1、1.5平面上的距离15.1平面上两点间的距离学习目标1.掌握两点间的距离公式并会应用.2.会用坐标法证明简单的平面几何问题导语在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？一、两点之间的距离公式问题1在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？提示AB|xAxB|.问题2已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离？提示(1)当P1P2与x轴平行时，P1P2|x2x1|；(2)当P1P2与y轴平行时，P1P2|y2y1|；(3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图
2、，在RtP1QP2中，P1PP1Q2QP，所以P1P2.即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离P1P2.知识梳理1平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式P1P2.2原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离OP.注意点：(1)此公式与两点的先后顺序无关(2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得P1P2|x2x1|，或P1P2|y2y1|.例1已知ABC的三个顶点A(3,1)，B(3，3)，C(1,7)，试判断ABC的形状解方法一AB2，AC2，又BC2，AB2AC2BC2，且ABAC，ABC是等腰直角三角形
3、方法二kAC，kAB，kACkAB1，ACAB.又AC2，AB2，ACAB，ABC是等腰直角三角形反思感悟计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则P1P2.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解跟踪训练1若点M到x轴和到点N(4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为_答案(2,10)或(10,10)解析由点M到x轴的距离等于10可知，其纵坐标为10.设点M的坐标为(xM，10)由两点间距离公式，得MN10或MN10，解得xM10或xM2，所以点M的坐标为(2,10)或(10,10)二、由两点间距离求参数值例2在平面直角
4、坐标系xOy中，已知直线l：xya0与点A(2,0)，若直线l上存在点M满足MA2MO(O为坐标原点)，则实数a的取值范围是_答案解析设M(x，xa)，由MA2MO，得(x2)2(xa)24x24(xa)2，整理，得6x2(6a4)x3a240，由0得9a212a280，解得a，故a的取值范围为.反思感悟将条件转化为参数的方程或不等式(方程组或不等式组)求解跟踪训练2在直线2x3y50上求点P，使点P到A(2,3)的距离为，则点P的坐标是()A(5,5) B(1,1)C(5,5)或(1,1) D(5,5)或(1，1)答案C解析设点P(x，y)，则y.由PA，得(x2)2213，即(x2)29，
5、解得x1或x5.当x1时，y1；当x5时，y5，点P的坐标为(1,1)或(5,5)三、坐标法的应用例3求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半证明如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，则AB|c|.又由中点坐标公式，得D，E，DE，DEAB，即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半反思感悟(1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”(2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤建
6、立坐标系，用坐标表示有关的量进行有关代数运算把代数运算的结果“翻译”成几何结论跟踪训练3已知在等腰梯形ABCD中，ABDC，对角线为AC和BD.求证：ACBD.证明如图所示，建立平面直角坐标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(ab，c)AC，BD.故ACBD.1知识清单：(1)两点间的距离(2)由两点间距离求参数(3)坐标法的应用2方法归纳：待定系数法、坐标法3常见误区：已知距离求参数问题易漏解1已知点A(2，1)，B(a,3)，且AB5，则a的值为()A1 B5C1或5 D1,5答案C解析由两点间距离公式得5.解得a1或a5，故选C.2直线yx上的两点P，Q的横坐
7、标分别是1,5，则PQ等于()A4 B4 C2 D2答案B解析P(1,1)，Q(5,5)，PQ4.3(多选)直线xy10上与点P(2,3)的距离等于的点的坐标是()A(4,5) B(3,4) C(1,2) D(0,1)答案BC解析设所求点的坐标为(x0，y0)，有x0y010，且，两式联立解得或4在平面直角坐标系xOy中，点A(3,3)，B(1,1)，若直线xym0上存在点P使得PAPB，则实数m的取值范围是_. 答案2，2解析设P(x，xm)，因为PAPB，所以PA23PB2，所以(3x)2(3xm)23(1x)23(1xm)2，化简得2x22mxm260，则4m242(m26)0，解得2m
