1、3.3抛物线抛物线33.1抛物线的标准方程抛物线的标准方程学习目标 1.理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程.2.掌握抛物线的定义及其标准方程的应用.3.了解抛物线定义的实际应用导语通过前面的学习可以发现，如果动点 M 到定点 F 的距离与 M 到定直线 l(不过点 F)的距离之比为 k，当 0k1 时，点 M 的轨迹为双曲线一个自然的问题是：当 k1 时，即动点 M 到定点 F 的距离与 M 到定直线 l 的距离相等时，点 M 的轨迹会是什么形状？一、抛物线的定义与标准方程问题 1利用信息技术作图，如图所示，F 是定点，l 是不经过点 F 的定直线，H 是直线 l 上任意一点，过点 H 作
2、 MHl，线段 FH 的垂直平分线 m 交 MH 于点 M，拖动点 H，点 M 随之运动，你能发现点 M 满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？提示点 M 随着点 H 运动的过程中，始终有 MFMH，即点 M 与定点 F 的距离等于它到定直线 l 的距离，点 M 的轨迹形状与二次函数的图象相似知识梳理抛物线的定义平面内到一个定点 F 和一条定直线 l(F 不在 l 上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线(parabola)，定点 F 叫作抛物线的焦点，定直线 l 叫作抛物线的准线(directrix)问题 2比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？
3、提示过 F 作直线 FN直线 l，垂足为 N，以直线 NF 为 x 轴，线段 NF 的垂直平分线为 y轴，建立如图所示的直角坐标系 xOy，设焦点 F 到准线 l 的距离为 p，则 F(p2，0)，又设P(x，y)为抛物线上任意一点过点 P 作 PHl，垂足为 H，则 PFPH，得(xp2)2y2|xp2|，将上式两边平方并化简，得 y22px(p0)知识梳理图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)(p2，0)xp2y22px(p0)(p2，0)xp2x22py(p0)(0，p2)yp2x22py(p0)(0，p2)yp2注意点：(1)p 的几何意义是焦点到准线的距离(2)标准方程的结构
4、特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上(3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x 或 y)的取值范围例 1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程(1)准线方程为 2y40；(2)过点(3，4)；(3)焦点为直线 x3y150 与坐标轴的交点解(1)准线方程为 2y40，即 y2，故抛物线的焦点在 y 轴的正半轴上，设其方程为 x22py(p0)又p22，2p8，故所求抛物线的标准方程为 x28y.(2)点(3，4)在第四象限，抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为 y22px(p0)或 x22p1y(p10)把点(3，4)的坐标分别代入 y22px 和 x22p1y 中，得(
5、4)22p3,322p1(4)，即 2p163，2p194.所求抛物线的标准方程为 y2163x 或 x294y.(3)令 x0，得 y5；令 y0，得 x15.抛物线的焦点为(0，5)或(15,0)所求抛物线的标准方程为 x220y 或 y260 x.反思感悟求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型(2)求参数 p 的值(3)确定抛物线的标准方程提醒：当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设 y2ax 或 x2ay(a0)的形式，以简化讨论过程跟踪训练 1(1)若抛物线 y22px(p0)的焦点坐标为(1,0)，则 p_，准线方程为_答案2x1解
6、析因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p21，p2，准线方程为 xp21.(2)焦点在 y 轴上，焦点到准线的距离为 5 的抛物线的标准方程为_答案x210y 和 x210y解析设方程为 x22my(m0)，由焦点到准线的距离为 5，知|m|5，m5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为 x210y 和 x210y.二、抛物线定义的应用例 2(1)已知抛物线 C：y2x 的焦点为 F，A(x0，y0)是 C 上一点，AF54x0，则 x0等于()A1 B2 C4 D8答案A解析14x054x0，x01.(2)已知点 P 是抛物线 y22x 上的一个动点，求点 P 到点(0,2)的
7、距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值解由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离由题图可知，点 P，点(0,2)和抛物线的焦点 F(12，0)三点共线时距离之和最小，所以最小距离 d(012)2202172.延伸探究1若将本例(2)中的点(0,2)改为点 A(3,2)，求 PAPF 的最小值解将 x3 代入 y22x，得 y6.所以点 A 在抛物线内部设点 P 为其上一点，点 P 到准线(设为 l)x12的距离为 d，则 PAPFPAd.由图可知，当 PAl 时，PAd 最小，最小值是72.即 PAPF 的最小值是72.2若将本例(2)中的点(0,2)换为直线 l1
