1、习题课直线与椭圆的位置关系习题课直线与椭圆的位置关系学习目标 1.会判断直线与椭圆的位置关系.2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题导语激光武器是一种利用激光束攻击目标的定向能武器目前我国的高能激光武器完全有能力击毁或致盲国外的间谍卫星(在以地球球心为焦点的椭圆形轨道上运行的低空卫星)，假如有一天我们要用激光武器对付间谍卫星就需要用到我们本节课要学习的直线与圆锥曲线的位置关系的知识，因为激光是直线光而卫星轨道是椭圆，激光击毁卫星实际上是直线与椭圆的相交问题一、弦长公式问题直线与圆的相交求弦长的两种方法？提示(1)利用半径 r、弦心距 d 和弦长的一半构成直角三角形，结合勾股定
2、理进行求解(2)斜率为 k 的直线 l 与圆 C 交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 AB1k2|x1x2|(弦长公式)知识梳理弦长公式设直线与椭圆交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有ABx1x22y1y221k2x1x221k2|x2x1|1k2x1x224x1x2，或 AB(11k2)y1y2211k2|y2y1|11k2y1y224y1y2(k 为直线斜率且 k0)注意点：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况例 1已知斜率为 2 的直线经过椭圆x25y241 的右焦点 F1，与椭圆相交于 A，B 两点，求弦 AB的长解因为直线 l 过椭圆x25y241
3、 的右焦点 F1(1,0)，又直线的斜率为 2，所以直线 l 的方程为 y2(x1)，即 2xy20.方法一解方程组Error!Error!得交点 A(0，2)，B(53，43)，所以 ABxAxB2yAyB2(053)2(243)21259553，方法二设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组Error!Error!消去 y 得 3x25x0，因为(5)2250，则 x1x253，x1x20.所以 ABx1x22y1y22x1x221k2AB1k2ABx1x224x1x2122(53)24 0553.方法三由方程组Error!Error!消去 x 得3y22y80，因为 2243(8
4、)1000，则 y1y223，y1y283，所以 ABx1x22y1y22y1y22(1k2AB1)(11k2AB)y1y224y1y2(114)(23)24(83)553.反思感悟灵活应用弦长公式，当直线斜率可能不存在时，要单独验证跟踪训练 1椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左顶点到右焦点的距离为32，椭圆上的点到右焦点的距离的最小值为32.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设斜率为 1 的直线 l 经过椭圆上顶点，并与椭圆交于 A，B 两点，求 AB.解(1)设椭圆x2a2y2b21(ab0)的半焦距为 c，由题意可得Error!Error!解得 a3，c2.所以 b2a2c21.则
5、椭圆 C 的方程为x23y21.(2)如图，椭圆 C 的上顶点 A(0,1)，则直线 l 的方程为 yx1.联立Error!Error!得 2x23x0.解得 xA0，xB32.所以 AB2|xAxB|322.二、弦长公式的应用例 2已知椭圆 4x2y21 及直线 yxm，若直线被椭圆截得的弦长为2105，求直线的方程解把直线方程 yxm 代入椭圆方程 4x2y21，得 4x2(xm)21，即 5x22mxm210.(*)则(2m)245(m21)16m2200，解得52mb0)的一个顶点为 A(2,0)，离心率为22，直线 yk(x1)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N.(1)求椭圆 C 的
6、方程；(2)当AMN 的面积为103时，求 k 的值解(1)由题意得Error!Error!得 b2，所以椭圆 C 的方程为x24y221.(2)由Error!Error!得(12k2)x24k2x2k240.设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 x1x24k212k2，x1x22k2412k2，所以 MNx2x12y2y121k2x1x224x1x221k246k212k2.又点 A(2,0)到直线 yk(x1)的距离 d|k|1k2，所以AMN 的面积 S12MNd|k|46k212k2，由|k|46k212k2103，得 k1，满足 0.所以当AMN 的面积为10
7、3时，k1.三、中点弦知识梳理“点差法”的核心假设弦 l 中点为(x0，y0)，弦的两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 x1x22x0，y1y22y0，由Error!Error!两式作差得2x0 x1x2a22y0y1y2b20，即 klb2x0a2y0.注意点：(1)涉及中点及斜率；(2)检验例 3过椭圆x216y241 内一点 M(2,1)引一条弦，使弦被 M 点平分(1)求此弦所在的直线方程；(2)求此弦长解(1)方法一由题意知，直线的斜率存在设所求直线方程为 y1k(x2)，代入椭圆方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160，0.设直线与椭圆的交
