1、15.2点到直线的距离点到直线的距离第第 1 课时点到直线的距离课时点到直线的距离学习目标 1.会用坐标法、面积法推导点到直线的距离公式的运算过程.2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用导语在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短，将铁路看作一条直线 l，仓库看作点 P，怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？一、点到直线距离公式问题如图，在平面直角坐标系中，已知点 P(x0，y0)，直线 l：AxByC0(A0，B0)，怎样求出点 P 到直线 l 的距离呢？提示根据定义，点 P 到直线 l 的距离是点 P 到直线 l 的垂线段的长，如图，设点
2、 P 到直线 l的垂线为 l，垂足为 Q，由 ll 可知 l的斜率为BA，l的方程为 yy0BA(xx0)，与 l 联立方程组，解得交点 Q(B2x0ABy0ACA2B2，A2y0ABx0BCA2B2)，PQ|Ax0By0C|A2B2.知识梳理点 P(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离为 d|Ax0By0C|A2B2.注意点：(1)利用公式时直线的方程必须是一般式；(2)分子含有绝对值；(3)若直线方程为 AxByC0，则当 A0 或 B0 时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解例 1已知两点 A(3,2)，B(1,4)到直线 mxy30 的距离相等
3、，则 m 的值为()A6 或 1 B12或 1C12或12 D6 或12答案D解析方法一依题意得，直线 mxy30 过线段 AB 的中点或与直线 AB 平行线段 AB 的中点坐标为(1,3)，且在直线 mxy30 上m330，解得 m6；由两直线平行知4213m，解得 m12.因此 m 的值为6 或12，故选 D.方法二由题意得|3m23|m21|m43|m21.解得 m6 或 m12，故选 D.反思感悟两点到直线距离相等，可用几何法，即直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，此类题型也可用代数法跟踪训练 1(多选)已知平面上一点 M(5,0)，若直线 l 上存在点 P
4、使 PM4，则称该直线为点M 的“相关直线”，下列直线中是点 M 的“相关直线”的是()Ayx1 By2C4x3y0 D2xy10答案BC解析选项 A 中，点 M 到直线 yx1 的距离 d|501|1212324，即点 M 与该直线上的点的距离的最小值大于 4，所以该直线上不存在点 P，使 PM4，故 A 中的直线不是点M 的“相关直线”；选项 B 中，点 M 到直线 y2 的距离 d|02|24，即点 M 与该直线上的点的距离的最小值大于 4，所以该直线上不存在点 P，使 PM4，故 D 中的直线不是点M 的“相关直线”故选 BC.二、点到直线距离公式的简单应用例 2求过点 P(1,2)且
5、与点 A(2,3)，B(4，5)的距离相等的直线 l 的方程解方法一由题意知 kAB4，线段 AB 的中点为 C(3，1)，所以过点 P(1,2)与直线 AB平行的直线方程为 y24(x1)，即 4xy60.此直线符合题意过点 P(1,2)与线段 AB 中点 C(3，1)的直线方程为y212x131，即 3x2y70.此直线也符合题意故所求直线 l 的方程为 4xy60 或 3x2y70.方法二显然所求直线的斜率存在，设直线方程为 ykxb，根据条件得Error!Error!化简得Error!Error!或Error!Error!所以Error!Error!或Error!Error!所以所求直
6、线 l 的方程为y4x6 或 y32x72，即 4xy60 或 3x2y70.反思感悟求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式；直线方程 AxByC0(A，B 不全为 0)中 A0 或 B0 时，公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可采用数形结合法求点到直线的距离跟踪训练 2已知点(a,2)(a0)到直线 l：xy30 的距离为 1，则 a 等于()A.2 B22 C.21 D.21答案C解析由点到直线的距离公式得|a23|1212|a1|21，|a1|2.a0，a21.三、点到直线距离公式的综合应用 例 3(1)已知 O 为原点，点 P
