1、2.2直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系学习目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系导语海上日出是非常壮丽的美景在海天交于一线的天际，一轮红日慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着斑斓的霞光和迷人的风采在这个过程中，把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系一、直线与圆位置关系的判定问题 1如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？提示转化为它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解知识梳理1直线与圆的三种位置关系位置关系交点个数
2、相交有两个公共点相切只有一个公共点相离没有公共点2.直线 AxByC0 与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数两个一个零个几何法：设圆心到直线的距离 d|AaBbC|A2B2drdrdr判定方法代数法：由Error!消元得到一元二次方程的判别式 000注意点：直线与圆的位置关系常用几何方法判断例 1已知直线 yxb 与圆 x2y22，当 b 为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？解方法一由Error!消去 y 得 2x22bxb220，判别式(2b)242(b22)4(b2)(b2)当2b2 时，0，直线与圆有两个公共点当 b2 或 b
3、2 时，0，直线与圆只有一个公共点当 b2 或 b2 时，0，方程组没有实数解，直线与圆没有公共点方法二圆的半径 r 2，圆心 O(0,0)到直线 yxb 的距离为 d|b|2.当 dr，即2b2 时，圆与直线相交，有两个公共点当 dr，|b|2，即 b2 或 b2 时，圆与直线相切，直线与圆只有一个公共点当 dr，|b|2，即 b2 或 b2 时，圆与直线相离，圆与直线无公共点反思感悟直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系判断(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位
4、置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系跟踪训练 1已知直线方程为 mxym10，圆的方程为 x2y24x2y10.当 m 为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点解方法一将直线 mxym10 代入圆的方程化简整理得，(1m2)x22(m22m2)xm24m40.则 4m(3m4)(1)当 0，即 m0 或 m43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点(2)当 0，即 m0 或 m43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点(3)当 0，即43m0 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点方法二已知圆的方程可化为(x2)2(
5、y1)24，即圆心为 C(2,1)，半径 r2.圆心 C(2,1)到直线 mxym10 的距离d|2m1m1|1m2|m2|1m2.(1)当 d0 或 m2，即43m0，解得 k0.又 x1x210k1kk21，x1x225kk2k21，由斜率公式，得 y1y2k(x1x2)AB x1x22y1y22 1k2x1x22 1k2x1x224x1x21k2100k21k2k212425kk2k214 5.两边平方，整理得 2k25k20，解得 k12或 k2，符合题意故直线 l 的方程为 x2y50 或 2xy50.方法二如图所示，OH 是圆心到直线 l 的距离，OA 是圆的半径，AH 是弦长 A
6、B 的一半在 RtAHO 中，OA5，AH12AB124 52 5，则 OH OA2AH2 5.|51k|k21 5，解得 k12或 k2.直线 l 的方程为 x2y50 或 2xy50.1知识清单：(1)直线与圆的三种位置关系(2)圆的切线方程(3)弦长公式2方法归纳：几何法、代数法、弦长公式法3常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况1直线 yx1 与圆 x2y21 的位置关系是()A相切B相交但直线不过圆心C直线过圆心D相离答案B解析圆心到直线的距离 d1121222 2，解得 m2.课时对点练课时对点练1直线 3x4y120 与圆(x1)2(y1)29 的位置关系是()A过圆心
7、B相切C相离 D相交但不过圆心答案D解析圆心(1，1)到直线 3x4y120 的距离 d|3 14 112|32421150)，则当该直线与圆 O 相切时，小路长度最小，此时|100k10|k2145 2，解得 k1，此时求得小路长度为 100 2 m.6一条光线从点(2,3)射出，经 x 轴反射后与圆 x2y26x4y120 相切，则反射光线所在直线的斜率为()A.65或56 B.45或54C.43或34 D.32或23答案C解析点(2,3)关于 x 轴的对称点 Q 的坐标为(2，3)，圆 x2y26x4y120 的圆心为(3,2)，半径 r1.设过点(2，3)且与已知圆相切的直线的斜率为