8、点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1，x2是方程的两个根，则 x1x282k2k4k21.又 M 为 AB 的中点，x1x2242k2k4k212，解得 k12.故所求直线的方程为 x2y40.方法二设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)又 M(2,1)为 AB 的中点，x1x24，y1y22.又 A，B 两点在椭圆上，则 x2 14y2 116，x2 24y2 216.两式相减得(x2 1x2 2)4(y2 1y2 2)0.则(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.y1y2x1x2x1x24y1y212，即 kAB12.又直线 AB 过点 M(2
9、,1)，故所求直线的方程为 x2y40.(2)设弦的两端点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由Error!Error!得 x24x0，x1x24，x1x20，AB1k2x1x224x1x21(12)2424 025.延伸探究1本例中把条件改为“点 M(2,1)是直线 x2y40 被焦点在 x 轴上的椭圆所截得的线段的中点”，求该椭圆的离心率解设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，直线与椭圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，则 x1x24，y1y22.由x2 1a2y2 1b21 和x2 2a2y2 2b21，得4x1x2a22y1y2b2，ky1y2x1x22b2a2.又
10、 x2y40 的斜率为12，b2a214.椭圆的离心率为 eca1(ba)211432.2把本例条件“使弦被 M 点平分”去掉，其他条件不变，求弦的中点 P 的轨迹方程解设弦的中点为 P(x，y)，两端点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则Error!Error!2xx1x2162yy1y24，当直线 l 的斜率存在时，则 kly1y2x1x2x4y.又 klkPMy1x2，x4yy1x2.整理得 x24y22x4y0.当直线 l 的斜率不存在时 P 点为(2,0)，满足上述方程，故轨迹方程为 x24y22x4y0.(椭圆内的部分)反思感悟涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标
11、，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点坐标与斜率的关系跟踪训练 3过点 M(1,1)作斜率为12的直线与椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率为_答案22解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x2 1a2y2 1b21，x2 2a2y2 2b21.M 是线段 AB 的中点，x1x221，y1y221.直线 AB 的方程是 y12(x1)1，y1y212(x1x2)由两式相减可得x2 1x2 2a2y2 1y2 2b20，即2a2(12)2b20.a2b.cb.eca22.1知识清单：(1)弦长公式(2)中点弦的求法(
12、3)直线与椭圆的位置关系的综合应用2方法归纳：分类讨论法、点差法3常见误区：忽略直线中斜率不存在的情况1过椭圆x24y21 的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于 A，B 两点，则 AB 等于()A4 B23C1 D43答案C解析因为x24y21 中 a24，b21，所以 c23，所以右焦点坐标为(3，0)，将 x3代入x24y21 得，y12，故 AB1.2直线 yx1 被椭圆 2x2y24 所截得的弦的中点坐标是()A.(13，23)B.(23，13)C.(12，13)D.(13，12)答案A解析由Error!Error!消去 y 得 2x2(x1)24，即 3x22x30，弦的中点的
13、横坐标是 x122313，代入直线方程 yx1 中，得 y23，弦的中点坐标是(13，23).3直线 yx1 被椭圆 x24y28 截得的弦长是()A.1225 B.825 C.34 D.172答案A解析将直线 yx1 代入 x24y28，可得 x24(x1)28，即 5x28x40，x12，x225，y11，y275，直线 yx1 被椭圆 x24y28 截得的弦长为(252)2(751)21225.4椭圆 x24y216 被直线 y12x1 截得的弦长为_答案35解析由Error!Error!消去 y 并化简得 x22x60.设直线与椭圆的交点为 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1
14、x22，x1x26.弦长 MN1k2|x1x2|54x1x224x1x25442435.课时对点练课时对点练一、选择题1过椭圆 x22y24 的左焦点作倾斜角为3的弦 AB，则弦 AB 的长为()A.67 B.167 C.716 D.76答案B解析易求直线 AB 的方程为 y3(x2)由Error!Error!消去 y 并整理，得 7x2122x80.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x21227，x1x287.由弦长公式，得 AB1k2|x1x2|132(1227)24 87167.2直线 x4ym0 交椭圆x216y21 于 A，B 两点，若线段 AB 中点的横坐标为 1，则