7、 在直线 xy10 上运动，那么 OP 的最小值为()A.22 B1 C.2 D22答案A解析OP 的最小值为原点 O 到直线 xy10 的距离 d|01|222.(2)当点 P(3,2)到直线 mxy12m0 的距离最大时，m 的值是_答案1解析直线 mxy12m0 可化为 y1m(x2)，由直线点斜式方程可知直线恒过定点Q(2,1)且斜率为 m，结合图象可知当 PQ 与直线 mxy12m0 垂直时，点到直线距离最大，此时 m21321，解得 m1.反思感悟解决有限制条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的跟踪训练 3(1)
8、动点 P(x，y)在直线 xy40 上，O 为原点，求 OP 最小时点 P 的坐标；(2)求过点 P(1,2)且与原点距离最大的直线方程解(1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时 OP 垂直于已知直线，则 kOP1，OP 所在的直线方程为 yx.由Error!Error!解得Error!Error!点 P 的坐标为(2,2)(2)由题意知，过点 P 且与 OP 垂直的直线到原点 O 的距离最大，kOP2，所求直线方程为 y212(x1)，即 x2y50.1知识清单：(1)点到直线的距离公式的推导过程(2)点到直线的距离公式 d|Ax0By0C|A2B2.(3)公式的应用2方
9、法归纳：公式法、数形结合3常见误区：设直线方程忽略斜率是否存在1原点到直线 x2y50 的距离为()A1 B.3 C2 D.5答案D2(多选)已知点 M(1,4)到直线 l：mxy10 的距离为 3，则实数 m 等于()A0 B.34 C3 D2答案AB解析点 M 到直线 l 的距离 d|m41|m213，所以 m0 或34.3已知点 M(1,2)，点 P(x，y)在直线 2xy10 上，则 MP 的最小值是()A.10 B.355C.6 D35答案B解析点 M 到直线 2xy10 的距离，即为 MP 的最小值，所以 MP 的最小值为|221|2212355.4已知直线 l 经过点(2,3)，
10、且原点到直线 l 的距离等于 2，则直线 l 的方程为_答案x20 或 5x12y260解析当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x2，符合原点到直线 l 的距离等于 2.当直线 l 的斜率存在时，设所求直线 l 的方程为 y3k(x2)，即 kxy2k30，由 d|002k3|1k22，得 k512，即直线 l 的方程为 5x12y260.综上，直线 l 的方程为 x20 或 5x12y260.课时对点练课时对点练1(多选)直线 l 过点 B(3,3)，若 A(1,2)到直线 l 的距离为 2，则直线 l 的方程可以为()A3x4y210 B4x3y210Cx3 Dy3答案AC解析
11、当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x3 满足条件直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y3k(x3)，即 kxy33k0.由题意可得|k233k|k212，解得 k34，所以直线 l 的方程为 3x4y210.综上，可得直线 l 的方程为 x3 或 3x4y210.2已知直线 l1：axy10 与直线 l2：xy50 互相垂直，则点(1,2)到直线 l1的距离为()A1 B2 C.2 D22答案C解析由已知得，1lka，2lk1，又 l1l2，a11，解得 a1.此时直线 l1的方程为 xy10，点(1,2)到直线 l1的距离 d|121|12122.3若直线 l 平行于
12、直线 3xy20 且原点到直线 l 的距离为10，则直线 l 的方程是()A3xy100 B3xy100Cx3y100 Dx3y100答案A解析设与直线 3xy20 平行的直线方程为 3xym0，由原点到直线 l 的距离为10，得|m|1010，则 m10，所以直线 l 的方程是 3xy100.4点 P(2,3)到直线 l：axy2a0 的距离为 d，则 d 的最大值为()A3 B4 C5 D7答案A解析直线方程可变形为 ya(x2)，据此可知直线恒过定点 M(2,0)，当直线 lPM 时，d 有最大值，结合两点间距离公式可得 d 的最大值为2223023.5(多选)已知点 A(3，4)，B(
13、6,3)到直线 l：axy10 的距离相等，则实数 a 的值等于()A79 B13 C.13 D.79答案AB解析由点到直线的距离公式可得|3a41|a21|6a31|a21，化简得|3a3|6a4|，解得 a79或13.6(多选)与直线 3x4y10 垂直，且与点(1，1)距离为 2 的直线方程为()A4x3y30 B4x3y170C4x3y30 D4x3y170答案AB解析设所求直线方程为 4x3yC0.则|4 13 1C|42322，即|C7|10，解得 C3 或 C17.故所求直线方程为 4x3y30 或 4x3y170.7倾斜角为 60，且与原点的距离是 5 的直线方程为_答案3xy
