1、第第3 3章章 地图投影的基本原理地图投影的基本原理 q地图投影基本概念地图投影基本概念 q地图投影基本理论地图投影基本理论 内容提要内容提要地球：人类生活的环境，科学研究的基础地球：人类生活的环境，科学研究的基础地图投影基本概念地图投影基本概念 地球仪地球仪 近似以椭圆短轴为旋转轴旋转而成的模拟地球近似以椭圆短轴为旋转轴旋转而成的模拟地球的椭球体的椭球体 各点的几何关系的保持各点的几何关系的保持-距离、方位、各种特性距离、方位、各种特性曲线及面积保持不变曲线及面积保持不变 难于制作，成本高，不便于量测及携带保管。难于制作，成本高，不便于量测及携带保管。地图投影基本概念地图投影基本概念 地图地
2、图 比例尺可大可小，制作、拼接、图上作业以及携带比例尺可大可小，制作、拼接、图上作业以及携带保管都很方便保管都很方便地图投影基本概念地图投影基本概念 地球：不可展曲面地球：不可展曲面地图：连续的平面地图：连续的平面 用地图表示地球表面的一部分或全部，就产生了一用地图表示地球表面的一部分或全部，就产生了一种不可克服的矛盾种不可克服的矛盾 球面球面 平面平面地图投影基本概念地图投影基本概念 地图投影基本概念地图投影基本概念 一、地图投影的概念和实质一、地图投影的概念和实质1 1、地图投影：、地图投影：将地球表面上的点、经纬线等变换到地图平面上将地球表面上的点、经纬线等变换到地图平面上的方法称为地图
3、投影。的方法称为地图投影。地图投影的实质：地图投影的实质：建立地球面上点的坐标与地图平面上点的坐标之建立地球面上点的坐标与地图平面上点的坐标之间一一对应的函数关系。间一一对应的函数关系。2 2、地图投影基本方法、地图投影基本方法1 1）几何透视法）几何透视法 将测图地区按一定比例缩小成一个地形模型，然将测图地区按一定比例缩小成一个地形模型，然后将其上的一些特征点用垂直投影的方法投影到图纸后将其上的一些特征点用垂直投影的方法投影到图纸上。上。小区域范围可视地表为平面，采用垂直投影方式，小区域范围可视地表为平面，采用垂直投影方式，可认为投影没有变形。但是大区域垂直投影存在变形，可认为投影没有变形。
4、但是大区域垂直投影存在变形，需要考虑其他的投影方式，采用透视投影方法。需要考虑其他的投影方式，采用透视投影方法。地图投影基本概念地图投影基本概念 地图投影基本概念地图投影基本概念 2 2）数学分析法）数学分析法地球椭球面上的经纬网地球椭球面上的经纬网 平面上相应的经纬线网平面上相应的经纬线网地球椭球面：原面地球椭球面：原面 平面：投影面平面：投影面 原面与投影面原面与投影面上的点线面具上的点线面具有一一对应关有一一对应关系系地图投影基本概念地图投影基本概念 地图投影基本概念地图投影基本概念 二、地图投影的研究对象及任务二、地图投影的研究对象及任务 1 1、研究对象、研究对象p 地球椭球面描写到
5、地图平面上的理论、方法及应用地球椭球面描写到地图平面上的理论、方法及应用p 地图投影的变形规律地图投影的变形规律p 不同地图投影之间的转换不同地图投影之间的转换p 图上量算等问题图上量算等问题2.2.任务任务p 把地球表面上的地理坐标系转化成平面坐标系把地球表面上的地理坐标系转化成平面坐标系p 建立制图网建立制图网经纬线在平面上的表象经纬线在平面上的表象q地图投影基本概念地图投影基本概念 q地图投影基本理论地图投影基本理论 内容提要内容提要地图投影基本理论地图投影基本理论 一、地图投影的一般方程一、地图投影的一般方程x=f1(B,L)y=f2(B,L)x,yx,y表示原点在投影面上的纵、横坐标
6、表示原点在投影面上的纵、横坐标B B、L L表示原点在地球椭球体上的纬度、经度地理坐标表示原点在地球椭球体上的纬度、经度地理坐标函数函数f1f1、f f2 2取决于不同的投影条件取决于不同的投影条件（一）投影变形的概念（一）投影变形的概念 把地图上和地球仪上的经纬线网进行比较，可以发现把地图上和地球仪上的经纬线网进行比较，可以发现变形表现在变形表现在长度长度、面积面积和和角度角度三个方面。三个方面。二、地图投影变形二、地图投影变形地图投影基本理论地图投影基本理论 地图投影基本理论地图投影基本理论（二）长度比和长度变形（二）长度比和长度变形 长度比长度比():():投影面上某一方向上无穷小线段投
