1、第第 2 课时数列的递推公式课时数列的递推公式学习目标 1.能根据数列的通项公式解决简单的问题.2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求数列的前几项.3.进一步理解数列与函数的关系导语同学们，上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛，大家先看本学案上的例 1.一、数列的通项公式的简单应用例 1已知数列an的通项公式是 an2n2n，nN*.(1)写出数列的前 3 项；(2)判断 45 是否为数列an中的项，3 是否为数列an中的项解(1)在通项公式中
2、依次取 n1,2,3，可得an的前 3 项分别为 1,6,15.(2)令 2n2n45，得 2n2n450，解得 n5 或 n92(舍去)，故 45 是数列an中的第 5项令 2n2n3，得 2n2n30，解得 n1 或 n32，故 3 不是数列an中的项反思感悟(1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第 n 项 an与它的位置序号 n 之间的关系，只要用序号代替公式中的 n，就可以求出数列的相应项(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第 n 项，然后列出关于 n 的方程若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项跟踪训练
3、1已知数列an的通项公式为 anqn，nN*，且 a4a272.(1)求实数 q 的值；(2)判断81 是否为此数列中的项解(1)由题意知 q4q272，则 q29 或 q28(舍去)，q3.(2)当 q3 时，an3n.显然81 不是此数列中的项；当 q3 时，an(3)n.令(3)n81，无解，81 不是此数列中的项二、数列的递推公式问题 1如图所示，有三根针和套在一根针上的 n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上(1)每次只能移动一个金属片；(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面将 n 个金属片从 1 号针移到 3 号针最少需要移动的
4、次数记为 an，你能发现 an与 an1之间的关系吗？提示其实把 n1 个金属片从 1 号针移到 3 号针，只需 3 步即可完成，第一步：把最大金属片上面的 n 个金属片移到 2 号位，需要 an步；第二步：把最大的金属片移到 3 号位，需要 1步；第三步：把 2 号位上的 n 个金属片移到 3 号位，需要 an步，故 an12an1.知识梳理一般地，如果已知一个数列an的第 1 项(或前几项)，且任一项 an与它的前一项 an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式注意点：(1)通项公式反映的是 an与 n 之间的关系；(2)递推关系是数列任意两个或多
5、个相邻项之间的推导关系，需要知道首项，即可求数列中的每一项例 2若数列an满足 a12，an11an1an，nN*，求 a2 021.解a21a11a112123，a31a21a2131312，a41a31a311211213，a51a41a41131132a1，an是周期为 4 的数列，a2 021a45051a12.反思感悟递推公式反映的是相邻两项(或 n 项)之间的关系对于通项公式，已知 n 的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性跟踪训练 2已知数列an的首项 a11，且满足 an112an12n，则此数列的第
6、 3 项是()A1 B.12 C.34 D.58答案C解析a11，a212a1121，a312a212 234.三、由递推公式求通项公式例 3(1)在数列an中，a11，an1an1n1n1，则 an等于()A.1n B.2n1n C.n1n D.12n答案B解析方法一(归纳法)数列的前 5 项分别为a11，a2111221232，a332121321353，a453131421474，a574141521595，又 a11，由此可得数列的一个通项公式为an2n1n.方法二(迭代法)a2a1112，a3a21213，anan11n11n(n2)，则 ana1112121313141n11n21
7、n2n1n(n2)又 a11 也适合上式，所以 an2n1n(nN*)方法三(累加法)an1an1n1n1，a11，a2a1112，a3a21213，a4a31314，anan11n11n(n2)，以上各项相加得an111212131n11n.所以 an2n1n(n2)因为 a11 也适合上式，所以 an2n1n(nN*)(2)已知数列an满足 a11，an1nn1an(n N*)，则 an等于()An1 BnC.1n1 D.1n答案D解析由题意，因为数列an满足 an1nn1an(n N*)，所以an1annn1，所以 ananan1an1an2a3a2a2a1a1n1nn2n1231211
8、n.反思感悟由递推公式求通项公式的常用方法(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式(2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：an1an常数，或 an1anf(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；an1pan(p 为非零常数)，或 an1f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；an1panq(p，q 为非零常数)，适当变形后转化为第类解决跟踪训练 3(1)已知数列an满足 a11，anan1 n1 n(n2)，求 an.解因为 anan1 n1 n(n2)，所以 anan1 n1 n.所以 an(anan1)(an1a