14、100 或3xy100解析因为直线斜率为 tan 603，所以可设直线方程为 y3xb，化为一般式得3xyb0.由直线与原点的距离为 5，得|00b|32125，即|b|10.所以 b10.所以直线方程为3xy100 或3xy100.8经过两直线 x3y100 和 3xy0 的交点，且和原点相距为 1 的直线的条数为_答案2解析设所求直线 l 的方程为 x3y10(3xy)0，即(13)x(3)y100，因为原点到直线的距离 d|10|132321，所以 3，即直线方程为 x1 或 4x3y50，所以和原点相距为 1 的直线的条数为 2.9已知ABC 三个顶点的坐标 A(1,3)，B(3,0)
15、，C(1,2)，求ABC 的面积 S.解由直线方程的两点式得直线 BC 的方程为y20 x313，即 x2y30.点 A 到直线 BC 的距离为 d，即为 BC 边上的高，则 d|12 33|1222455.由两点间距离公式得 BC31202225，所以 S12BCd12254554，即ABC 的面积为 4.10已知直线 l 经过点 P(2,1)，且与直线 xy0 垂直(1)求直线 l 的方程；(2)若直线 m 与 l 平行且点 P 到直线 m 的距离为2，求直线 m 的方程解(1)由题意知直线 l 的斜率为 1，所求直线方程为 y1x2，即 xy30.(2)由直线 m 与直线 l 平行，可设
16、直线 m 的方程为 xyc0，由点到直线的距离公式得|21c|22，即|c3|2，解得 c1 或 c5.所以所求直线 m 的方程为 xy10 或 xy50.11(多选)已知点 P 在直线 3xy50 上，且点 P 到直线 xy10 的距离为2，则点 P的坐标为()A(1,2)B(3，4)C(2，1)D(4，3)答案AC解析设点 P 的坐标为(a,53a)，由题意得|a53a1|12122，解得 a1 或 2，所以点 P 的坐标为(1,2)或(2，1)12当点 P(2,3)到直线 l：ax(a1)y30 的距离 d 最大时，d 与 a 的值依次为()A3，3 B5,2C5,1 D7,1答案C解析
17、直线 l 恒过点 A(3,3)，根据已知条件可知，当直线 ax(a1)y30 与 AP 垂直时，距离最大，最大值为 5，此时a1.13已知点 P(1t,13t)到直线 l：y2x1 的距离为55，则点 P 的坐标为()A(0，2)B(2,4)C(0，2)或(2,4)D(1,1)答案C解析直线 l：y2x1 可化为 2xy10，依题意得|21t13t1|221255，整理得|t|1，所以 t1 或1.当 t1 时，点 P 的坐标为(2,4)；当 t1 时，点 P 的坐标为(0，2)14已知 xy30，则x22y12的最小值为_答案2解析设 P(x，y)，A(2，1)，则点 P 在直线 xy30
18、上，且x22y12PA.PA 的最小值为点 A(2，1)到直线 xy30 的距离 d|213|12122.15已知直线 l：y2ax(a2)过第一、三、四象限，其中 aZ，则点 A(1，3)到直线 l的距离为_答案455解析因为直线 l：y2ax(a2)过第一、三、四象限，所以Error!Error!所以 0a2，又 aZ，所以 a1，所以直线 l 的方程为 y2x1，即 2xy10，所以点 A(1，3)到直线 l 的距离为|231|221245455.16已知直线 m：(a1)x(2a3)ya60，n：x2y30.(1)当 a0 时，直线 l 过 m 与 n 的交点，且它在两坐标轴上的截距相
19、反，求直线 l 的方程；(2)若坐标原点 O 到直线 m 的距离为5，判断 m 与 n 的位置关系解(1)联立Error!Error!解得Error!Error!即 m 与 n 的交点为(21，9)当直线 l 过原点时，直线 l 的方程为 3x7y0；当直线 l 不过原点时，设 l 的方程为xbyb1，将(21，9)代入得 b12，所以直线 l 的方程为 xy120，故满足条件的直线 l 的方程为 3x7y0 或 xy120.(2)设原点 O 到直线 m 的距离为 d，则 d|a6|(a1)2(2a3)25，解得 a14或 a73，当 a14时，直线 m 的方程为 x2y50，此时 mn；当
20、a73时，直线 m 的方程为 2xy50，此时 mn.苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件点到直线的距离点到直线的距离在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短，将铁路看作一条直线l，仓库看作点P，怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？导导 语语一、点到直线距离公式一、点到直线距离公式问题如图，在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：AxByC0(A0，B0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？提示根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，设点P到直线l的垂线为l，垂足为Q，点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距