7、影面上某一方向上无穷小线段 和原面和原面上相应无穷小线段上相应无穷小线段 之比。之比。dssdusd ds地图投影基本理论地图投影基本理论=0=0 不变不变 0 0 变大变大 0 0 0 变大变大 0 0 0 变大变大 0 0 变小变小uuu角度变形是变量，随位置和方向的不同而变化。角度变形是变量，随位置和方向的不同而变化。uu角度最大变形角度最大变形:在同一点的某个特殊方向上，其角差具有在同一点的某个特殊方向上，其角差具有最大值，称为该点的角度最大变形。最大值，称为该点的角度最大变形。地图投影基本理论地图投影基本理论 标准纬线：在地图投影中不变形的纬线称为标准纬标准纬线：在地图投影中不变形的
8、纬线称为标准纬线。线。主比例尺：在计算地图投影或制作地图时，首先要主比例尺：在计算地图投影或制作地图时，首先要将地球椭球面或球面按一定的比率缩小，然后再将地球椭球面或球面按一定的比率缩小，然后再投影到平面上，这个小于投影到平面上，这个小于1 1的常数比率称为地图的的常数比率称为地图的主比例尺。主比例尺。局部比例尺：除地图上保持主比例尺的点或线以外，局部比例尺：除地图上保持主比例尺的点或线以外，其他部分的比例尺称为局部比例尺。其他部分的比例尺称为局部比例尺。地图投影基本理论地图投影基本理论 1.1.变形椭圆变形椭圆 取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，取地面上一个微分圆（小到可忽略地球
9、曲面的影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这种图解方法就叫种图解方法就叫变形椭圆变形椭圆。地图投影基本理论地图投影基本理论 三、主方向和变形椭圆三、主方向和变形椭圆XmX为为经线长度比经线长度比；为为纬线长度比纬线长度比YnY微分圆微分圆变形椭圆变形椭圆地图投影基本理论地图投影基本理论 代入：代入：X X2 2+Y Y2 2=1=1，得，得22221XYmn地图投影基本理论地图投影基本理论 底索定律底索定律:无论采用何种转换方法，球
10、面上每一点至少有无论采用何种转换方法，球面上每一点至少有一对正交方向线，在投影平面上仍能保持其正交关系。一对正交方向线，在投影平面上仍能保持其正交关系。主方向主方向:在投影后仍保持正交的一对线的方向称为主方向。在投影后仍保持正交的一对线的方向称为主方向。2 2、主方向、主方向地图投影基本理论地图投影基本理论 特别方向特别方向：变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向：变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向 长轴方向（极大值）a短轴方向（极小值）b经线方向 m；纬线方向 n据，有m2+n2=a2+b2mnsinq =ab地图投影基本理论地图投影基本理论 3 3、变形椭圆对地图投影变形的描述、变
11、形椭圆对地图投影变形的描述1 1）单个变形椭圆可以用来表示某一点上的各种变形）单个变形椭圆可以用来表示某一点上的各种变形2 2）一组变形椭圆能揭示全制图区域变形规律）一组变形椭圆能揭示全制图区域变形规律地图投影基本理论地图投影基本理论 地图投影基本理论地图投影基本理论 地图投影基本理论地图投影基本理论 法截面：通过法线的平面所截成的截面。法截面：通过法线的平面所截成的截面。主法截面：相互垂直的法截面。主法截面：相互垂直的法截面。四、地图投影变形计算四、地图投影变形计算地图投影基本理论地图投影基本理论 对椭球来说，要研究下列的两个主法截面，一个曲率对椭球来说，要研究下列的两个主法截面，一个曲率半