8、：3x4y720，求点 P 到直线 3x4y720 的距离与 P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值解如图，作 PQ 垂直于准线 l 于点 Q，PA1PQPA1PFA1Fmin.A1F 的最小值为点 F 到直线 3x4y720 的距离 d|3 1272|32421.即所求最小值为 1.反思感悟 抛物线定义的应用实现距离转化根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题跟踪训练 2(1)已知抛物线 y22px(p0)的焦点 F1，若点 A(2，4)在抛物线上，则点 A 到焦点的距离为_答案4解析把点 A(2，
9、4)代入抛物线 y22px，得 164p，即 p4，从而抛物线的焦点为(2,0)故点 A 到焦点的距离为 4.(2)设点 A 的坐标为(1，15)，点 P 在抛物线 y28x 上移动，P 到直线 x1 的距离为 d，则 dPA 的最小值为()A1 B2 C3 D4答案C解析由题意知抛物线 y28x 的焦点为 F(2,0)，点 P 到准线 x2 的距离为 d1，于是 PFd1，所以 dPAPF1PA 的最小值为 AF1413.三、抛物线的实际应用例 3(1)探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是 60 cm，灯深 40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是()A1
10、1.25 cm B5.625 cmC20 cm D10 cm答案B解析如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程是 y22px(p0)A(40,30)在抛物线上，3022p40，p454，光源到反光镜顶点的距离为p245424585.625(cm)(2)某抛物线形拱桥跨度是 20 米，拱桥高度是 4 米，在建桥时，每 4 米需用一根支柱支撑，则其中最长支柱的长为_米答案3.84解析如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为 x22py(p0)依题意知，点 P(10，4)在抛物线上，1002p(4)，2p25.即抛物线方程为 x225y.每 4 米需用一根支柱支撑，支柱横坐标分别为6，2,2,6.由图
11、知，AB 是最长的支柱之一设点 B 的坐标为(2，yB)，解得 yB425，点 A 的坐标为(2，4)，AByB(4)42543.84，最长支柱的长为 3.84 米反思感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解跟踪训练 3河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶 5 m 时，水面宽为 8 m，一小船宽 4 m，高 2 m，载货后船露出水面上的部分高 0.75 m，则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？解如图所示，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系设抛物线方程为 x22py(p0)，由题意可知
12、点 B(4，5)在抛物线上，故 p85，得 x2165y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为 AA，则 A(2，yA)，由 22165yA，得 yA54.又知船面露出水面上的部分高为 0.75 m，所以 h|yA|0.752(m)所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距 2 m 时，小船开始不能通航1知识清单：(1)抛物线的定义(2)抛物线的标准方程(3)抛物线的实际应用2方法归纳：待定系数法、定义法、转化化归3常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式1准线与 x 轴垂直，且经过点(1，2)的抛物线的标准方程是()Ay22x By22xCx22y Dx22y答案B解析由题意可设抛物
13、线的标准方程为 y2ax，则(2)2a，解得 a2，因此抛物线的标准方程为 y22x，故选 B.2抛物线 y2x2的焦点到准线的距离为()A.18 B.12 C.14 D4答案C解析根据题意，抛物线的方程为 y2x2，其标准方程为 x212y，其中 p14，则抛物线的焦点到准线的距离 p14.3设抛物线 y28x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是_答案6解析由抛物线的方程得p2422，再根据抛物线的定义，可知所求距离为 426.4如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米水位下降 1 米后，水面宽_米答案26解析建立如图所示的平
14、面直角坐标系，设抛物线的方程为 x22py(p0)，则点(2，2)在抛物线上，代入可得 p1，所以 x22y.当 y3 时，x26，所以水面宽为 26米课时对点练课时对点练1已知抛物线的焦点坐标是(1,0)，则抛物线的标准方程为()Ax24y Bx24yCy24x Dy24x答案D解析抛物线的焦点坐标是(1,0)，抛物线是焦点在 x 轴负半轴上的抛物线，且p21，得 p2.抛物线的标准方程为 y24x.2已知抛物线的标准方程为 y2ax，则其焦点坐标为()A.(a4，0)B.(0，a4)C.(a4，0)D.(0，a4)答案A3抛物线 y14x2的准线方程是()Ay1 By2Cx1 Dx2答案A