21、离为d .知识梳理知识梳理注意点：(1)利用公式时直线的方程必须是一般式；(2)分子含有绝对值；(3)若直线方程为AxByC0，则当A0或B0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解.例1已知两点A(3,2)，B(1,4)到直线mxy30的距离相等，则m的值为解析方法一依题意得，直线mxy30过线段AB的中点或与直线AB平行.线段AB的中点坐标为(1,3)，且在直线mxy30上.m330，解得m6；反思感悟两点到直线距离相等，可用几何法，即直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，此类题型也可用代数法.跟踪训练1(多选)已知平面上一点M(5,
22、0)，若直线l上存在点P使PM4，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直线中是点M的“相关直线”的是A.yx1 B.y2C.4x3y0 D.2xy10即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使PM4，故A中的直线不是点M的“相关直线”；选项B中，点M到直线y2的距离d|02|20)到直线l：xy30的距离为1，则a等于三、点到直线距离公式的综合应用三、点到直线距离公式的综合应用 例3(1)已知O为原点，点P在直线xy10上运动，那么OP的最小值为(2)当点P(3,2)到直线mxy12m0的距离最大时，m的值是_.1解析直线mxy12m0可化为y1m(x2)，由直线点斜
23、式方程可知直线恒过定点Q(2,1)且斜率为m，结合图象可知当PQ与直线mxy12m0垂直时，点到直线距离最大，反思感悟解决有限制条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的.跟跟踪踪训训练练3(1)动点P(x，y)在直线xy40上，O为原点，求OP最小时点P的坐标；解直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP1，OP所在的直线方程为yx.点P的坐标为(2,2).(2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程.解由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，kOP2，即x2y50.
24、1.知识清单：(1)点到直线的距离公式的推导过程.(2)点到直线的距离公式d .(3)公式的应用.2.方法归纳：公式法、数形结合.3.常见误区：设直线方程忽略斜率是否存在.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.原点到直线x2y50的距离为123412342.(多选)已知点M(1,4)到直线l：mxy10的距离为3，则实数m等于12343.已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2xy10上，则MP的最小值是解析点M到直线2xy10的距离，即为MP的最小值，12344.已知直线l经过点(2,3)，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为_.x20或5x12y2601234解析当直线l的斜率不存
25、在时，直线l的方程为x2，符合原点到直线l的距离等于2.当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，综上，直线l的方程为x20或5x12y260.课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 161.(多选)直线l过点B(3,3)，若A(1,2)到直线l的距离为2，则直线l的方程可以为A.3x4y210 B.4x3y210C.x3 D.y312345678910 11 12 13 14 15 16解析当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x3满足条件.直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y3k(x3)，即kxy33k0.所以直