8、2，即实数m的取值范围是2，2课时对点练1若A(1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则等于()A. B. C3 D2答案D解析AC4，CB2，故2.2(多选)对于，下列说法正确的是()A可看作点(x,0)与点(1,2)的距离B可看作点(x,0)与点(1，2)的距离C可看作点(x,0)与点(1,2)的距离D可看作点(x，1)与点(1,1)的距离答案BCD解析，可看作点(x,0)与点(1，2)的距离，可看作点(x,0)与点(1,2)的距离，可看作点(x，1)与点(1,1)的距离，故选项A不正确3点P(2,5)为平面直角坐标系内一点，线段PM的中点是(1,0)，那么点M到原点O的距离为()A41
9、B. C. D39答案B解析设M(x，y)，由中点坐标公式得1，0，解得x4，y5.所以点M(4，5)，则OM.4在ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是()A2 B3 C. D.答案C解析由中点坐标公式可得，BC边的中点D.由两点间的距离公式得AD.5两直线3axy20和(2a1)x5ay10分别过定点A，B，则AB的值为()A. B. C. D.答案C解析直线3axy20过定点A(0，2)，直线(2a1)x5ay10过定点B，由两点间的距离公式，得AB.6已知A(5,2a1)，B(a1，a4)，当AB取最小值时，实数a的值是()A B C
10、. D.答案C解析A(5,2a1)，B(a1，a4)，AB，当a时，AB取得最小值7过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线yxm平行，则AB_.答案解析由题意知kABba1，所以AB.8若动点P的坐标为(x,1x)，xR，则动点P到原点的最小值是_答案解析由两点间的距离公式得P到原点的距离为，最小值为.9已知直线ax2y10和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，求a的值解由题易知a0，直线ax2y10中，令y0，有x，则A，令x0，有y，则B，故AB的中点为，线段AB的中点到原点的距离为，解得a2.10已知直线l1：2xy60和点A(1，1)，过A点作直线l与已知
11、直线l1相交于B点，且使AB5，求直线l的方程解当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y1k(x1)，解方程组得即B.由AB5，解得k，所以直线l的方程为y1(x1)，即3x4y10.当过A点的直线的斜率不存在时，方程为x1.此时，与l1的交点为(1,4)，也满足题意综上所述，直线l的方程为3x4y10或x1.11已知A(2,4)，B(1,0)，动点P在直线x1上，当PAPB取最小值时，点P的坐标为()A. B.C(1,2) D(1,1)答案A解析点B关于直线x1对称的点为B1(3,0)，由图形知，当A，P，B1三点共线时，PAPB1(PAPB)min，此时，直线AB1的方程为y(x3)，令x
12、1，得y，故选A.12已知x，yR，S，则S的最小值是()A0 B2 C4 D.答案B解析S可以看作是点(x，y)到点(1,0)与点(1,0)的距离之和，数形结合(图略)易知最小值为2.13已知ABC的三顶点A(3,8)，B(11,3)，C(8，2)，则BC边上的高AD的长度为_答案解析由两点间距离公式得AB，BC，AC.ABAC，ABC是等腰三角形，D为BC的中点，由中点坐标公式易得D，AD.14在RtABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则_.答案10解析以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，设A(4a,0)，B(0,4b)，则D(2a,
13、2b)，P(a，b)，所以PA29a2b2，PB2a29b2，PC2a2b2，于是PA2PB210(a2b2)10PC2，即10.15已知两点A(2,3)，B(4,1)，P为直线l：x2y20上一动点，则PAPB的最小值为_，PAPB的最大值为_答案2解析如图，可判断A，B在直线l的同侧，设点A关于l的对称点A的坐标为(x1，y1)则有解得故A.由平面几何知识可知，当点P为直线AB与直线l的交点时，PAPB最小，此时PAPBPAPBAB，故PAPB的最小值为AB.由平面几何知识可知，当点P为直线AB与l的交点时，PAPB最大，此时PAPBAB.故PAPB的最大值为AB2.16.如图所示，已知BD是ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：AB2BC2AC22BD2.证明如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系设B(b，c)，C(a,0)，依题意得A(a,0)AB2BC2AC2(ab)2c2(ab)2c2(2a)22a22b22c22a22b22c2，2BD22(b2c2)2b22c2，所以AB2BC2AC22BD2.
