1、任意角的三角函数1、课题任意角的三角函数2、课时1课时3、课型新授课4、教材分析本课是人教版数学（必修）4第一章三角函数的第一节的内容。它是本章教学内容的基本概念，也是学好全章内容的关键，对三角内容的整体学习至关重要，同时它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备，也是今后高考的必考内容之一。5、学情分析在知识上，学生初中已经学习了基本的锐角三角函数的定义，掌握了锐角三角函数的一些常见的知识和求法。同时在数学必修1中建立了函数的概念，但是对弧度制的理解不够深，所以理解三角函数是实数集到实数集的对应关系有一定困难。在能力上，学生刚进入高中的学习，在探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不
2、够均衡，尚有待加强。探究活动必须在老师一定的指导下才能进行。6、教学目标1、知识与技能目标：（1）理解任意角的三角函数的定义。（2）理解并掌握三角函数值的符号。（3）会求任意角的三角函数值。（4）体会类比，数形结合的思想。2、过程与方法目标：通过学生主动参与知识的“发现”与“形成”的过程，提高学生分析、探究、解决问题的能力；领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的思想。 3、情感、态度与价值观目标：培养学生通过现象看本质的唯物主义观，培养学生实事求是的科学态度。7、教学重难点教学重点：正确理解任意角三角函数的定义及分别在各个象限的符号。教学难点：直角坐标系下用坐标比值定义的观念的转换以及坐标定
3、义的合理性的理解。8、教学准备：多媒体课件9、教学过程1复习锐角三角函数的定义师：在初中，我们已经学过锐角三角函数。如图1，在直角ABC中，C是直角，那么根据锐角三角函数的定义，B的正弦、余弦和正切分别是什么？生：回顾初中锐角三角函数的定义。2认识任意角三角函数的定义师：在上节教科书的学习中，我们已经将角的概念推广到了任意角，现在所说的角可以是任意大小的正角、负角和零角。那么任意角的三角函数又该怎样定义呢？(引导学生将锐角三角函数推广到任意角三角函数)师生活动：在教学中，可以根据学生的实际情况，利用下列问题引导学生进行思考：（1）能不能继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？以此来引导学生在平
4、面直角坐标系内定义任意角的三角函数如果学生仍然不能想到借助平面直角坐标系来定义，那么可以进一步提出下列问题来启发学生进行思考：（2）在上节教科书中，将锐角的概念推广到任意角时，我们是把角放在哪里进行研究的？进一步引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数在此基础上，组织学生讨论：（3）如图2，在平面直角坐标系中，如何定义任意角的三角函数呢？如果学生仍用直角三角形边长的比值来定义，则可以作下列引导：（4）终边是OP的角一定是锐角吗？如果不是，能利用直角三角形的边长来定义吗？如图3，如果角的终边不在第I象限又该怎么办？（5）我们知道，借助平面直角坐标系，就可以把几何问题代数化，比如把点用坐标表
5、示，把线段的长用坐标算出来我们还是回到锐角三角函数的问题上，大家能不能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示定义式中的三条边长呢？渗透数形结合的思想。（6）利用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来定义有什么好处？师：大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点？（为引入单位圆进行铺垫）师生活动：教师提出问题后，可组织学生展开讨论在学生不能正确回答时，可启发他们思考下列问题：（1）我们在定义1弧度的角的时候，利用了一个什么图形？所用的圆与半径大小有关吗？用半径多大的圆定义起来更简单易懂些？（2）对于一个三角函数，比如ysin，它的函数值是由什么决定的？那么当一个角的终边位置确定以后，能不
6、能取终边上任意一点来定义三角函数？取哪一点可以使得我们的定义式变得简单些？怎样取？加强与几何的联系。师：大家现在能不能给出任意角三角函数的定义了？（引导学生在借助单位圆定义锐角三角函数的基础上，进一步给出任意角三角函数的定义。）师生活动：由学生给出任意角三角函数的定义，教师进行整理。师：根据任意角三角函数的定义，要求角的三个三角函数值其实就是分别是求什么？（让学生从中体会，用单位圆上点的坐标定义三角函数不仅简化了定义式，还更能突出三角函数概念的本质。）师生活动：在学生回答问题的基础上，引导学生利用定义求三角函数值。例1：已知角的终边经过点 ，求角的正弦、余弦和正切值。（从最简单的问题入手，通过
7、变式，让学生学习如何利用定义求不同情况下函数值的问题，进而加深对定义的理解，加强定义应用中与几何的联系，体会数形结合的思想）师生活动：在完成本题的基础上，可通过下列变式引导学生对三角函数的概念作进一步的认识：变式1：求 的正弦、余弦和正切值变式2：已知角的终边经过点P（3，4），求角的正弦、余弦和正切值。3进一步理解任意角三角函数的概念师：你能否给出正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域？（研究一个函数，就要研究其三要素，而三要素中最本质的则是对应法则和定义域三角函数的对应法则已经由定义式给出，所以在给出定义之后就要研究其定义域通过利用定义求定义域，既完善了三角函数概念的内容，同时又可帮助学生
8、进一步理解三角函数的概念）师生活动：学生求出定义域，教师进行整理师：上述三种函数的值在各象限的符号会怎样？（通过定义的应用，让学生了解三种函数值在各象限的符号的变化规律，并从中进一步理解三角函数的概念，体会数形结合的思想）师生活动：学生回答，教师整理例2：求证：当不等式组 成立时，角为第三象限角。（通过问题的解决，熟悉和记忆函数值在各象限的符号的变化规律，并进一步理解三角函数的概念）师生活动：在完成本题的基础上，可视情况改变题目的条件或结论，作变式训练师：既然我们知道了三角函数的函数值是由角的终边的位置决定的，那么角的终边每绕原点旋转一周，它的大小将会怎样变化？它所对应的三角函数值又将怎样变化
9、？（引出公式一，突出函数周期变化的特点，以及数形结合的思想）师生活动：在教师引导下，由学生讨论完成。例3：先确定下列三角函数值的符号，然后再求出它们的值：（将确定函数值的符号与求函数值这两个问题合在一起，通过应用公式一解决问题，让学生熟悉和记忆公式一，并进一步理解三角函数的概念）师生活动：先完成题（1），再通过改变函数名称和角，逐步完成其他各题。4小结师：今天我们不仅学习了任意角三角函数的定义，还接触了定义的一些应用你能不能归纳一下，今天我们利用定义解决了哪些问题？（回顾和总结三角函数定义在本节课中的应用）师生活动：在学生回顾与总结的基础上，教师有意识地引导学生体会定义应用过程中所蕴含的数形结合思想。5作业教科书对应习题。根据本节课所涉及到的三角函数定义应用的几个方面，从教科书中选择作业题试图通过作业，让学生进一步理解三角函数的概念，并从中评价学生对三角函数概念理解的情况。10、教学反思：（教学反思留白，上完课后补充）