26、线l的方程为3x4y210.综上，可得直线l的方程为x3或3x4y210.12345678910 11 12 13 14 15 162.已知直线l1：axy10与直线l2：xy50互相垂直，则点(1,2)到直线l1的距离为解析由已知得，a，1，又l1l2，a11，解得a1.此时直线l1的方程为xy10，12345678910 11 12 13 14 15 16解析设与直线3xy20平行的直线方程为3xym0，所以直线l的方程是3xy100.12345678910 11 12 13 14 15 164.点P(2,3)到直线l：axy2a0的距离为d，则d的最大值为A.3 B.4 C.5 D.7解
27、析直线方程可变形为ya(x2)，据此可知直线恒过定点M(2,0)，当直线lPM时，d有最大值，12345678910 11 12 13 14 15 165.(多选)已知点A(3，4)，B(6,3)到直线l：axy10的距离相等，则实数a的值等于12345678910 11 12 13 14 15 166.(多选)与直线3x4y10垂直，且与点(1，1)距离为2的直线方程为A.4x3y30 B.4x3y170C.4x3y30 D.4x3y170解析设所求直线方程为4x3yC0.即|C7|10，解得C3或C17.故所求直线方程为4x3y30或4x3y170.12345678910 11 12 13
28、 14 15 167.倾斜角为60，且与原点的距离是5的直线方程为_.由直线与原点的距离为5，所以b10.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 168.经过两直线x3y100和3xy0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为_.解析设所求直线l的方程为x3y10(3xy)0，即(13)x(3)y100，2所以3，即直线方程为x1或4x3y50，所以和原点相距为1的直线的条数为2.12345678910 11 12 13 14 15 169.已知ABC三个顶点的坐标A(1,3)，B(3,0)，C(1,2)，求ABC的面积S.
29、12345678910 11 12 13 14 15 16即x2y30.点A到直线BC的距离为d，即为BC边上的高，即ABC的面积为4.12345678910 11 12 13 14 15 1610.已知直线l经过点P(2,1)，且与直线xy0垂直.(1)求直线l的方程；解由题意知直线l的斜率为1，所求直线方程为y1x2，即xy30.12345678910 11 12 13 14 15 16(2)若直线m与l平行且点P到直线m的距离为 ，求直线m的方程.解由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为xyc0，解得c1或c5.所以所求直线m的方程为xy10或xy50.12345678910 11 1
30、2 13 14 15 16综合运用11.(多选)已知点P在直线3xy50上，且点P到直线xy10的距离为 ，则点P的坐标为A.(1,2)B.(3，4)C.(2，1)D.(4，3)12345678910 11 12 13 14 15 16解析设点P的坐标为(a,53a)，解得a1或2，所以点P的坐标为(1,2)或(2，1).12345678910 11 12 13 14 15 1612.当点P(2,3)到直线l：ax(a1)y30的距离d最大时，d与a的值依次为A.3，3 B.5,2C.5,1 D.7,1解析直线l恒过点A(3,3)，根据已知条件可知，当直线ax(a1)y30与AP垂直时，距离最
31、大，最大值为5，此时a1.12345678910 11 12 13 14 15 1613.已知点P(1t,13t)到直线l：y2x1的距离为 ，则点P的坐标为A.(0，2)B.(2,4)C.(0，2)或(2,4)D.(1,1)解析直线l：y2x1可化为2xy10，整理得|t|1，所以t1或1.当t1时，点P的坐标为(2,4)；当t1时，点P的坐标为(0，2).12345678910 11 12 13 14 15 16解析设P(x，y)，A(2，1)，则点P在直线xy30上，拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.已知直线l：y2ax(a2)过第一、三、四象限，其
32、中aZ，则点A(1，3)到直线l的距离为_.解析因为直线l：y2ax(a2)过第一、三、四象限，所以0a2，又aZ，所以a1，所以直线l的方程为y2x1，即2xy10，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1616.已知直线m：(a1)x(2a3)ya60，n：x2y30.(1)当a0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；12345678910 11 12 13 14 15 16即m与n的交点为(21，9).当直线l过原点时，直线l的方程为3x7y0；所以直线l的方程为xy120，故满足条件的直线l的方程为3x7y0或xy120.此时mn；此时mn.解设原点O到直线m的距离为d，12345678910 11 12 13 14 15 16
