1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第三节 二元一次不等式 (组 )与简单的线性规划问题 考纲传真 (教师用书独具 )1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组 .2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组 .3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决 (对应学生用书第 97 页 ) 基础知识填充 1二元一次不等式表示的平面区域 一般地，直线 l： ax by c 0 把直角坐标平面分成了三个部分： (1)直线 l 上的点 (x， y)的坐标满足 ax by c 0； (2)直线 l 一侧的平面区域内的点 (x， y)的坐 标满足 ax by c 0；
2、 (3)直线 l 另一侧的平面区域内的点 (x， y)的坐标满足 ax by c 0. 所以，只需在直线 l 的某一侧的平面区域内，任取一特殊点 (x0， y0)，从 ax0 by0 c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域 2线性规划相关概念 名称 意义 结束条件 由变量 x， y 组成的一次不等式组 线性约束条件 由 x， y 的 一次 不等式 (或方程 )组成的等式组 目标函数 欲求 最大值 或 最小值 的函数 线性目标函数 关于 x， y 的 一次 解析式 可行解 在线性规划问题中，满足 约束条件 的解 (x， y) 可行 域 由所有 可行解 组成的集合 最优解 使目标函数取得 最大值
3、 或 最小值 的可行解，通常在可行域的顶点处取得 二元线性规 划问题 如果两个变量满足一组一次不等式，求这两个变量的一次函数的最大值或最小值问题叫作二元线性规划问题 3.重要结论 画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域： (1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线； (2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取 (0,1)或 (1,0)来验证 知识拓展 1.利用 “ 同号上，异号下 ” 判断二元一次不等式表示的平面区域： 对于 Ax By C 0 或 Ax By C 0，则有 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)当 B
4、(Ax By C) 0 时，区域为直线 Ax By C 0 的上方； (2)当 B(Ax By C) 0 时，区域为直线 Ax By C 0 的下方 2最优解和可行解的关系： 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)不等式 Ax By C0 表示的平面区域一定在直线 Ax By C 0 的 上方 ( ) (2)线性目标函数的最优解可能不唯一 ( ) (3)目标函数 z ax by(b0) 中， z 的几何意义是直线 ax by z 0 在 y 轴上的截距 (
5、 ) (4)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )不等式组? x 3y 60，x y 20 表示的平面区域是 ( ) C x 3y 60 表示直线 x 3y 6 0 左上方的平面区域， x y 20 表示直线 x y 2 0 及其右下方的平面区域，故选 C. 3 (2017 全国卷 ) 设 x， y 满足约束条件? x 3y3 ，x y1 ，y0 ，则 z x y 的最大值为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 D 根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由 z x y 得 y x z. 作出直线 y x，并平移该直
6、线， 当直线 y x z 过点 A 时，目标函数取得最大值 由图知 A(3,0)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 故 zmax 3 0 3. 故选 D. 4若点 (m,1)在不等式 2x 3y 5 0 所表示的平面区域内，则 m 的取值范围是 _ (1， ) 点 (m,1)在不等式 2x 3y 5 0 所表示的平面区域内， 2 m 3 5 0，即 m 1. 5在平面直角坐标系中，不等式组? x1 ，x y0 ，x y 40表示的平面区域的面积是 _. 【导学号： 79140199】 1 不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示， 由 x 1， x y 0 得 A(1， 1)， 由 x 1，
7、x y 4 0 得 B(1， 3)， 由 x y 0， x y 4 0 得 C(2， 2)， | AB| 2， S ABC 1221 1. (对应学生用书第 98 页 ) 二元一次不等式 (组 )表示的平面区域 (1)(2018 北 京 西 城 区 二 模 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 不 等 式 组? 3x y0 ，x 3y 20 ，y0表示的平面区域的面积是 ( ) A. 32 B. 3 C 2 D 2 3 (2)若满足条件? x y0 ，x y 20 ，y a的整点 (x， y)恰有 9 个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数 a 的值为 ( ) =【 ;精品教育资