15、 m的值是()A2 B1C1 D2答案A解析x4ym0，y14xm4，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Error!Error!两式相减，得y1y2x1x2x1x216y1y214.AB 中点的横坐标为 1，纵坐标为14，将(1，14)代入直线 y14xm4，解得 m2.3若 AB 是过椭圆x2a2y2b21(ab0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且 AM，BM 与两坐标轴均不平行，kAM，kBM分别表示直线 AM，BM 的斜率，则 kAMkBM等于()Ac2a2 Bb2a2 Cc2b2 Da2b2答案B解析方法一设 A(x1，y1)，M(x0，y0)，则 B(x1，y1)，kA
16、MkBMy0y1x0 x1y0y1x0 x1y2 0y2 1x2 0 x2 1b2a2x2 0b2b2a2x2 1b2x2 0 x2 1b2a2.方法二(特殊值法)因为四个选项为定值，取 A(a,0)，B(a,0)，M(0，b)，可得 kAMkBMb2a2.4(多选)设椭圆的方程为x22y241，斜率为 k 的直线 l 不经过原点 O，且与椭圆相交于 A，B两点，M 为线段 AB 的中点，则下列结论正确的是()AkABkOM1B若点 M 的坐标为(1,1)，则直线 l 的方程为 2xy30C若直线 l 的方程为 yx1，则点 M 的坐标为(13，43)D若直线 l 的方程为 yx2，则 AB4
17、23答案BD解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则Error!Error!两式相减，得x2 1x2 22y2 1y2 240，即y1y2x1x2y1y2x1x22，即 kABkOM2.对于 A，kABkOM21，所以 A 不正确；对于B，由 kABkOM2，M(1,1)，得 kAB2，所以直线 l 的方程为 y12(x1)，即 2xy30，所以 B 正确；对于 C，直线 l 的方程为 yx1，M(13，43)，则 kABkOM1442，所以 C 不正确；对于 D，由Error!Error!得 3x24x0，解得 x0 或43，所以 AB112|430|423，所以 D
18、 正确二、填空题5已知椭圆的方程为x24y231，左、右焦点分别为 F1，F2，经过点 F1的一条直线与椭圆交于 A，B 两点若直线 AB 的倾斜角为4，则弦长 AB 为_答案247解析易知 F1(1,0)，直线 AB 的倾斜角为4，直线 AB 的斜率为 1，可得直线 AB 的方程为 yx1.联立Error!Error!整理得 7x28x80，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可知 x1x287，x1x287，则由弦长公式得 AB1k2x1x224x1x22(87)24(87)247.6已知椭圆两顶点 A(1,0)，B(1,0)，过焦点 F(0,1)的直线 l 与椭圆交于
19、 C，D 两点，当 CD322时，直线 l 的方程为_答案2xy10 或2xy10解析由题意得 b1，c1.a2b2c2112.椭圆方程为y22x21.当直线 l 的斜率不存在时，CD22，不符合题意当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 ykx1，联立Error!Error!得(k22)x22kx10.8(k21)0 恒成立设 C(x1，y1)，D(x2，y2)x1x22kk22，x1x21k22.CD1k2|x1x2|1k2x1x224x1x222k21k22.即22k21k22322，解得 k22，k2.直线 l 的方程为2xy10 或2xy10.三、解答题7设椭圆 C：x2a2y2
20、b21(ab0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求椭圆 C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被 C 所截线段的中点的坐标解(1)将(0,4)代入 C 的方程，得16b21，b4.由 eca35，得a2b2a2925，即 116a2925，a5，椭圆 C 的方程为x225y2161.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为 y45(x3)设直线与 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线 AB 的方程 y45(x3)代入 C 的方程，得x225x32251，即 x23x80，则 x1x23，Error!Error!x1x2232，y1y2245(323)6
21、5，即中点的坐标为(32，65).8在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为12，过椭圆右焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD.当直线 AB 斜率为 0 时，AB4.(1)求椭圆的方程；(2)若 ABCD487，求直线 AB 的方程解(1)由题意知 eca12，2a4.又 a2b2c2，解得 a2，b3，所以椭圆方程为x24y231.(2)当两条弦中一条弦所在直线的斜率为 0 时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知ABCD7，不满足条件当两弦所在直线的斜率均存在且不为 0 时，设直线 AB 的方程为 yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