15、解析因为 y14x2，所以 x24y，所以抛物线的准线方程是 y1.4已知抛物线 y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线焦点坐标为()A(1,0)B(1,0)C(0，1)D(0,1)答案B解析抛物线的准线方程为 xp2，p21，p21，故抛物线的焦点坐标为(1,0)5(多选)经过点 P(4，2)的抛物线的标准方程可以为()Ay2x Bx28yCx28y Dy28x答案AC解析若抛物线的焦点在 x 轴上，设抛物线的方程为 y22px(p0)，又因为抛物线经过点 P(4，2)，所以(2)22p4，解得 p12，所以抛物线的方程为 y2x.若抛物线的焦点在 y 轴上，设抛物线的方程为
16、x22py(p0)，又因为抛物线经过点 P(4，2)，所以 422p(2)，解得 p4，所以抛物线的方程为 x28y.6点 M(5,3)到抛物线 yax2准线的距离为 6，那么抛物线的方程是()Ay12x2By12x2或 y36x2Cy36x2Dy112x2或 y136x2答案D解析当 a0 时，开口向上，准线方程为 y14a，则点 M 到准线的距离为 314a6，所以a112，所以抛物线方程为 y112x2；当 a0，b0)的一个焦点，而且与 x 轴垂直又抛物线与此双曲线交于点(32，6)，则抛物线方程为_，双曲线方程为_答案y24x4x243y21解析因为交点在第一象限，其准线垂直于 x
17、轴，所以可设抛物线方程为 y22px(p0)，将点(32，6)代入方程得 p2，所以抛物线方程为 y24x，准线方程为 x1，由此知道双曲线方程中 c1，焦点为(1,0)，(1,0)，点(32，6)到两焦点距离之差 2a1，所以双曲线的标准方程x214y2341.8在抛物线 y212x 上，且与抛物线的焦点的距离等于 9 的点的坐标是_答案(6,62)，(6，62)解析由方程 y212x，知抛物线的焦点为 F(3,0)，准线为 l：x3.设所求点为 P(x，y)，则由抛物线的定义知 PF3x，又 PF9，3x9，x6，代入 y212x，得 y62.所求点的坐标为(6,62)，(6，62)9已知
18、抛物线 C：x22py(p0)上两点 A，B 且 ABy 轴，OAOB，AOB 的面积为 16，求抛物线 C 的方程解不妨设点 A 在第一象限且 A(m，n)，则 B(m，n)，可得 m22pn，ABy 轴，且 OAOB，即AOB 为等腰直角三角形，则 OA 的斜率为 1，即 mn，由AOB 的面积为 16，可得122mn16，解得 mn4，p2，所以抛物线 C 的方程为 x24y.10抛物线 y22px(p0)上有一点 M 的横坐标为9，它到焦点的距离为 10，求此抛物线方程和 M 点的坐标解设焦点为 F(p2，0)，M 点到准线的距离为 d，则 dMF10，即 9p210，p2，抛物线方程
19、为 y24x.将 M(9，y)代入抛物线的方程，得 y6.M 点坐标为(9,6)或(9，6)11为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为 2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点()A0.5 m B1 mC1.5 m D2 m答案B解析若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程为 x22py(p0)，集光板端点 A(1,0.25)，代入抛物线方程可得 20.25p1，解
20、得 p2，所以抛物线方程为 x24y，故焦点坐标是 F(0,1)所以容器灶圈应距离集光板顶点 1 m.12已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若FP 4FQ，则 QF 等于()A.72 B.52 C3 D2答案C解析过点 Q 作 QQl 于点 Q，如图FP 4FQ，PQPF34，又焦点 F 到准线 l 的距离为 4，QFQQ3.13设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，MF5，若以 MF 为直径的圆过点(0,2)，则 C 的标准方程为()Ay24x 或 y28xBy22x 或 y28xCy24
21、x 或 y216xDy22x 或 y216x答案C解析由题意知，F(p2，0)，抛物线的准线方程为 xp2，则由抛物线的定义知，xM5p2，设以 MF 为直径的圆的圆心为(52，yM2)，所以圆的方程为(x52)2(yyM2)2254，又因为圆过点(0,2)，所以 yM4，又因为点 M 在 C 上，所以 162p(5p2)，解得 p2 或 p8，所以抛物线 C 的标准方程为 y24x 或 y216x，故选 C.14对标准形式的抛物线，给出下列条件：焦点在 y 轴上；焦点在 x 轴上；抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6；由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)其中满足抛物线
22、方程为 y210 x 的是_(要求填写适合条件的序号)答案解析抛物线 y210 x 的焦点在 x 轴上，满足，不满足；设 M(1，y0)是 y210 x 上一点，则 MF1p2152726，所以不满足；由于抛物线 y210 x 的焦点为(52，0)，设过该焦点的直线的斜率存在，方程为 yk(x52)，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则 k2，此时存在，所以满足15已知抛物线 y18x2与双曲线y2a2x21(a0)有共同的焦点 F，O 为坐标原点，P 在 x 轴上方且在双曲线上，则OP FP 的最小值为_.答案323解析抛物线 y18x2，即 x28y 的焦点为 F(0,2)所以