9、n2)(a2a1)a1(n1 n)(n n1)(3 2)1 n1 21.又 a11 也符合上式，所以 an n1 21，nN*.(2)已知数列an满足 a11，ln anln an11(n2)，求 an.解因为 ln anln an11，所以 lnanan11，即anan1e(n2)所以 ananan1an1an2a2a1a1(1)e een 个1en1(n2)，又 a11 也符合上式，所以 anen1，nN*.四、数列的函数特征问题 2在数列的通项公式中，给定任意的序号 n，就会有唯一确定的 an与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？提示函数知识梳理通项公式就是数列的函数解析式，以
10、前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数注意点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集 N*(或它的有限子集)为定义域的函数解析式(2)数列还可以用列表法、图象法表示例 4已知数列an的通项公式是 an(n1)(1011)n，nN*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由解方法一an1an(n2)(1011)n1(n1)(1011)n9n(1011)n11，当 n0，即 an1an；当 n9 时，an1an0，即 an1an；当 n9 时，an1an0，即 an1an.则 a1a2a3a11a12，故数列an有最大项，为第
11、 9 项和第 10 项，且 a9a1010(1011)9.方法二根据题意，令Error!即Error!解得 9n10.又 nN*，则 n9 或 n10.故数列an有最大项，为第 9 项和第 10 项，且 a9a1010(1011)9.反思感悟求数列最值的方法(1)函数的单调性法：令 anf(n)，通过研究 f(n)的单调性来研究最大(小)项(2)不等式组法：先假设有最大(小)项不妨设 an最大，则满足Error!(n2)，解不等式组便可得到 n 的取值范围，从而确定 n 的值；求最小项用不等式组Error!(n2)求得 n 的取值范围，从而确定 n 的值跟踪训练 4已知数列 ann26n5，则
12、该数列中最小项的序号是()A3 B4 C5 D6答案A解析因为 an(n26n9)4(n3)24，所以当 n3 时，an取得最小值1知识清单：(1)数列的递推公式(2)由递推公式求数列的通项公式(3)数列的函数特征2方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法3常见误区：累加法、累乘法中不注意检验首项是否符合通项公式1已知在数列an中，a12，an1ann(nN*)，则 a4的值为()A5 B6 C7 D8答案D解析因为 a12，an1ann，所以 a2a11213，a3a22325，a4a33538.2在数列an中，ann2n1，则an()A是常数列 B不是单调数列C是递增数列 D是递减数列答案
13、D解析在数列an中，ann2n111n1，由反比例函数的性质得an是递减数列3已知数列an中，a11，a22，且 anan2an1(nN*)，则 a2 021的值为()A2 B1 C.12 D.14答案C解析anan2an1(nN*)，由 a11，a22，得 a32，由 a22，a32，得 a41，由 a32，a41，得 a512，由 a41，a512，得 a612，由 a512，a612，得 a71，由 a612，a71，得 a82，由此推理可得数列an是一个周期为 6 的周期数列，所以 a2 021a33665a512.4323 是数列n(n2)的第_项答案17解析由 ann22n323，
14、解得 n17(负值舍去)323 是数列n(n2)的第 17 项课时对点练课时对点练1已知数列an满足 an4an13(n2，nN*)，且 a10，则此数列的第 5 项是()A15 B255 C16 D63答案B解析由递推公式，得 a23，a315，a463，a5255.2数列12，14，18，116，的第 n 项 an与第 n1 项 an1的关系是()Aan12an Ban12anCan112an Dan112an答案D3在数列an中，a112，an111an，则 a2 021等于()A.12 B1 C2 D3答案B解析当 n1 时，a211a11；当 n2 时，a311a22；当 n3 时，
15、a411a312a1；a511a41a2；a62；所以数列an是一个周期为 3 的周期数列，故 a2 021a36732a21.4已知数列an满足 a12，an1an10(nN*)，则此数列的通项公式 an等于()An21 Bn1C1n D3n答案D解析an1an1.当 n2 时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)211()()()1n 共(-1)个 2(1)(n1)3n.当 n1 时，a12 也符合上式故数列的通项公式 an3n(nN*)5下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是()Aan1ann，nN*Banan1n，nN*，n2Can1an(n1
16、)，nN*，n2Danan1(n1)，nN*，n2答案B解析结合图象易知，a11，a23a12，a36a23，a410a34，anan1n，nN*，n2.6已知在数列an中，an2n225n30(nN*)，则数列中最大项的值是()A107 B108 C10818 D109答案B解析由已知得 an2n225n302(n254)210818，由于 nN*，故当 n 取距离254最近的正整数 6 时，an取得最大值 108.数列an中最大项的值为 a6108.7已知在数列an中，a1a2ann2(nN*)，则 a9_.答案8164解析a1a2a882，a1a2a992，得，a992828164.8数
17、列an的通项公式是 ann27n50，则数列中的最小项是_答案38解析数列an的通项公式 ann27n50(n72)21514，因为 nN*，所以当 n3 或 n4 时，an最小，此时 a3a438，则数列中的最小项是 38.9在数列an中，a11，an12an2an(nN*)(1)求 a2，a3，a4；(2)猜想 an(不用证明)解(1)a11，an12an2an，a22a12a123，a32a22a212，a42a32a325.(2)猜想：an2n1.10在数列an中，a12，a1766，通项公式是关于 n 的一次函数(1)求数列an的通项公式；(2)求 a2 021.解(1)设 ankn
