1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 课时 导数与函数的极值、最值 (对应学生用书第 38 页 ) 利用导数解决函数的极值问题 角度 1 根据函数图像判断函数极值的情况 设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f( x)，且函数 y (1 x)f( x)的图像如图 2113 所示，则下列结论中一定成立的是 ( ) 图 2113 A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B函数 f(x)有极大值 f( 2)和极小值 f(1) C函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f( 2) D函数 f(x)有极大值 f( 2)和极小值 f(2) D 由题图可知，当 x 2 时， f(
2、x) 0；当 2 x 1 时， f( x) 0；当 1 x 2时， f( x) 0；当 x 2 时， f( x) 0.由此可以得到函数 f(x)在 x 2 处取得极大值，在 x 2 处取得极小值 角度 2 求已知函数的极值 (2017 全国卷 ) 若 x 2 是函数 f(x) (x2 ax 1)ex 1的极值点，则 f(x)的极小值为 ( ) A 1 B 2e 3 C 5e 3 D 1 A 函数 f(x) (x2 ax 1)ex 1， 则 f( x) (2x a)ex 1 (x2 ax 1)e x 1 ex 1 x2 (a 2)x a 1 由 x 2 是函数 f(x)的极值点得 f( 2) e
3、 3(4 2a 4 a 1) ( a 1)e 3 0， 所以 a 1. 所以 f(x) (x2 x 1)ex 1， f( x) ex 1( x2 x 2) 由 ex 10 恒成立，得 x 2 或 x 1 时， f( x) 0， 且 x0； 21 时， f( x)0. 所以 x 1 是函数 f(x)的极小值点 所以函数 f(x)的极小值为 f(1) 1. 故选 A 角度 3 已知函数极值求参数的值或范围 (1)已知 f(x) x3 3ax2 bx a2在 x 1 时有极值 0，则 a b _. (2)(2018 湖北调考 )已知函数 f(x) 12x2 4x 3ln x 在 (t， t 1)上存
4、在极值点，则实数 t 的取值范围为 _ (1) 7 (2)(0,1)(2,3) (1) 由 题 意 得 f( x) 3x2 6ax b ，则? a2 3a b 1 0，b 6a 3 0， 解得? a 1，b 3 或 ? a 2，b 9， 经检验当 a 1， b 3 时，函数 f(x)在 x 1 处无法取得极值，而 a 2， b 9 满足题意，故 a b 7. (2)由题意得 f( x) x 4 3x x2 4x 3x (x 3)(x 1)x (x 0)由 f( x) 0 得 x 1 或 x 3，所以要使函数 f(x)在 (t， t 1)上存在极值点，则 t 1 t 1或 t 3 t 1，即 0
5、 t 1 或 2 t 3，所以实数 t 的取值范围为 (0,1)(2,3) 规律方法 1.利用导数研究函数极值问题的一般流程 2已知函数极值点和极值求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为 0 和极值列方程组，利用待定系数法求解 (2)验证：因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 跟踪训练 (1)已知函数 f(x) x3 ax2 bx a2 7a 在 x 1 处取得极大值 10，则 ab的值为( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 【导学号： 79140081】 A 23 B 2 C 2 或 23 D不存在 (2)函数 y 2x
6、 1x2的极大值是 _ (1)C (2) 3 (1) f(x) x3 ax2 bx a2 7a， f( x) 3x2 2ax b，由题意知f(1) 3 2a b 0， b 3 2a ，又 f(1) 1 a b a2 7a 10 ，将 代入 整理得 a2 8a 12 0，解得 a 2 或 a 6.当 a 2 时， b 1；当 a 6 时， b 9. ab 2 或 ab 23，故选 C (2)y 2 2x3，令 y 0，得 x 1. 当 x 1 时， y 0；当 1 x 0 时， y 0；当 x 0 时， y 0， 所以当 x 1 时， y 取极大值 3. 利用导数解决函数的最值问题 (2017
7、北京高考 )已知函数 f(x) excos x x. (1)求曲线 y f(x)在点 (0， f(0)处的切线方程； (2)求函数 f(x)在区间 ? ?0， 2 上的最大值和最小值 解 (1)因为 f(x) excos x x， 所以 f( x) ex(cos x sin x) 1， f(0) 0. 又因为 f(0) 1， 所以曲线 y f(x)在点 (0， f(0)处的切线方程为 y 1. (2)设 h(x) ex(cos x sin x) 1，则 h( x) ex(cos x sin x sin x cos x) 2exsin x. 当 x ? ?0， 2 时， h( x)0， 所以 h
