1、江苏省南京市2022届高三下学期5月模拟数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1已知R为实数集，集合AxZ|x|1，Bx|2x10，则A（）（）A1，0B0，1C1，0，1D 2已知i为虚数单位，复数z满足z（1i）43i，则|z|（）ABCD3为庆祝中国共青团成立100周年，某校计划举行庆祝活动，共有4个节目，要求A节目不排在第一个，则节目安排的方法数为（）A9B18C24D274函数的部分图象大致是（）ABCD5我们知道，任何一个正整数N可以表示成Na10n（1a10，nZ），此时lgNnlga（0lga1）当n0时，N是一个n1位数已知lg50.69897，则5100是（）位
2、数A71B70C69D686（1x）4（12y）a（aN*）的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n）若f（0，1）f（1，0）8，则a的值为（）A0B1C2D37已知函数f（x）Asin（x）（A0，0，）的图象与y轴的交点为M（0，1），与x轴正半轴最靠近y轴的交点为N（3，0），y轴右侧的第一个最高点与第一个最低点分别为B，C若OBC的面积为（其中O为坐标原点），则函数f（x）的最小正周期为（）A5B6C7D88已知，若x1，f（x2m）mf（x）0，则实数m的取值范围是（）A（1，）BC（0，）D二、多选题9设，aR，则下列说法正确的是（）AB“a1”是“”的充分不必要条件C“P3”
3、是“a2”的必要不充分条件D$a（3，），使得P310在平面直角坐标系中，已知圆：，则下列说法正确的是（）A若，则点在圆外B圆与轴相切C若圆截轴所得弦长为，则 D点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为11连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则（）A事件B与事件C互斥BC事件A与事件B独立D记C的对立事件为，则12在一个圆锥中，D为圆锥的顶点，O为圆锥底面圆的圆心，P为线段DO的中点，AE为底面圆的直径，是底面圆的内
4、接正三角形，则下列说法正确的是（）ABE平面PACBPA平面PBCC在圆锥侧面上，点A到DB中点的最短距离为D记直线DO与过点P的平面所成的角为，当时，平面与圆锥侧面的交线为椭圆三、填空题13在平面直角坐标系xOy中，P是直线3x2y10上任意一点，则向量与向量（3，2）的数量积为_14写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的数列 的通项公式： _（1）数列是无穷等比数列；（2）数列不单调；（3）数列单调递减15在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1与双曲线C2共焦点，双曲线C2实轴的两顶点将椭圆C1的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线C2的离心率为_四、双空题1619世纪，美
5、国天文学家西蒙纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性根据本福特定律，在某项大量经济数据（十进制）中，以6开头的数出现的概率为_；若,，则k的值为_五、解答题17在ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(1)求A；(2)若，求sinADC18已知数列
6、的前项和为，从下面中选取两个作为条件，剩下一个作为结论如果该命题为真，请给出证明；如果该命题为假，请说明理由；为等差数列；注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分19如图1，在平行四边形ABCD中，AB2，ABC30，AEBC，垂足为E以AE为折痕把ABE折起，使点B到达点P的位置，且平面PAE与平面AECD所成的角为90（如图2）(1)求证：PECD；(2)若点F在线段PC上，且二面角FADC的大小为30，求三棱锥FACD的体积20空气质量指数AQI与空气质量等级的对应关系如下：空气质量指数AQI空气质量等级0，50优（50，100良（100，150轻度污染（150，200中度污染（