23、a222123，故双曲线的方程为y23x21.设 P(x，y)，因为点 P 在 x 轴上方，故由双曲线的性质可得 y3，OP(x，y)，FP(x，y2)，OP FP x2y(y2)x2y22yy23y22y143y22y143(y232y)143(y34)274.因为 y343，故函数 t43(y34)274在3，)上单调递增，当 y3时，取得最小值，最小值为43(3)2231323.所以OP FP 的最小值为 323.16.一辆卡车高 3 m，宽 1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽 AB 恰好是拱高 OD 的 4 倍若拱口宽为 a m，求能使卡车通过的 a 的最小整
24、数值解以拱顶 O 为原点，拱高 OD 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示设抛物线方程为 x22py(p0)AB 是 OD 的 4 倍，点 B 的坐标为(a2，a4).由点 B 在抛物线上，得(a2)22p(a4)，pa2.抛物线方程为 x2ay.设点 E(0.8，y0)为抛物线上一点，代入方程 x2ay，得 0.82ay0，y00.64a，点 E 到拱底 AB 的距离 ha4|y0|a40.64a，令 h3，则a40.64a3，解得 a622415或 a622415(舍去)a 的最小整数值为 13.苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件抛物线的标准方程抛物线的标准方程通过前面的学习
25、可以发现，如果动点M到定点F的距离与M到定直线l(不过点F)的距离之比为k，当0k1时，点M的轨迹为双曲线.一个自然的问题是：当k1时，即动点M到定点F的距离与M到定直线l的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？导导 语语一、抛物线的定义与标准方程一、抛物线的定义与标准方程问题1利用信息技术作图，如图所示，F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l上任意一点，过点H作MHl，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，点M随之运动，你能发现点M满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？提示点M随着点H运动的过程中，始终有MFMH，即点M与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点M的轨迹形状与二次函
26、数的图象相似.抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离 的点的轨迹叫作抛物线(parabola)，定点F叫作抛物线的 ，定直线l叫作抛物线的_(directrix).知识梳理知识梳理相等焦点准线问题2比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？提示过F作直线FN直线l，垂足为N，以直线NF为x轴，线段NF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，又设P(x，y)为抛物线上任意一点.过点P作PHl，垂足为H，将上式两边平方并化简，得y22px(p0).知识梳理知识梳理图形标准方程焦点坐标准线方程_y22px(p0)y
27、22px(p0)_x22py(p0)x22py(p0)注意点：(1)p的几何意义是焦点到准线的距离.(2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上.(3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围.例1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)准线方程为2y40；解准线方程为2y40，即y2，故抛物线的焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x22py(p0).2p8，故所求抛物线的标准方程为x28y.(2)过点(3，4)；解点(3，4)在第四象限，抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y22px(p0)或x22p1y(p10).把点(3，4)的坐标分别代入
28、y22px和x22p1y中，得(4)22p3,322p1(4)，(3)焦点为直线x3y150与坐标轴的交点.解令x0，得y5；令y0，得x15.抛物线的焦点为(0，5)或(15,0).所求抛物线的标准方程为x220y或y260 x.反思感悟求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型.(2)求参数p的值.(3)确定抛物线的标准方程.提醒：当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2ax或x2ay(a0)的形式，以简化讨论过程.跟踪训练1(1)若抛物线y22px(p0)的焦点坐标为(1,0)，则p_，准线方程为_.解析因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，2
