?，?，综上?或?（3）设 P（acos，bsin），由点到直线距离公式可得?th?hth?，很明显椭圆在直线的左下方，则?th?hth?，即?hth?，第 18页（共 83页）a2b2+2，?hth?，据此可得?hth?，?hth?，整理可得（a1）
36、（3a5）0，即?，从而?即 d 的最小值为?4（2022浙江）如图，已知椭圆?y21设 A，B 是椭圆上异于 P（0，1）的两点，且点 Q（0，?）在线段 AB 上，直线 PA，PB 分别交直线 y?x+3 于 C，D 两点（）求点 P 到椭圆上点的距离的最大值；（）求|CD|的最小值【解答】解：（）设椭圆上任意一点 M（x，y），则|PM|2x2+（y1）21212y2+y22y+111y22y+13，y1，1，而函数 z11y22y+13 的对称轴为?，?，则其最大值为?，?，即点 P 到椭圆上点的距离的最大值为?；（）设直线 AB：?h?，t?，?，t?，?，联立直线 AB 与椭圆方程
37、有?h?，消去 y 并整理可得，（12k2+1）x2+12kx90，由韦达定理可得，?h?h?，?h?，?h?h?h?h?h?，第 19页（共 83页）设 C（x3，y3），D（x4，y4），直线 AP：?，直线 BP：?，联立?以及?，可得?h?，?h?，由弦长公式可得?h?h?2?|?h?h?|2?|?h?h?|?h?h?h?h?h?h?，当且仅当 h?时等号成立，|CD|的最小值为?5（2022新高考）已知点 A（2，1）在双曲线 C：?1（a1）上，直线 l 交 C于 P，Q 两点，直线 AP，AQ 的斜率之和为 0（1）求 l 的斜率；（2）若 tanPAQ2?，求PAQ 的面积【解
38、答】解：（1）将点 A 代入双曲线方程得?，化简得 a44a2+40，a22，故双曲线方程为?，由题显然直线 l 的斜率存在，设 l：ykx+m，设 P（x1，y1）Q（x2，y2），则联立双曲线得：（2k21）x2+4kmx+2m2+20，故?h?h?，?h?，ht?htt?h?h?，化简得：2kx1x2+（m12k）（x1+x2）4（m1）0，故?h?h?h?h?h?，即（k+1）（m+2k1）0，而直线 l 不过 A 点，故 k1；（2）设直线 AP 的倾斜角为，由?h?tt?，?h?tt?h?tt?，得?h?tt?第 20页（共 83页）由 2+PAQ，?tt?，得ht?h?，即?，联
39、立?，及?得?，?，代入直线 l 得?，故?，?而?t?，?tt?，由?h?tt?，得 hth?tt?故SPAQ?|AP|AQ|sinPAQ?|x1x22（x1+x2）+4|?6（2022乙卷）已知椭圆 E 的中心为坐标原点，对称轴为 x 轴、y 轴，且过 A（0，2），B（?，1）两点（1）求 E 的方程；（2）设过点 P（1，2）的直线交 E 于 M，N 两点，过 M 且平行于 x 轴的直线与线段AB 交于点 T，点 H 满足?证明：直线 HN 过定点【解答】解：（1）设 E 的方程为 mx2+ny21（m0，n0 且 mn），将 t?，?，t?，?两点代入得?h?h?，解得 m?，n?，
40、故 E 的方程为?；（2）由 t?，?，t?，?可得线段 tt：?（1）若过点 P（1，2）的直线斜率不存在，直线 x1代入?，可得M（1，?），N?，?，将y?代入?，可得?，?，得到 H（?，?）求得 HN 方程：y?，过点（0，2）若过 P（1，2）的直线的斜率存在，设 kxy（k+2）0，M（x1，y1），N（x2，y2），联立h?h?，得（3k2+4）x26k（2+k）x+3k（k+4）0，第 21页（共 83页）故有?h?h?h?h?h?h?，?h?h?h?h?h?，x1y2+x2y1x1（kx2k2）+x2（kx1k2）kx1x2kx12x1+kx1x2kx22x22kx1x2（
41、k+2）（x1+x2）2k?h?h?h?（k+2）?h?h?h?h?h?，?h?h?（*），联立?，可得?，?，?，?，可求得此时?：?，将（0，2）代入整理得 2（x1+x2）6（y1+y2）+x1y2+x2y13y1y2120，将（*）代入，得 24k+12k2+96+48k24k4848k+24k236k2480，显然成立综上，可得直线 HN 过定点（0，2）7（2022北京）已知椭圆 E：?1（ab0）的一个顶点为 A（0，1），焦距为 2?（）求椭圆 E 的方程；（）过点 P（2，1）作斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 B，C，直线 AB，AC 分别与 x 轴交于点 M，
42、N当|MN|2 时，求 k 的值【解答】解：（）由题意得，?，b1，c?，a2，椭圆 E 的方程为?y21（）设过点 P（2，1）的直线为 y1k（x+2），B（x1，y1），C（x2，y2），联立得?h?，即（1+4k2）x2+（16k2+8k）x+16k2+16k0，直线与椭圆相交，（16k2+8k）24（1+4k2）（16k2+16k）0，k0，由韦达定理得 x1+x2?h?h?h?，x1x2?h?h?h?，第 22页（共 83页）kAB?，直线 AB 为 y?x+1，令 y0，则 x?，M（?，0），同理 N（?，0），|MN|?|?h?h?|?h（?）|?h?|?h?|?h?h?h?
