1、苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东侧的P处，如图所示.公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A，B两处，并使区商业中心O到A，B两处的距离之和最短.导 语导 语在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A，B能否确定？一、直线的两点式方程一、直线的两点式方程问题1我们知道已知两点也可以确定一条直线，若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2，y1y2)，你能否得出直线的方程呢？经过两点P1(x
2、1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1x2，y1y2)的直线方程_，叫作直线的两点式方程.注意点：注意点：(1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1x2)或斜率为0(y1y2)时，不能用两点式方程表示.(2)两点式方程与这两个点的顺序无关.(3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等.知识梳理知识梳理例1(1)过(1,2)，(5,3)的直线方程是解析直线过(1,2)，(5,3)，(2)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点(1,0)，(1,4)，则直线l的两点式方程是_.反思感悟利用两点式求直线的方程首先要判断是否满足两点式方程的
3、适用条件.若满足即可考虑用两点式求方程.在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程.跟踪训练1(1)过点A(2,1)，B(3，3)的直线方程为_.解析因为直线过点(2,1)和(3，3)，4x5y30化简得4x5y30.(2)已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程.解由直线经过点A(1,0)，B(m,1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在.(1)当直线斜率不存在，即m1时，直线方程为x1；(2)当直线斜率存在，即m1时，利用两点式，综上可得，当m1时，直线方程为x1；当m1时，直线方程为x(m1)y10.二、直线的截距式方程二、直线的截距式方程
4、问题问题2若给定直线上两点A(a,0)，B(0，b)(a0，b0)，你能否得出直线的方程呢？方程 1，其中 称为直线在y轴上的截距，称为直线在x轴上的截距.这个方程由直线在x轴和y轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫作直线的 .注意点：注意点：(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程.(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图.(3)与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示.(4)过原点的直线的横、纵截距都为零.知识梳理知识梳理ba截距式方程例例2求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.解(
5、1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，即xy10.(2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为ykx，因为l过点(3,4)，所以4k3，综上，直线l的方程为xy10或4x3y0.延伸探究延伸探究1.若将点A的坐标改为“A(3，4)”，其他条件不变，又如何求解？解(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，(2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为ykx，由于l过点(3，4)，所以直线l的方程为4x3y0.综上，直线l的方程为xy10或4x3y0.所以直线l的方程为xy70.(2)当截距
6、为0时，设直线l的方程为ykx，综上，直线l的方程为xy70或4x3y0.2.若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？反思感悟截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可.(2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.(3)要注意截距式方程的逆向应用.跟踪训练跟踪训练2直线l过点P ，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点.当AOB的周长为12时，求直线l的方程.两边平方整理得ab12(ab)720.所以直线l的方程为3x4y120或15x8y360.三、直线方程的灵活应用三
7、、直线方程的灵活应用例例3过点P(1,4)作直线l，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为原点.(1)若ABO的面积为9，求直线l的方程；解设A(a,0)，B(0，b)，其中a0，b0，即ab18，由(*)式得，b4aab18，从而b184a，a(184a)18，整理得，2a29a90，整理得，2xy60或8xy120.(2)若ABO的面积为S，求S的最小值，并求出此时直线l的方程.反思感悟直线方程的选择技巧(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率.(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距.(3
8、)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程.(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决.跟踪训练跟踪训练3一束光线从点A(3,2)发出，经x轴反射，通过点B(1,6)，分别求入射光线和反射光线所在直线的方程.点B(1,6)关于x轴的对称点为B(1，6).解易知点A(3,2)关于x轴的对称点为A(3，2).由已知可得反射光线所在直线为直线AB，即2xy40.故入射光线所在直线的方程为2xy40，反射光线所在直线的方程为2xy40.1.知识清单：(1)直线的两点式方程.(2)直线的截距式方程.2.方法归纳：分类