29、x1(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为_.解析设方程为x22my(m0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|5，m5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x210y和x210y.x210y和x210y二、抛物线定义的应用二、抛物线定义的应用例2(1)已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，AF x0，则x0等于A.1 B.2 C.4 D.8x01.(2)已知点P是抛物线y22x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.解由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.由题图可知，点P，延
30、伸探究1.若将本例(2)中的点(0,2)改为点A(3,2)，求PAPF的最小值.解将x3代入y22x，所以点A在抛物线内部.则PAPFPAd.2.若将本例(2)中的点(0,2)换为直线l1：3x4y 0，求点P到直线3x4y 0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值.解如图，作PQ垂直于准线l于点Q，即所求最小值为1.PA1PQPA1PFA1Fmin.反思感悟 抛物线定义的应用实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.跟跟踪踪训训练练2(1)已知抛物线y22px(p0)的焦点F1，
31、若点A(2，4)在抛物线上，则点A到焦点的距离为_.解析把点A(2，4)代入抛物线y22px，得164p，即p4，从而抛物线的焦点为(2,0).故点A到焦点的距离为4.4(2)设点A的坐标为(1，)，点P在抛物线y28x上移动，P到直线x1的距离为d，则dPA的最小值为A.1 B.2 C.3 D.4解析由题意知抛物线y28x的焦点为F(2,0)，点P到准线x2的距离为d1，于是PFd1，所以dPAPF1PA的最小值为AF1413.三、抛物线的实际应用三、抛物线的实际应用例3(1)探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反光镜
32、顶点的距离是A.11.25 cm B.5.625 cmC.20 cm D.10 cm解析如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程是y22px(p0).A(40,30)在抛物线上，3022p40，(2)某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，则其中最长支柱的长为_米.3.84解析如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0).依题意知，点P(10，4)在抛物线上，1002p(4)，2p25.即抛物线方程为x225y.每4米需用一根支柱支撑，支柱横坐标分别为6，2,2,6.由图知，AB是最长的支柱之一.反思感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平
33、面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.跟跟踪踪训训练练3河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？解如图所示，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x22py(p0)，由题意可知点B(4，5)在抛物线上，当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h|yA|0.752(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2 m时，
34、小船开始不能通航.1.知识清单：(1)抛物线的定义.(2)抛物线的标准方程.(3)抛物线的实际应用.2.方法归纳：待定系数法、定义法、转化化归.3.常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.准线与x轴垂直，且经过点(1，)的抛物线的标准方程是A.y22x B.y22xC.x22y D.x22y解析由题意可设抛物线的标准方程为y2ax，1234因此抛物线的标准方程为y22x，故选B.12342.抛物线y2x2的焦点到准线的距离为解析根据题意，抛物线的方程为y2x2，12343.设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是_.再根据抛物
35、线的定义，可知所求距离为426.64.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽_米.解析建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x22py(p0)，则点(2，2)在抛物线上，代入可得p1，所以x22y.1234课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 161.已知抛物线的焦点坐标是(1,0)，则抛物线的标准方程为A.x24y B.x24yC.y24x D.y24x解析抛物线的焦点坐标是(1,0)，抛物线的标准方程为y24x.12345678910 11 12 13 14 15 162.已知抛物线的标准方程
36、为y2ax，则其焦点坐标为12345678910 11 12 13 14 15 16A.y1 B.y2C.x1 D.x2所以抛物线的准线方程是y1.12345678910 11 12 13 14 15 164.已知抛物线 y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线焦点坐标为A.(1,0)B.(1,0)C.(0，1)D.(0,1)12345678910 11 12 13 14 15 165.(多选)经过点P(4，2)的抛物线的标准方程可以为A.y2x B.x28yC.x28y D.y28x解析若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y22px(p0)，又因为抛物线经过点P(4，2)，所