12、径具有最大值，而另一个曲率半径具有最小值半径具有最大值，而另一个曲率半径具有最小值 子午圈截面：包含子午圈的截面。子午圈截面：包含子午圈的截面。23222(1)(1sin)aeMeBe式中：式中：a a 椭球的长半径椭球的长半径 第一偏心率第一偏心率 为纬度为纬度 子午圈曲率半径通常用字母子午圈曲率半径通常用字母M M表示，它是表示，它是A A点上所有法截点上所有法截弧的弧的曲率半径中的最小值曲率半径中的最小值 地图投影基本理论地图投影基本理论 B卯酉圈截面：垂直于子午圈的截面。卯酉圈截面：垂直于子午圈的截面。e式中：式中：a a 椭球的长半径椭球的长半径 第一偏心率第一偏心率 为纬度为纬度
13、1222(1sin)aNeB 卯酉圈曲率半径是所有法截弧的卯酉圈曲率半径是所有法截弧的曲率半径中的最大值曲率半径中的最大值，以字母以字母N N表示：表示：地图投影基本理论地图投影基本理论 B纬圈的半径，一般用纬圈的半径，一般用r r表示，即表示，即1222coscos(1sin)aBrNBeBr地图投影基本理论地图投影基本理论 dsmdsndsOxyAxDBCdsdsmdsndxdyq 为建立由曲面到平面的表象，先要建立地球表面上的各为建立由曲面到平面的表象，先要建立地球表面上的各元素，如线段、面积、角度与它们在平面上的对应关系式，元素，如线段、面积、角度与它们在平面上的对应关系式，以便于利用
14、这些关系式导出地图投影的基本公式。以便于利用这些关系式导出地图投影的基本公式。地图投影基本理论地图投影基本理论 dsmdsndsOxyAxDBCdsdsmdsndxdyq沿经线微分线段沿经线微分线段ADMd沿纬线微分线段沿纬线微分线段ABrd对角线对角线2222dsACM dr dC C点对点对A A点方位角点方位角为：为：sinrddscosMddsrdtgMd 由微分几何的概念可得微分梯形由微分几何的概念可得微分梯形ABCDABCD的微分面积为：的微分面积为：dFMrd d 地图投影基本理论地图投影基本理论 dsmdsndsOxyAxDBCdsdsmdsndxdyq（x,y）（x+dx,y
15、+dy）对角线对角线dsds对应的为对应的为dsds：22ds=dx+dy222dsEdGdFd d d=0d=0时，时，mA DdsEd d=0d=0时，时，nA BdsGd 利用上式可以获得平面上经利用上式可以获得平面上经纬线微分线段的表达式：纬线微分线段的表达式：地图投影基本理论地图投影基本理论 将投影的一般表达式取将投影的一般表达式取x x、y y对对、的全微分：的全微分：xxdx=dy=ddyydd2222x()()x()()xxyxyyyEyGyFxHE E、F F、G G、H H称为一阶称为一阶基本量，或称高斯系基本量，或称高斯系数。数。地图投影基本理论地图投影基本理论 dsmd
16、sndsOxyAxDBCdsdsmdsndxdyq（x,y）（x+dx,y+dy）对角线对角线ACAC与与x x轴之夹角轴之夹角的的表达式：表达式：sincostgxxdydsdxdsyydddydxdd地图投影基本理论地图投影基本理论 是任意方向与是任意方向与x x轴夹角的表达式，特殊情况下，即当轴夹角的表达式，特殊情况下，即当dd和和dd为零时，经、纬线方向与为零时，经、纬线方向与x x轴的夹角为轴的夹角为m与与n1sin1cosmmmmdyydsEdxxdsE1sin1cosnnnndyydsGdxxdsG地图投影基本理论地图投影基本理论 利用利用m、n推导出十分重要的经、纬线投影后的夹
17、角的表达式推导出十分重要的经、纬线投影后的夹角的表达式360nmD A Bq sinsin()scos()nmnmHEGFcoEGHtgFqqq 微分梯形投影后的面积，即平行四边形的面积，为：微分梯形投影后的面积，即平行四边形的面积，为：sinmndFds dsHd dq 地图投影基本理论地图投影基本理论 dsmdsndsOxyAxDBCdsdsmdsndxdyq地图投影基本理论地图投影基本理论（一）长度比公式（一）长度比公式地图投影基本理论地图投影基本理论(二二)面积比公式面积比公式2ddFa r b rPa bFr P P=a ab b=m m n n (=90(=90度度)P P=ab=