9、讨论法、数形结合法.3.常见误区：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练12341.在x轴、y轴上的截距分别是3,4的直线方程是12342.过点(1,2)，(5,3)的直线方程是解析所求直线过点(1,2)，(5,3)，1234解析当直线过原点时，得直线方程为2xy0；当在坐标轴上的截距不为零时，将x1，y2代入方程可得a1，得直线方程为xy10.直线方程为2xy0或xy10.3.过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为_.2xy0或xy104.过(1，1)和(1,3)两点的直线在x轴上的截距为_，在y轴上的截距为_.12341课时对点练课
10、时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 161.过两点(2,1)和(1,4)的直线方程为A.yx3 B.yx1C.yx2 D.yx2整理得yx3.2.已知直线l：axy20在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是A.1 B.1C.2或1 D.2或112345678910 11 12 13 14 15 16直线l：axy20在x轴和y轴上的截距相等，12345678910 11 12 13 14 15 16A.a0，b0 B.a0，b0C.a0 D.a0，b0解析因为直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a0.12345678910
11、11 12 13 14 15 164.经过点A(2,5)，B(3,6)的直线在x轴上的截距为A.2 B.3C.27 D.27即x5y270，令y0，得x27.12345678910 11 12 13 14 15 165.下列说法正确的是A.经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程yy0k(xx0)表示B.经过定点A(0，b)的直线都可以用方程ykxb表示D.经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y y1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示12345678910 11 12 13 14 15 16解析选项A不正确，当直线的斜率不存在时，经过定点P0
12、(x0，y0)的直线不可以用方程yy0k(xx0)表示；选项B不正确，当直线的斜率不存在时，经过定点A(0，b)的直线不可以用方程ykxb表示；选项C不正确，当直线与x轴平行或者与y轴平行时，虽然不经过原点但不可以用方程 表示；选项D正确，斜率有可能不存在，截距也有可能为0，但都能用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示.12345678910 11 12 13 14 15 166.经过点P(1,2)并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有A.0条 B.1条 C.2条 D.3条12345678910 11 12 13 14 15 16解析直线l经过原点时，可得直线方程为y2x.
13、解得a1，b1，可得方程为xy1.解得a3，b3，可得方程为yx3.综上可得，满足条件的直线的条数为3.7.若直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点A(6，2)，则直线l的方程为_.解析设直线l在y轴上的截距为a(a0)，则在x轴上的截距为a1(a1)，即a23a20，a2或a1，12345678910 11 12 13 14 15 168.过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当OAOB取最小值时，直线l的方程为_.x2y6012345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 169.
14、已知三角形的顶点坐标是A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，试求这个三角形的三条边所在直线的方程.同理可得直线BC：5x3y60，直线AC：2x5y100.10.求过点P(6，2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程.解得a2或a1，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1611.(多选)过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为A.xy5B.xy5C.x4y0D.x4y0综合运用12345678910 11 12 13 14 15 16即x4y0；把(4,1)代入，解得a5，所以直线方程为xy5
15、.综上可知，直线方程为xy5或x4y0.12.已知ABC的三个顶点分别为A(2,8)，B(4,0)，C(6，0)，则过点B将ABC的面积平分的直线方程为A.2xy40 B.x2y40C.2xy40 D.x2y40解析由A(2,8)，C(6,0)，得AC的中点坐标为D(4,4)，则过点B将ABC的面积平分的直线过点D(4,4)，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1，检验4个选项，知只有B选项满足.14.已知直线l过点(2,3)，且在x轴上的截
16、距是在y轴上截距的两倍，则直线l的方程为_.12345678910 11 12 13 14 15 16解析若l在坐标轴上的截距均为0，3x2y0或x2y80当l在坐标轴上的截距不为0时，设其在y轴上的截距为b，所以l的方程为x2y80.综上，直线l的方程为3x2y0或x2y80.拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是_.312345678910 11 12 13 14 15 1616.若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程.12345678910 11 12 13 14 15 16解直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.若l在两坐标轴上的截距相等，且设为a(a0)，a6.直线l的方程为xy60.若l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为a(a0)，12345678910 11 12 13 14 15 16a6，直线的方程为xy60.综上所述，直线l的方程为xy60或xy60.