43、h?h?h?h?h?h?h?h?h?h?|2，|?h?h?|2，|?hh|?，k48（2022甲卷）设抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，点 D（p，0），过 F 的直线交 C于 M，N 两点当直线 MD 垂直于 x 轴时，|MF|3（1）求 C 的方程；（2）设直线 MD，ND 与 C 的另一个交点分别为 A，B，记直线 MN，AB 的倾斜角分别为，当取得最大值时，求直线 AB 的方程【解答】解：（1）由题意可知，当 xp 时，y22p2，得 yM?p，可知|MD|?p，|FD|?则在 RtMFD 中，|FD|2+|DM|2|FM|2，得?9，解得 p2则 C 的方程为 y24x；（
44、2）设 M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4），当 MN 与 x 轴垂直时，由对称性可知，AB 也与 x 轴垂直，此时?，则0，由（1）可知 F（1，0），D（2，0），则 tankMN?，又 N、D、B 三点共线，则 kNDkBD，即?，?，得 y2y48，即 y4?；同理由 M、D、A 三点共线，得 y3?第 23页（共 83页）则 tan?由题意可知，直线 MN 的斜率不为 0，设 lMN：xmy+1，由?，得 y24my40，y1+y24m，y1y24，则 tan?，tan?，则 tan（）?h?h?h?h?，?h?，?h?，tan与 tan正负相同，?
45、，当取得最大值时，tan（）取得最大值，当 m0 时，tan（）?；当 m0 时，tan（）无最大值，当且仅当 2m?，即 m?时，等号成立，tan（）取最大值，此时 AB 的直线方程为 yy3?，即 4x（y3+y4）y+y3y40，又y3+y4?8m4?，y3y4?16，AB 的方程为 4x4?y160，即 x?y409（2022新高考）已知双曲线 C：?1（a0，b0）的右焦点为 F（2，0），渐近线方程为 y?x（1）求 C 的方程；（2）过 F 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点，点 P（x1，y1），Q（x2，y2）在 C 上，且 x1x20，y10过 P 且斜率为?
46、的直线与过 Q 且斜率为?的直线交于点 M从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立M 在 AB 上；PQAB；|MA|MB|注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分【解答】解：（1）由题意可得?，?2，解得 a1，b?，第 24页（共 83页）因此 C 的方程为 x2?1，（2）设直线 PQ 的方程为 ykx+m，（k0），将直线 PQ 的方程代入 x2?1 可得（3k2）x22kmxm230，12（m2+3k2）0，x1x20 x1+x2?h?h?0，x1x2?h?0，3k20，x1x2?h?h?，设点 M 的坐标为（xM，yM），则?，两式相减可得 y1y22?xM?（x1+x2
47、），y1y2k（x1x2），2?xM?（x1+x2）+k（x1x2），解得 XM?h?h?h?h?，两式相加可得 2yM（y1+y2）?（x1x2），y1+y2k（x1+x2）+2m，2yM?（x1x2）+k（x1+x2）+2m，解得 yM?h?h?，yM?hxM，其中 k 为直线 PQ 的斜率；若选择：设直线 AB 的方程为 yk（x2），并设 A 的坐标为（x3，y3），B 的坐标为（x4，y4），则?h?，解得 x3?hh?，y3?hh?，同理可得 x4?hh?，y4?hh?，x3+x4?h?h?，y3+y4?hh?，此时点M的坐标满足?h?h?，解得XM?h?h?（x3+x4），yM?
48、hh?（y3+y4），M 为 AB 的中点，即|MA|MB|；第 25页（共 83页）若选择：当直线 AB 的斜率不存在时，点 M 即为点 F（2，0），此时不在直线 y?hx 上，矛盾，当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ym（x2）（m0），并设 A 的坐标为（x3，y3），B 的坐标为（x4，y4），则?，解得 x3?，y3?，同理可得 x4?，y4?，此时 xM?（x3+x4）?，yM?（y3+y4）?，由于点 M 同时在直线 y?hx 上，故 6m?h2m2，解得 km，因此 PQAB若选择，设直线 AB 的方程为 yk（x2），并设 A 的坐标为（x3，y3），B
49、的坐标为（x4，y4），则?h?，解得 x3?hh?，y3?hh?，同理可得 x4?hh?，y4?hh?，设 AB 的中点 C（xC，yC），则 xC?（x3+x4）?h?h?，yC?（y3+y4）?hh?，由于|MA|MB|，故 M 在 AB 的垂直平分线上，即点 M 在直线 yyC?h（xxC）上，将该直线 y?hx 联立，解得 xM?h?h?xC，yM?hh?yC，即点 M 恰为 AB 中点，故点 M 在直线 AB 上10（2022上海）已知椭圆：?y21（a1），A、B 两点分别为的左顶点、下顶点，C、D 两点均在直线 l：xa 上，且 C 在第一象限（1）设 F 是椭圆的右焦点，且A
50、FB?，求的标准方程；（2）若 C、D 两点纵坐标分别为 2、1，请判断直线 AD 与直线 BC 的交点是否在椭圆上，并说明理由；（3）设直线 AD、BC 分别交椭圆于点 P、点 Q，若 P、Q 关于原点对称，求|CD|的最小值第 26页（共 83页）【解答】解：（1）由题可得 B（0，1），F（c，0），因为AFB?，所以 tanAFB?tan?，解得 c?，所以 a1+（?）4，故的标准方程为?y1；（2）直线 AD 与直线 BC 的交点在椭圆上，由题可得此时 A（a，0），B（0，1），C（a，2），D（a，1），则直线 BC：y?x1，直线 AD：y?x?，交点为（?，?），满足?，故