18、b(k0)，则有Error!解得Error!an4n2，nN*.(2)a2 02142 02128 082.11已知数列an满足 a10，且 an1nn1an，则数列an的最大项是()Aa1 Ba9Ca10 D不存在答案A解析因为 a10，且 an1nn1an，所以 an0，所以an1annn11，所以 an10，an1an0，(n1)an1nan0，an1annn1，a2a1a3a2a4a3anan1122334n1n1n(n2)，ana11n.又a11，an1na11n.又 a11 也适合上式，an1n，nN*.方法二(迭代法)同方法一，得an1annn1，an1nn1an，ann1nan
19、1n1nn2n1an2n1nn2n1n3n2an3n1nn2n1n3n212a11na1.又a11，an1n.方法三(构造特殊数列法)同方法一，得an1annn1，(n1)an1nan，数列nan是常数列，nan1a11，an1n(nN*)15在一个数列中，如果对任意 nN*，都有 anan1an2k(k 为常数)，那么这个数列叫作等积数列，k 叫作这个数列的公积已知数列an是等积数列，且 a11，a22，公积为 8，则a1a2a3a12_.答案28解析依题意得数列an是周期为 3 的数列，且 a11，a22，a34，因此 a1a2a3a124(a1a2a3)4(124)28.16已知数列an
20、满足：a1m(m 为正整数)，an1Error!若 a44，求 m 所有可能的取值解若 a3为奇数，则 3a314，a31.若 a2为奇数，则 3a211，a20(舍去)，若 a2为偶数，则a221，a22.若 a1为奇数，则 3a112，a113(舍去)，若 a1为偶数，a122，a14；若 a3为偶数，则a324，a38.若 a2为奇数，则 3a218，a273(舍去)，若 a2为偶数，则a228，a216.若 a1为奇数，则 3a1116，a15，若 a1为偶数，则a1216，a132.故 m 所有可能的取值为 4,5,32.苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件数列的递推公式数列的递推公
21、式同学们，上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛，大家先看本学案上的例1.导导 语语一、数列的通项公式的简单应用一、数列的通项公式的简单应用例1已知数列an的通项公式是an2n2n，nN*.(1)写出数列的前3项；解在通项公式中依次取n1,2,3，可得an的前3项分别为1,6,15.(2)判断45是否为数列an中的项，3是否为数列an中的项.解令2n2n45，得2n2n450，令2n2n3，得2n2n30，反思感悟(1)利用数列的通项公式求某项的方
22、法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项.(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项.跟踪训练1已知数列an的通项公式为anqn，nN*，且a4a272.(1)求实数q的值；解由题意知q4q272，则q29或q28(舍去)，q3.(2)判断81是否为此数列中的项.解当q3时，an3n.显然81不是此数列中的项；当q3时，an(3)n.令(3)n81，无解，81不是此数列中的项.二、数列的递推公式二、数列的
23、递推公式问题1如图所示，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.(1)每次只能移动一个金属片；(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为an，你能发现an与an1之间的关系吗？提示其实把n1个金属片从1号针移到3号针，只需3步即可完成，第一步：把最大金属片上面的n个金属片移到2号位，需要an步；第二步：把最大的金属片移到3号位，需要1步；第三步：把2号位上的n个金属片移到3号位，需要an步，故an12an1.一般地，如果已知一个数列 的第1项(或前几项)，且任一项an与
24、它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用 来表示，那么这个公式就叫作这个数列的 .注意点：(1)通项公式反映的是an与n之间的关系；(2)递推关系是数列任意两个或多个相邻项之间的推导关系，需要知道首项，即可求数列中的每一项.知识梳理知识梳理一个公式递推公式例2若数列an满足a12，an1 ，nN*，求a2 021.an是周期为4的数列，a2 021a45051a12.反思感悟递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性.三、由递推公式求通项公式三、由递推
25、公式求通项公式解析方法一(归纳法)数列的前5项分别为又a11，a11，反思感悟由递推公式求通项公式的常用方法(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式.(2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：an1an常数，或an1anf(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；an1pan(p为非零常数)，或an1f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；an1panq(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第类解决.所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1又a11也符合上式，(2)已知数列an满足a11，ln anln a
26、n11(n2)，求an.解因为ln anln an11，1en1(n2)，又a11也符合上式，所以anen1，nN*.四、数列的函数特征四、数列的函数特征问题2在数列的通项公式中，给定任意的序号n，就会有唯一确定的an与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？提示函数.通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数.注意点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数解析式.(2)数列还可以用列表法、图象法表示.知识梳理知识梳理当n0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，