8、k，则切线方程为 yk(x2)3，即 kxy2k30，所以圆心(3,2)到切线的距离 d|5k5|1k2r1，解得 k43或 k34.7直线 l 与圆 x2y22x4ya0(a0，n0)被圆 x2y22x4y10 截得的弦长为 4，则4m1n的最小值是()A9 B4 C.12 D.14答案A解析圆的标准方程为(x1)2(y2)24，圆心为 C(1,2)，半径为 r2，直线被圆截得的弦长为 4，则圆心在直线上，所以2m2n2，mn1.又 m0，n0，所以4m1n(mn)(4m1n)54nmmn524nmmn9，当且仅当4nmmn，即 m23，n13时等号成立，所以4m1n的最小值是 9.14在平
9、面直角坐标系 xOy 中，若直线 axy20 与圆心为 C 的圆(x1)2(ya)2163相交于 A，B 两点，且ABC 为正三角形，则实数 a 的值是_.答案0解析直线与圆心为 C 的圆相交于 A，B 两点，且ABC 为正三角形，圆心 C(1，a)，半径 r1634 33，所以圆心到直线 axy20 的距离 d|aa2|a21(4 33)2(2 33)2，解得 a0.15直线 yxb 与曲线 x 1y2有且只有一个交点，则 b 满足()A|b|2 B1b1 或 b 2C1b1 D非以上答案答案B解析曲线 x 1y2含有限制条件，即 x0，故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在 y 轴右侧(
10、含与 y 轴的交点)的部分在同一平面直角坐标系中，画出 yxb 与曲线 x 1y2(就是 x2y21，x0)的图象，如图所示相切时，b 2，其他位置符合条件时需1b1.16已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，半径为 2.且被直线 l：4x3y30 截得的弦长为 23.(1)求圆 C 的方程；(2)设 P 是直线 xy40 上的动点，过点 P 作圆 C 的切线 PA，切点为 A，证明：经过 A，P，C 三点的圆必过定点，并求所有定点的坐标解(1)设圆心 C(a,0)(a0)，则圆心到直线 l：4x3y30 的距离 d|4a3|5，由题意可得，d2(3)222，即4a322534，解得 a2
11、或 a12(舍去)圆 C 的方程为(x2)2y24.(2)P 是直线 xy40 上一点设 P(m，m4)，PA 为圆 C 的切线，PAAC，即过 A，P，C 三点的圆是以 PC 为直径的圆设圆上任一点 Q(x，y)，则PQ CQ 0，PQ(xm，ym4)，CQ(x2，y)，PQ CQ(xm)(x2)y(ym4)0，即 x2y22x4ym(xy2)0，令Error!解得Error!或Error!经过 A，P，C 三点的圆必过定点(1，3)和(2,0)苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系海上日出是非常壮丽的美景.在海天交于一线的天际，一轮红日慢慢升起，先是探出半
12、个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着斑斓的霞光和迷人的风采.在这个过程中，把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系.导导 语语一、直线与圆位置关系的判定一、直线与圆位置关系的判定问题1如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？提示转化为它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解.1.直线与圆的三种位置关系知识梳理知识梳理位置关系交点个数相交有 公共点相切只有 公共点相离 公共点两个一个没有2.直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数 个 个 个判定方法d rd r
13、d r 0 0 0消元得到一元二次方程的判别式两一零注意点：直线与圆的位置关系常用几何方法判断.例1已知直线yxb与圆x2y22，当b为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？判别式(2b)242(b22)4(b2)(b2).当2b2时，0，直线与圆有两个公共点.当b2或b2时，0，直线与圆只有一个公共点.当b2或b2时，0，方程组没有实数解，直线与圆没有公共点.当dr，即2b2时，圆与直线相交，有两个公共点.当dr，|b|2，即b2或b2时，圆与直线相切，直线与圆只有一个公共点.当dr，|b|2，即b2或b2时，圆与直线相离，圆与直线无公共点.反思感悟直线与圆的位置关系的判
14、断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.跟踪训练1已知直线方程为mxym10，圆的方程为x2y24x2y10.当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；解方法一将直线mxym10代入圆的方程化简整理得，(1m2)x22(m22m2)xm24m40.则4m(3m4).即直线与圆有两个公共点.方法二已知圆的方程可化为(x2)2(y1)24，即圆心为C(2,1)，半径r2.(2)只有一
