1、第2课时数列的递推公式学习目标1.能根据数列的通项公式解决简单的问题.2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求数列的前几项.3.进一步理解数列与函数的关系导语同学们，上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛，大家先看本学案上的例1.一、数列的通项公式的简单应用例1已知数列an的通项公式是an2n2n，nN*.(1)写出数列的前3项；(2)判断45是否为数列an中的项，3是否为数列an中的项解(1)在通项公式中依次取n1,2,3，可得an的前3项分别为
2、1,6,15.(2)令2n2n45，得2n2n450，解得n5或n(舍去)，故45是数列an中的第5项令2n2n3，得2n2n30，解得n1或n，故3不是数列an中的项反思感悟(1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项跟踪训练1已知数列an的通项公式为anqn，nN*，且a4a272.(1)求实数q的值；(2)判断81是否为此数列中的
3、项解(1)由题意知q4q272，则q29或q28(舍去)，q3.(2)当q3时，an3n.显然81不是此数列中的项；当q3时，an(3)n.令(3)n81，无解，81不是此数列中的项二、数列的递推公式问题1如图所示，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上(1)每次只能移动一个金属片；(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为an，你能发现an与an1之间的关系吗？提示其实把n1个金属片从1号针移到3号针，只需3步即可完成，第一步：把最大金属片上面的n个金属片移到2号位，需
4、要an步；第二步：把最大的金属片移到3号位，需要1步；第三步：把2号位上的n个金属片移到3号位，需要an步，故an12an1.知识梳理一般地，如果已知一个数列的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式注意点：(1)通项公式反映的是an与n之间的关系；(2)递推关系是数列任意两个或多个相邻项之间的推导关系，需要知道首项，即可求数列中的每一项例2若数列an满足a12，an1，nN*，求a2 021.解a23，a3，a4，a52a1，an是周期为4的数列，a2 021a45051a12.反思感悟递推公式反映的是相
5、邻两项(或n项)之间的关系对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性跟踪训练2已知数列an的首项a11，且满足an1an，则此数列的第3项是()A1 B. C. D.答案C解析a11，a2a11，a3a2.三、由递推公式求通项公式例3(1)在数列an中，a11，an1an，则an等于()A. B. C. D.答案B解析方法一(归纳法)数列的前5项分别为a11，a2112，a32，a42，a52，又a11，由此可得数列的一个通项公式为an.方法二(迭代法)a2a11，a3a2，anan1(n2)，则an
6、a112(n2)又a11也适合上式，所以an(nN*)方法三(累加法)an1an，a11，a2a11，a3a2，a4a3，anan1(n2)，以上各项相加得an11.所以an(n2)因为a11也适合上式，所以an(nN*)(2)已知数列满足a11，an1an，则an等于()An1 BnC. D.答案D解析由题意，因为数列满足an1an，所以，所以ana11.反思感悟由递推公式求通项公式的常用方法(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式(2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：an1an常数，或an1anf(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或
7、迭代法；an1pan(p为非零常数)，或an1f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；an1panq(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第类解决跟踪训练3(1)已知数列an满足a11，anan1(n2)，求an.解因为anan1(n2)，所以anan1.所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1()()()11.又a11也符合上式，所以an1，nN*.(2)已知数列an满足a11，ln anln an11(n2)，求an.解因为ln anln an11，所以ln1，即e(n2)所以ana11en1(n2)，又a11也符合上式，所以anen1，nN*.四、数列的函
8、数特征问题2在数列的通项公式中，给定任意的序号n，就会有唯一确定的an与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？提示函数知识梳理通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数注意点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数解析式(2)数列还可以用列表法、图象法表示例4已知数列an的通项公式是an(n1)n，nN*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由解方法一an1an(n2)n1(n1)n，当n0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an；当n9