8、(x)在区间 ? ?0， 2 上单调递减 所以对任意 x ? ?0， 2 有 h(x)h(0) 0，即 f( x)0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以函数 f(x)在区间 ? ?0， 2 上单调递减 因此 f(x)在区间 ? ?0， 2 上的最大值为 f(0) 1，最小值为 f? ? 2 2. 规律方法 求函数 f x 在 a， b上的最大值、最小值的步骤 求函数在 a， b 内的极值 . 求函数在区间端点的函数值 f a ， f b 将函数 f x 的极值与 f a ， f b 比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值 . 跟踪训练 设函数 f(x) aln x bx2(x 0)，若
9、函数 f(x)在 x 1 处与直线 y 12相切 (1)求实数 a， b 的值； (2)求函数 f(x)在 ? ?1e， e 上的最大值 解 (1)f( x) ax 2bx， 因为函数 f(x)在 x 1 处与直线 y 12相切， 所以? f (1) a 2b 0，f(1) b 12， 解得 ? a 1，b 12. (2)由 (1)知， f(x) ln x 12x2， f( x) 1x x 1 x2x ， 因为当 1e xe 时，令 f( x) 0，得 1e x 1； 令 f( x) 0，得 1 xe ， 所以 f(x)在 ? ?1e， 1 上单调递增，在 (1， e上单调递减， 所以 f(x
10、)max f(1) 12. 函数极值与最值的综合问题 已知常数 a0 ， f(x) aln x 2x. (1)当 a 4 时，求 f(x)的极值； (2)当 f(x)的最小值不小于 a 时，求实数 a 的取值范围 . 【导学号： 79140082】 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 (1)由已知得 f(x)的定义域为 (0， ) ， f( x) ax 2 a 2xx . 当 a 4 时， f( x) 2x 4x . 所以当 0 x 2 时， f( x) 0，即 f(x)单调递减； 当 x 2 时， f (x) 0，即 f(x)单调递增 所以 f(x)只有极小值，且在 x 2 时， f(x)
11、取得极小值 f(2) 4 4ln 2. 所以当 a 4 时， f(x)只有极小值 4 4ln 2. (2)因为 f( x) a 2xx ， 所以当 a 0， x(0 ， ) 时， f( x) 0，即 f(x)在 x(0 ， ) 上单调递增，没有最小值； 当 a 0 时，由 f( x) 0 得， x a2，所以 f(x)在 ? ? a2， 上单调递增； 由 f( x) 0 得， x a2，所以 f(x)在 ? ?0， a2 上单调递减 所以当 a 0 时， f(x)的最小值为 f? ? a2 aln? ? a2 2? ? a2 . 根据题意得 f? ? a2 aln? ? a2 2? ? a2
12、a， 即 aln( a) ln 20. 因为 a 0，所以 ln( a) ln 20 ，解得 a 2， 所以实数 a 的取值范围是 2,0) 规律方法 解决函数极值、最值问题的策略 求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小 . 求函数最值 时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较才能下结论，即函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值 . 跟踪训练 已知函数 f(x)? x3 x2， x 1，aln x， x1. (1)求 f(x)在区间 ( ， 1)上的极小值和极大值点； (2)求 f(x)在区间 1， e(e 为自然对数的底数 )上的最大值 解
13、 (1)当 x 1 时， f( x) 3x2 2x x(3x 2)，令 f( x) 0，解得 x 0或 x 23， =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表： x ( ， 0) 0 ? ?0， 23 23 ? ?23， 1 f( x) 0 0 f(x) 极小值 极大值 所以当 x 0 时，函数 f(x)取得极小值 f(0) 0，函数 f(x)的极大值点为 x 23. (2) 当 1 x 1 时， 由 (1)知，函数 f(x)在 1,0)和 ? ?23， 1 上单调递减，在 ? ?0， 23上单调递增 因为 f( 1) 2， f? ?23 427， f(0) 0，所以 f(x)在 1,1)上的最大值为 2. 当 1 xe 时， f(x) aln x，当 a0 时， f(x)0 ； 当 a 0 时， f(x)在 1， e上单调递增 所以 f(x)在 1， e上的最大值为 f(e) a. 所以当 a2 时， f(x)在 1， e上的最大值为 a； 当 a 2 时， f(x)在 1， e上的最大值为 2.