15、个公共点；直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点.直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点.(3)没有公共点.即直线与圆没有公共点.即直线与圆没有公共点.二、直线与圆相切的有关问题二、直线与圆相切的有关问题例2(1)若圆C：x2y22x4y30关于直线2axby60对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是A.2 B.3 C.4 D.6点(a，b)在直线yx3上，所以点(a，b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线yx3的距离d，(2)过点A(1,4)作圆(x2)2(y3)21的切线l，则切线l的方程为_.解析(12)2(43)2101，点A在圆外.当直线l的斜率不存在时，l的方程是x1，不满
16、足题意.设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y4k(x1)，即kxy4k0.y4或3x4y130因此，所求直线l的方程为y4或3x4y130.反思感悟求过某一点的圆的切线方程(1)点(x0，y0)在圆上.先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为 ，由点斜式可得切线方程.如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程yy0或xx0.(2)点(x0，y0)在圆外.设切线方程为yy0k(xx0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程.当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为xx0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况.过圆外一点的切线有两条.跟踪训练跟踪训练2
17、(1)过圆x2y22x4y0上一点P(3,3)的切线方程为A.2xy90 B.2xy90C.2xy90 D.2xy90解析x2y22x4y0的圆心为C(1,2)，切线方程为y32(x3)，即2xy90.(2)由直线yx1上任一点向圆(x3)2y21引切线，则该切线长的最小值为三、直线截圆所得弦长问题三、直线截圆所得弦长问题问问题题2已知直线l与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？提示将直线方程与圆的方程联立解出交点A和B的坐标，问问题题3若直线与圆相交、圆的半径为r、圆心到直线的距离为d，如何求弦长？提示通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求直线与圆相交时弦长的两种方法
18、：(1)几何法：如图，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为AB，则有知识梳理知识梳理即AB .(2)代数法：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，(直线l的斜率k存在且不为0).注意点：(1)弦长公式的前提是判别式大于零.(2)斜率不存在时AB|y1y2|.例3(1)求直线l：3xy60被圆C：x2y22y40截得的弦长AB；解联立直线l与圆C的方程，所以交点为A(1,3)，B(2,0).(2)过点(4,0)作直线l与圆x2y22x4y200交于A，B两点，如果AB8，求直线l的方程.解将圆的方程配方得(x1)
19、2(y2)225，当直线l的斜率不存在时，x4满足题意；当直线l的斜率存在时，设l的方程为yk(x4)，即kxy4k0.综上所述，直线l的方程为x40或5x12y200.反思感悟(1)求直线与圆的弦长的三种方法：代数法、几何法及弦长公式.(2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况.跟跟踪踪训训练练3直线l经过点P(5,5)并且与圆C：x2y225相交截得的弦长为4 ，求l的方程.解根据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y5k(x5)，与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，消去y，得(k21)x210k(1k)x25k(k2)0.由10k(1k)24(k21)2