9、时，an1an0，即an1an.则a1a2a3a11a12，故数列an有最大项，为第9项和第10项，且a9a10109.方法二根据题意，令即解得9n10.又nN*，则n9或n10.故数列an有最大项，为第9项和第10项，且a9a10109.反思感悟求数列最值的方法(1)函数的单调性法：令anf(n)，通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项(2)不等式组法：先假设有最大(小)项不妨设an最大，则满足(n2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n2)求得n的取值范围，从而确定n的值跟踪训练4已知数列ann26n5，则该数列中最小项的序号是()A3 B4 C5
10、D6答案A解析因为an424，所以当n3时，an取得最小值1知识清单：(1)数列的递推公式(2)由递推公式求数列的通项公式(3)数列的函数特征2方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法3常见误区：累加法、累乘法中不注意检验首项是否符合通项公式1已知在数列an中，a12，an1ann(nN*)，则a4的值为()A5 B6 C7 D8答案D解析因为a12，an1ann，所以a2a11213，a3a22325，a4a33538.2在数列中，an，则()A是常数列 B不是单调数列C是递增数列 D是递减数列答案D解析在数列中，an1，由反比例函数的性质得是递减数列3已知数列an中，a11，a22，且an
11、an2an1(nN*)，则a2 021的值为()A2 B1 C. D.答案C解析anan2an1(nN*)，由a11，a22，得a32，由a22，a32，得a41，由a32，a41，得a5，由a41，a5，得a6，由a5，a6，得a71，由a6，a71，得a82，由此推理可得数列an是一个周期为6的周期数列，所以a2 021a33665a5.4323是数列n(n2)的第_项答案17解析由ann22n323，解得n17(负值舍去)323是数列n(n2)的第17项课时对点练1已知数列an满足an4an13(n2，nN*)，且a10，则此数列的第5项是()A15 B255 C16 D63答案B解析由
12、递推公式，得a23，a315，a463，a5255.2数列，的第n项an与第n1项an1的关系是()Aan12an Ban12anCan1an Dan1an答案D3在数列中，a1，an11，则a2 021等于()A. B1 C2 D3答案B解析当n1时，a211；当n2时，a312；当n3时，a41a1；a511a2；a62；所以数列an是一个周期为3的周期数列，故a2 021a36732a21.4已知数列an满足a12，an1an10(nN*)，则此数列的通项公式an等于()An21 Bn1C1n D3n答案D解析an1an1.当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)22(1
13、)(n1)3n.当n1时，a12也符合上式故数列的通项公式an3n(nN*)5下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是()Aan1ann，nN*Banan1n，nN*，n2Can1an，nN*，n2Danan1，nN*，n2答案B解析结合图象易知，a11，a23a12，a36a23，a410a34，anan1n，nN*，n2.6已知在数列an中，an2n225n30(nN*)，则数列中最大项的值是()A107 B108 C108 D109答案B解析由已知得an2n225n3022108，由于nN*，故当n取距离最近的正整数6时，an取得最大值108.数列an中最大
14、项的值为a6108.7已知在数列an中，a1a2ann2(nN*)，则a9_.答案解析a1a2a882，a1a2a992，得，a9.8数列的通项公式是ann27n50，则数列中的最小项是_答案38解析数列的通项公式ann27n502，因为nN*，所以当n3或n4时，an最小，此时a3a438，则数列中的最小项是38.9在数列中，a11，an1(nN*)(1)求a2，a3，a4；(2)猜想an(不用证明)解(1)a11，an1，a2，a3，a4.(2)猜想：an.10在数列an中，a12，a1766，通项公式是关于n的一次函数(1)求数列an的通项公式；(2)求a2 021.解(1)设anknb
15、(k0)，则有解得an4n2，nN*.(2)a2 02142 02128 082.11已知数列an满足a10，且an1an，则数列an的最大项是()Aa1 Ba9Ca10 D不存在答案A解析因为a10，且an1an，所以an0，所以1，所以an10，an1an0，(n1)an1nan0，(n2)，.又a11，ana1.又a11也适合上式，an，nN*.方法二(迭代法)同方法一，得，an1an，anan1an2an3a1a1.又a11，an.方法三(构造特殊数列法)同方法一，得，(n1)an1nan，数列nan是常数列，nan1a11，an(nN*)15在一个数列中，如果对任意nN*，都有ana
16、n1an2k(k为常数)，那么这个数列叫作等积数列，k叫作这个数列的公积已知数列an是等积数列，且a11，a22，公积为8，则a1a2a3a12_.答案28解析依题意得数列an是周期为3的数列，且a11，a22，a34，因此a1a2a3a124(a1a2a3)4(124)28.16已知数列an满足：a1m(m为正整数)，an1若a44，求m所有可能的取值解若a3为奇数，则3a314，a31.若a2为奇数，则3a211，a20(舍去)，若a2为偶数，则1，a22.若a1为奇数，则3a112，a1(舍去)，若a1为偶数，2，a14；若a3为偶数，则4，a38.若a2为奇数，则3a218，a2(舍去)，若a2为偶数，则8，a216.若a1为奇数，则3a1116，a15，若a1为偶数，则16，a132.故m所有可能的取值为4,5,32.