22、则直线 CD 的方程为 y1k(x1)将直线 AB 方程代入椭圆方程中并整理得(34k2)x28k2x4k2120，则 x1x28k234k2，x1x24k21234k2，所以 ABk21|x1x2|k21x1x224x1x212k2134k2.同理，CD12(1k21)34k212k213k24，ABCD84k21234k23k24487，解得 k1，所以直线 AB 的方程为 xy10 或 xy10.9已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的顶点到直线 l1：yx 的距离分别为2和22.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设平行于 l1的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且|OA OB
23、|AB|，求直线 l 的方程解(1)由直线 l1：yx 可知其与两坐标轴的夹角均为 45，故长轴端点到直线 l1的距离为22a，短轴端点到直线 l1的距离为22b，所以22a2，22b22，解得 a2，b1，所以椭圆 C 的标准方程为x24y21.(2)设直线 l：yxt(t0)，联立Error!Error!整理得 5x28tx4t240，则 64t2165(t21)0，解得5t5且 t0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x28t5，x1x24t245，故 y1y2(x1t)(x2t)(x1x2)tx1x2t2t245，因为|OA OB|AB|，所以 OAOB，即OA OB x
24、1x2y1y24t245t2450，解得 t2105，满足5t5且 t0，所以直线 l 的方程为 yx2105或 yx2105.苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件习题课直线与椭圆的位置关系习题课直线与椭圆的位置关系激光武器是一种利用激光束攻击目标的定向能武器.目前我国的高能激光武器完全有能力击毁或致盲国外的间谍卫星(在以地球球心为焦点的椭圆形轨道上运行的低空卫星)，假如有一天我们要用激光武器对付间谍卫星就需要用到我们本节课要学习的直线与圆锥曲线的位置关系的知识，因为激光是直线光而卫星轨道是椭圆，激光击毁卫星实际上是直线与椭圆的相交问题.导导 语语一、弦长公式一、弦长公式问题直线与圆的相交求弦
25、长的两种方法？提示(1)利用半径r、弦心距d和弦长的一半构成直角三角形，结合勾股定理进行求解.(2)斜率为k的直线l与圆C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB|x1x2|(弦长公式).弦长公式知识梳理知识梳理注意点：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况.例1已知斜率为2的直线经过椭圆 1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长.又直线的斜率为2，所以直线l的方程为y2(x1)，即2xy20.消去y得3x25x0，因为(5)2250，消去x得3y22y80，因为2243(8)1000，反思感悟灵活应用弦长公式，当直线斜率可能不存在时，要单独验证.(1)求椭圆C的方
26、程；所以b2a2c21.(2)设斜率为1的直线l经过椭圆上顶点，并与椭圆交于A，B两点，求AB.解如图，椭圆C的上顶点A(0,1)，则直线l的方程为yx1.二、弦长公式的应用二、弦长公式的应用例2已知椭圆4x2y21及直线yxm，若直线被椭圆截得的弦长为 ，求直线的方程.解把直线方程yxm代入椭圆方程4x2y21，得4x2(xm)21，即5x22mxm210.(*)则(2m)245(m21)16m2200，设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2.解得m0.因此，所求直线的方程为yx.反思感悟(1)直线与椭圆相交，若已知弦长或已知弦长之间的关系，求直线的斜率或截距时，可通过弦长公式建立关于未
27、知量的方程或不等式，求参数值或参数取值范围.(2)在用根与系数的关系时要在判别式大于零的条件下.(1)求椭圆C的方程；设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，三、中点弦三、中点弦“点差法”的核心假设弦l中点为(x0，y0)，弦的两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x22x0，y1y22y0，知识梳理知识梳理注意点：(1)涉及中点及斜率；(2)检验.例3过椭圆 1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分.(1)求此弦所在的直线方程；解方法一由题意知，直线的斜率存在.设所求直线方程为y1k(x2)，代入椭圆方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)
28、2160，0.设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程的两个根，又M为AB的中点，故所求直线的方程为x2y40.方法二设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).又M(2,1)为AB的中点，x1x24，y1y22.又A，B两点在椭圆上，则(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.又直线AB过点M(2,1)，故所求直线的方程为x2y40.(2)求此弦长.解设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x24，x1x20，延伸探究1.本例中把条件改为“点M(2,1)是直线x2y40被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点”，求该椭