8、源文库 】 = A 3 B 2 C 1 D 0 (1)B (2)C (1)作出不等式组表示的平面区域是以点 O(0,0)， B( 2,0)和 A(1， 3)为顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分 (含边界 )，由图知该平面区域的面积 为 122 3 3，故选 B. (2)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，当 a 0 时，平面区域内只有4 个整点 (1,1)， (0,0)， (1,0)， (2,0)；当 a 1 时，正好增加 ( 1， 1)， (0， 1)， (1， 1)， (2， 1)， (3， 1)共 5 个整点，故选 C. 规律方法 确定二元一次不等式 组 表示的平面区域的方法
9、直线定界，特殊点定域 ” ，即先作直线，再取特殊点并代入不等式 .若满足不等式，则不等式表示的平面区域为直线与特 殊点同侧的那一侧区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域 .不等式组表示的平面区域即为各不等式所表示的平面区域的公共部分 . 当不等式中不等号为 或 时，边界为实线，不等号为或时，边界应画为虚线，若直线不过原点，特殊点常取原点 . 跟踪训练 若平面区域? x y 30 ，2x y 30 ，x 2y 30夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是 ( ) A.3 55 B. 2 C.3 22 D. 5 B 根据约束条件作出可行域如图中阴影部分，当斜率为 1
10、的直线分别过 A 点和 B 点时满足条件，联立方程组 =【 ;精品教育资源文库 】 = ? x y 3 0，x 2y 3 0 求得 A(1,2)，联立方程组 ? 2x y 3 0，x y 3 0 求得 B(2,1)，可求得分别过 A， B 点且斜率为 1 的两条直线方程为 x y 1 0 和 x y 1 0，由两平行线间的距离公式得距离为 |1 1|2 2，故选 B. 线性规划中的最值问题 角度 1 求线性目标函数的最值 (2017 全国卷 ) 设 x， y 满足约束条件? 2x 3y 30 ，2x 3y 30 ，y 30 ，则 z 2x y 的最小值是 ( ) A 15 B 9 C 1 D
11、9 A 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示 将目标函数 z 2x y 化为 y 2x z，作出直线 y 2x 并平移，当直线 y 2x z经过点 A( 6， 3)时， z 取最小值，且 zmin 2( 6) 3 15. 故选 A. 角度 2 求非线性目标函数的最值 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2018 济南一模 )若变量 x， y 满足约束条件? x1 ，x y0 ，x 2y 20 ，则 yx的最大值为( ) A 1 B 3 C.32 D 5 C 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域是以 (1,1)， ? ?1， 32 ， (2,2)为顶点的三角形区域 (包含边界
12、)(图略 )， yx表示平面区域内的点与原点的连线的斜率，由题意得点 ? ?1， 32 与原点的连线斜率最大，即 yx的最大值为32132，故选 C. 角度 3 线性规划中的参数问题 (2017 河南安阳一模 )已知 z 2x y， 其中实数 x， y 满足? y x，x y2 ，x a，且 z的最大值是最小值的 4 倍，则 a 的值是 ( ) 【导学号： 79140200】 A.211 B 14 C 4 D 112 B 作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z 2x y 得 y 2x z， 平移直线 y 2x， 由图可知当直线 y 2x z 经过点 A 时，直线的纵截距最大， 此时 z 最大
13、， =【 ;精品教育资源文库 】 = 由? x y 2，y x 解得 ? x 1，y 1， 即 A(1,1)， zmax 21 1 3， 当直线 y 2x z 经过点 B 时，直线的纵截距最小， 此时 z 最小， 由? x a，y x 解得 ? x a，y a， 即 B(a， a)， zmin 2 a a 3a， z 的最大值是最小值的 4 倍， 3 43 a，即 a 14，故选 B. 规律方法 1.求目标函数最值的解题步骤 作图 画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线； 平移 将直线平行移动，以确定最优解的对应点的位置；最优解一般在封闭图形的边界或顶点处
14、取得 . 求值 解方程组求出对应点坐标 即最优解 ，代入目标函数，即可求出最值 . 2.常见的三类目标函数 截距型：形如 z ax by. 求这类目标函数的最值常将函数 z ax by 转化为直线的斜截式： y abx zb，通过求直线的截距 zb的最值间接求出 z 的最值 . 距离型：形如 z x a 2 y b 2. 斜率型：形如 z y bx a. 易错警示：注意转化的等价性及几何意义 . 跟踪训练 (1)(2017 全国卷 ) 设 x， y 满足约束条件? 3x 2y 60 ，x0 ，y0 ，则 z x y的取值范围是 ( ) A 3,0 B 3,2 C 0,2 D 0,3 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)若变量 x， y 满足? x y2 ，2x 3y9 ，x0 ，则 x2 y2的最大值是 ( ) A 4 B 9 C 10 D 12 (3)(2017 石家庄质检 (一 )若 x， y 满足? x y1mx y03x 2y 20，且 z 3x y 的最大值为 2，则实数 m 的值为 ( ) A.13 B 23 C 1 D 2 (1)B (2)C (3)D