18、m m n n sin sin (90 90度度)地图投影基本理论地图投影基本理论 dFMrd d sinmndFds dsHd dq ddFHd dHPFMrd dMr 地图投影基本理论地图投影基本理论（三）角度变形公式（三）角度变形公式A A点（点（x x、y y），），A A 点点 (x x 、y y)tanyxtanyx xax yby地图投影基本理论地图投影基本理论 tantanbybaxatantantantan(1)tanbbaatantantantan(1)tanbbaasin()tancoscosabasin()sin()abab将上式两边各用将上式两边各用tantana a
19、减和加减和加 即：即：将两式相除，得：将两式相除，得：通过三角变换，得：通过三角变换，得：地图投影基本理论地图投影基本理论 sin()sin()ababsin()abab2()sin2abab 显然当（显然当（a a+a a ）=90=90时，右端取最大值，则最大方时，右端取最大值，则最大方向变形：向变形：以以表示角度最大变形：表示角度最大变形：令令地图投影基本理论地图投影基本理论 地图投影一般存在长度变形、面积变形和角度变形，地图投影一般存在长度变形、面积变形和角度变形，一种投影可以同时存在以上三种变形，但在某种条件下，一种投影可以同时存在以上三种变形，但在某种条件下，可以使某一种变形不发生
20、，如投影后角度不变形，或投影可以使某一种变形不发生，如投影后角度不变形，或投影后面积不变形，或使某一特定方向投影后不产生长度变形。后面积不变形，或使某一特定方向投影后不产生长度变形。五、地图投影条件五、地图投影条件地图投影基本理论地图投影基本理论（一）等角投影条件（一）等角投影条件 使地球面上任意点的任意二方向所夹之角投影后仍使地球面上任意点的任意二方向所夹之角投影后仍保持原夹角大小不变的投影叫等角投影。为了保持等角，保持原夹角大小不变的投影叫等角投影。为了保持等角，就必须使投影面上任意点的角度最大变形为零，即：就必须使投影面上任意点的角度最大变形为零，即：=0=0 按最大角度变形公式，得按最
21、大角度变形公式，得a=ba=b地图投影基本理论地图投影基本理论（二）等面积投影条件（二）等面积投影条件 等面积投影在于使投影面上的面积与地球面上相应面等面积投影在于使投影面上的面积与地球面上相应面积相等。面积不发生变形的投影叫等面积投影，其条件是积相等。面积不发生变形的投影叫等面积投影，其条件是面积比为面积比为1 1，即，即P=1P=1 由面积变形公式得：由面积变形公式得：H=MH=M*r r 或或ab=1ab=1地图投影基本理论地图投影基本理论（三）等距离投影条件（三）等距离投影条件 使某一组特定方向投影后不产生长度变形，这种使某一组特定方向投影后不产生长度变形，这种投影叫做等距离投影。在经
22、纬线正交的投影中，等距投影叫做等距离投影。在经纬线正交的投影中，等距离投影只存在于方位投影、圆柱投影和圆锥投影之中。离投影只存在于方位投影、圆柱投影和圆锥投影之中。等距离投影规定经线长度比等于等距离投影规定经线长度比等于1 1为条件为条件,即即 m=1 m=1 地图投影基本理论地图投影基本理论 六、地图投影分类六、地图投影分类（一）按地图投影变形性质分类（一）按地图投影变形性质分类等角投影等角投影等面积投影等面积投影任意投影任意投影地图投影基本理论地图投影基本理论 方位投影方位投影（二）按正轴投影经纬线形状分类（二）按正轴投影经纬线形状分类地图投影基本理论地图投影基本理论 圆柱投影圆柱投影地图投影基本理论地图投影基本理论 圆锥投影圆锥投影地图投影基本理论地图投影基本理论