37、以抛物线的方程为y2x.若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x22py(p0)，又因为抛物线经过点P(4，2)，所以422p(2)，解得p4，所以抛物线的方程为x28y.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 166.点M(5,3)到抛物线yax2准线的距离为6，那么抛物线的方程是A.y12x2B.y12x2或y36x2C.y36x212345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16y24x12345678910 11 12 13 14 15 16解析因
38、为交点在第一象限，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y22px(p0)，准线方程为x1，由此知道双曲线方程中c1，焦点为(1,0)，8.在抛物线y212x上，且与抛物线的焦点的距离等于9的点的坐标是_.解析由方程y212x，知抛物线的焦点为F(3,0)，准线为l：x3.设所求点为P(x，y)，则由抛物线的定义知PF3x，又PF9，3x9，x6，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 169.已知抛物线C：x22py(p0)上两点A，B且ABy轴，OAOB，AOB的面积为16，求抛物线C的方程.12345678910 1
39、1 12 13 14 15 16解不妨设点A在第一象限且A(m，n)，则B(m，n)，可得m22pn，ABy轴，且OAOB，即AOB为等腰直角三角形，则OA的斜率为1，即mn，由AOB的面积为16，解得mn4，p2，所以抛物线C的方程为x24y.10.抛物线y22px(p0)上有一点M的横坐标为9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标.M点到准线的距离为d，则dMF10，抛物线方程为y24x.将M(9，y)代入抛物线的方程，得y6.M点坐标为(9,6)或(9，6).12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16综
40、合运用11.为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点A.0.5 m B.1 mC.1.5 m D.2 m12345678910 11 12 13 14 15 16解析若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)，集光板端点A(1,0.25)，代入抛物线方程可得20.25p1，解得p2，所以抛物线方程为x24y，
41、故焦点坐标是F(0,1).所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m.解析过点Q作QQl于点Q，如图.PQPF34，又焦点F到准线l的距离为4，QFQQ3.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1613.设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，MF5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的标准方程为A.y24x或y28xB.y22x或y28xC.y24x或y216xD.y22x或y216x又因为圆过点(0,2)，所以yM4，解得p2或p8，所以抛物线C的标准方程为y24x或y216x，故选C.1234567891
42、0 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1614.对标准形式的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1).其中满足抛物线方程为y210 x的是_.(要求填写适合条件的序号)12345678910 11 12 13 14 15 16解析抛物线y210 x的焦点在x轴上，满足，不满足；设M(1，y0)是y210 x上一点，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k2，此时存在，所以满足.拓广探究12345678910 11 12 13 14
43、15 16即x28y的焦点为F(0,2).所以a222123，设P(x，y)，因为点P在x轴上方，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1616.一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍.若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值.解以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.设抛物线方程为x22py(p0).AB是OD的4倍，抛物线方程为x2ay.12345678910 11 12 13 14 15 16设点E(0.8，y0)为抛物线上一点，代入方程x2ay，得0.82ay0，a的最小整数值为13.12345678910 11 12 13 14 15 16