20、5k(k2)0，解得k0.由斜率公式，得y1y2k(x1x2).两边平方，整理得2k25k20，故直线l的方程为x2y50或2xy50.方法二如图所示，OH是圆心到直线l的距离，OA是圆的半径，AH是弦长AB的一半.在RtAHO中，OA5，直线l的方程为x2y50或2xy50.1.知识清单：(1)直线与圆的三种位置关系.(2)圆的切线方程.(3)弦长公式.2.方法归纳：几何法、代数法、弦长公式法.3.常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.直线yx1与圆x2y21的位置关系是A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离又直线yx1不过圆心(0
21、,0).直线与圆相交但不过圆心.12342.设直线l过点P(2,0)，且与圆x2y21相切，则l的斜率是解析设l：yk(x2)，即kxy2k0.123412343.直线x2y5 0被圆x2y22x4y0截得的弦长为_.解析圆的标准方程为(x1)2(y2)25，412344.若直线xym0与圆x2y22相离，则m的取值范围是_.解析因为直线xym0与圆x2y22相离，m2或m2课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 161.直线3x4y120与圆(x1)2(y1)29的位置关系是A.过圆心 B.相切C.相离 D.相交但不过圆心解析圆心(1，1)到直线3x
22、4y120的距离又直线不过圆心(1，1)，所以直线与圆相交但不过圆心.12345678910 11 12 13 14 15 162.已知圆(x2)2y29，则过点M(1,2)的最长弦与最短弦的弦长之和为A.4 B.6 C.8 D.10解析设圆心为C，则C(2,0)，过点M的弦为直径时，长度最长为236，过点M的弦以M为中点且与CM垂直时，长度最短，3.(多选)若直线xy2被圆(xa)2y24所截得的弦长为2 ，则实数a的值为A.1 B.3 C.0 D.4解析设圆的弦长为l，半径为r，圆心到直线的距离为d，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 1
23、2 13 14 15 164.若直线l：x3yn0与圆x2y22x4y0交于A，B两点，A，B关于直线3xym0对称，则实数m的值为A.1 B.1 C.3 D.3解析由题意得圆的标准方程为(x1)2(y2)25，所以圆心C的坐标为(1,2)，由题意可得A，B关于直线3xym0对称，则直线3xym0过圆心，所以3(1)2m0，解得m1.12345678910 11 12 13 14 15 165.如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O为圆心，以45 m为半径，B为公园入口，道路AB为东西方向，道路AC经过点O且向正北方向延伸，OA10 m，AB100 m，现计划从B处起修一条新路与道
24、路AC相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为(单位：m)12345678910 11 12 13 14 15 16解析以A为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，设修建的新路所在直线方程为kxy100k0(k0)，则当该直线与圆O相切时，小路长度最小，12345678910 11 12 13 14 15 166.一条光线从点(2,3)射出，经x轴反射后与圆x2y26x4y120相切，则反射光线所在直线的斜率为12345678910 11 12 13 14 15 16解析点(2,3)关于x轴的对称点Q的坐标为(2，3)，圆x2y26x4y120的圆心为(3,2)，半径r1.
25、设过点(2，3)且与已知圆相切的直线的斜率为k，则切线方程为yk(x2)3，即kxy2k30，12345678910 11 12 13 14 15 167.直线l与圆x2y22x4ya0(a0，n0，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1614.在平面直角坐标系xOy中，若直线axy20与圆心为C的圆(x1)2(ya)2 相交于A，B两点，且ABC为正三角形，则实数a的值是_.解析直线与圆心为C的圆相交于A，B两点，且ABC为正三角形，圆心C(1，a)，0解得a0.拓广探究12345678910 11 12 13 14
26、 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分.在同一平面直角坐标系中，如图所示.其他位置符合条件时需1b1.16.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2.且被直线l：4x3y30截得的弦长为2 .(1)求圆C的方程；解设圆心C(a,0)(a0)，圆C的方程为(x2)2y24.12345678910 11 12 13 14 15 16(2)设P是直线xy40上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求所有定点的坐标.12345678910 11 12 13 14 15 16解P是直线xy40上一点.设P(m，m4)，PA为圆C的切线，PAAC，即过A，P，C三点的圆是以PC为直径的圆.设圆上任一点Q(x，y)，即x2y22x4ym(xy2)0，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16经过A，P，C三点的圆必过定点(1，3)和(2,0).