27、an1an0，即an1an.则a1a2a3a11a12，解得9n10.又nN*，则n9或n10.故数列an有最大项，反思感悟求数列最值的方法(1)函数的单调性法：令anf(n)，通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项.(2)不等式组法：先假设有最大(小)项.不妨设an最大，则满足 (n2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组 (n2)求得n的取值范围，从而确定n的值.所以当n3时，an取得最小值.跟踪训练跟踪训练4已知数列ann26n5，则该数列中最小项的序号是A.3 B.4 C.5 D.61.知识清单：(1)数列的递推公式.(2)由递推公式求数列的通项公式
28、.(3)数列的函数特征.2.方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法.3.常见误区：累加法、累乘法中不注意检验首项是否符合通项公式.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.已知在数列an中，a12，an1ann(nN*)，则a4的值为A.5 B.6 C.7 D.8解析因为a12，an1ann，所以a2a11213，a3a22325，a4a33538.12341234A.是常数列 B.不是单调数列C.是递增数列 D.是递减数列12343.已知数列an中，a11，a22，且anan2an1(nN*)，则a2 021的值为解析anan2an1(nN*)，由a11，a22，得a32，由a22，a32，得a
29、41，由此推理可得数列an是一个周期为6的周期数列，123412344.323是数列n(n2)的第_项.解析由ann22n323，解得n17(负值舍去).323是数列n(n2)的第17项.17课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 161.已知数列an满足an4an13(n2，nN*)，且a10，则此数列的第5项是A.15 B.255 C.16 D.63解析由递推公式，得a23，a315，a463，a5255.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16所以数列an是一个周期为3的
30、周期数列，故a2 021a36732a21.4.已知数列an满足a12，an1an10(nN*)，则此数列的通项公式an等于A.n21 B.n1 C.1n D.3n解析an1an1.当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)22(1)(n1)3n.当n1时，a12也符合上式.故数列的通项公式an3n(nN*).12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 165.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是A.an1ann，nN*B.anan1n，nN*，n2解析结合图象易知，a11，a2
31、3a12，a36a23，a410a34，anan1n，nN*，n2.12345678910 11 12 13 14 15 166.已知在数列an中，an2n225n30(nN*)，则数列中最大项的值是数列an中最大项的值为a6108.12345678910 11 12 13 14 15 167.已知在数列an中，a1a2ann2(nN*)，则a9_.解析a1a2a882，a1a2a992，12345678910 11 12 13 14 15 168.数列 的通项公式是ann27n50，则数列中的最小项是_.因为nN*，所以当n3或n4时，an最小，此时a3a438，则数列中的最小项是38.38
32、12345678910 11 12 13 14 15 16(1)求a2，a3，a4；(2)猜想an(不用证明).12345678910 11 12 13 14 15 1610.在数列an中，a12，a1766，通项公式是关于n的一次函数.(1)求数列an的通项公式；解设anknb(k0)，an4n2，nN*.12345678910 11 12 13 14 15 16(2)求a2 021.解a2 02142 02128 082.12345678910 11 12 13 14 15 16综合运用A.a1 B.a9C.a10 D.不存在12345678910 11 12 13 14 15 16所以a
33、n0，所以an10，an1an0，(n1)an1nan0，12345678910 11 12 13 14 15 16又a11也适合上式，方法二(迭代法)12345678910 11 12 13 14 15 16方法三(构造特殊数列法)(n1)an1nan，数列nan是常数列，nan1a11，12345678910 11 12 13 14 15 16拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.在一个数列中，如果对任意nN*，都有anan1an2k(k为常数)，那么这个数列叫作等积数列，k叫作这个数列的公积.已知数列an是等积数列，且a11，a22，公积为8，则a1a2a3a12_.解析依题意得数列an是周期为3的数列，且a11，a22，a34，因此a1a2a3a124(a1a2a3)4(124)28.2812345678910 11 12 13 14 15 1616.已知数列an满足：a1m(m为正整数)，an1若a44，求m所有可能的取值.解若a3为奇数，则3a314，a31.若a2为奇数，则3a211，a20(舍去)，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16若a1为奇数，则3a1116，a15，故m所有可能的取值为4,5,32.