29、圆的离心率.直线与椭圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x24，y1y22.2.把本例条件“使弦被M点平分”去掉，其他条件不变，求弦的中点P的轨迹方程.解设弦的中点为P(x，y)，两端点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，当直线l的斜率存在时，整理得x24y22x4y0.当直线l的斜率不存在时P点为(2,0)，满足上述方程，故轨迹方程为x24y22x4y0.(椭圆内的部分)反思感悟涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点坐标与斜率的关系.1.知识清单：(1)弦长公式.(2)中点弦的求法.(3)直线与椭圆的位置关系的综合应用.2.方法
30、归纳：分类讨论法、点差法.3.常见误区：忽略直线中斜率不存在的情况.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.过椭圆 y21的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，则AB等于所以c23，故AB1.123412342.直线yx1被椭圆2x2y24所截得的弦的中点坐标是消去y得2x2(x1)24，即3x22x30，12343.直线yx1被椭圆x24y28截得的弦长是解析将直线yx1代入x24y28，可得x24(x1)28，即5x28x40，12344.椭圆x24y216被直线y x1截得的弦长为_.消去y并化简得x22x60.设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x
31、22，x1x26.1234课时对点练课时对点练123456789一、选择题1.过椭圆x22y24的左焦点作倾斜角为 的弦AB，则弦AB的长为设A(x1，y1)，B(x2，y2)，1234567891234567892.直线x4ym0交椭圆 y21于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m的值是A.2 B.1C.1 D.2解析x4ym0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，123456789AB中点的横坐标为1，1234567891234567893.若AB是过椭圆 1(ab0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与两坐标轴均不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则
32、kAMkBM等于123456789解析方法一设A(x1，y1)，M(x0，y0)，则B(x1，y1)，方法二(特殊值法).因为四个选项为定值，取A(a,0)，B(a,0)，M(0，b)，1234567894.(多选)设椭圆的方程为 1，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是A.kABkOM1B.若点M的坐标为(1,1)，则直线l的方程为2xy30123456789解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，对于A，kABkOM21，所以A不正确；对于B，由kABkOM2，M(1,1)，得kAB2，所以直线l的方程为y12(
33、x1)，即2xy30，所以B正确；123456789则kABkOM1442，所以C不正确；123456789二、填空题123456789解析易知F1(1,0)，直线AB的斜率为1，可得直线AB的方程为yx1.整理得7x28x80，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，1234567891234567896.已知椭圆两顶点A(1,0)，B(1,0)，过焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C，D两 点，当 CD 时，直 线 l的 方 程 为_.123456789解析由题意得b1，c1.a2b2c2112.当直线l的斜率存在时，设l的方程为ykx1，8(k21)0恒成立.123456789设C(x1，
34、y1)，D(x2，y2).三、解答题(1)求椭圆C的方程；123456789123456789设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x23，123456789123456789(1)求椭圆的方程；123456789解当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知ABCD7，不满足条件.当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得(34k2)x28k2x4k2120，123456789123456789所以直线AB的方程为xy10或xy10.123456789(1)求椭圆C的标准方程；解由直线l1：yx可知其与两坐标轴的夹角均为45，解得a2，b1，123456789123456789整理得5x28tx4t240，则64t2165(t21)0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，123456789123456789