7、200，300中度污染（300，）严重污染下列频数分布表是某场馆记录了一个月（30天）的情况：空气质量指数AQI0，50（50，100（100，150（150，200频数（单位：天）36156(1)利用上述频数分布表，估算该场馆日平均AQI的值；（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表）(2)如果把频率视为概率，且每天空气质量之间相互独立，求未来一周（7天）中该场馆至少有两天空气质量等级达到“优或良”的概率；（参考数据：0.770.0824，结果精确到0.01）(3)为提升空气质量，该场馆安装了2套相互独立的大型空气净化系统已知每套净化系统一年需要更换滤芯数量情况如下：更换滤芯数量（单
8、位：个）345概率020305已知厂家每年年初有一次滤芯促销活动，促销期内每个滤芯售价1千元，促销期结束后每个滤芯恢复原价2千元该场馆每年年初先在促销期购买n（n8，且nN*）个滤芯，如果不够用，则根据需要按原价购买补充问该场馆年初促销期购买多少个滤芯，使当年购买滤芯的总花费最合理，请说明理由（不考虑往年剩余滤芯和下一年需求）21已知函数（x2x1）ex3，e为自然对数的底数(1)求函数的单调区间；(2)记函数在（0，）上的最小值为m，证明：em322在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x24y，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线，两切线的交点P在直线yx5上(1)
9、若点A的坐标为，求AP的长；(2)若AB2AP，求点P的坐标参考答案：1A【解析】【分析】根据集合补集和交集的定义，结合解绝对值不等式的公式法进行求解即可.【详解】因为，所以，故选：A2D【解析】【分析】利用复数模的运算律求解.【详解】解：因为，所以，故选：D3B【解析】【分析】由于A节目有特殊要求，所以先安排A节目，再安排其它的节目，从而即可求解.【详解】解：由题意，先从后面3个节目中选择一个安排A节目，然后其它3个节目任意排在剩下的3个位置，共有种方法，故选：B.4C【解析】【分析】通过奇偶性可排除A，通过零点及特值可排除BD，即得结果.【详解】函数的定义域为，关于原点对称，所以为奇函数排
10、除A，又排除B，当，排除D；故选：C.5B【解析】【分析】运用代入法直接进行求解即可.【详解】，则其为70位数，故选：B6C【解析】【分析】利用二项展开式求出对应的项，列出方程求解即可.【详解】展开式中含的项为，含的项为，故选：C7D【解析】【分析】根据OBC的面积可求得A，结合题中已知根据三角函数的性质可求得解析式，进而求得最小正周期.【详解】如下图，故选：D8B【解析】【分析】分和进行分类讨论，分别确定m的取值范围，最后综合得答案.【详解】时，符合题意；时，即显然在R上递增，则对恒成立对恒成立则：；综上，故选：B9BC【解析】【分析】根据双勾函数的单调性，逐一分析，即可求解.【详解】解：A
11、错误，当时，显然有P小于0B正确，时，故充分性成立，而只需即可；C正确，可得或，当时成立的，故C正确；D错误，因为有，故D错误；故选：BC.10ABD【解析】【分析】选项A，根据点与圆的位置关系判断即可；选项B，根据直线与圆相切的定义判断即可；选项C，根据圆的弦长公式求解即可；选项D，根据分和两种情况即可判断.【详解】对于A，因为时，将原点代入圆方程可得，故点在圆外，故A正确；对于B，圆化为标准方程即为，则圆心，显然圆心到轴距离为等于半径，所以相切，故B正确；对于C，对根据题意，解得，解得所以圆截轴所得弦长为，则，故C不正确；对于D，当时，圆：，所以点在圆上，显然最小值为，最大值为，故乘积且等
12、于；当时，由选项A知，点在圆外，所以最大值为，最小值为，乘积为，故D正确.故选：ABD.11BCD【解析】【分析】对A，根据事件B包含事件C判断即可；对B，根据概率的性质，用1减去全为正面和全为反面的情况概率即可；对C，根据相互独立事件的公式判断即可；对D，先求得，再利用条件概率公式求解即可【详解】选项A：显然B发生的情况中包含C，故可同时发生，错误；选项B：，正确；选项C：，故A与B独立，正确；选项D：，正确；故选：BCD12BD【解析】【分析】根据线面平行的判定定理，结合题意，即可判断A的正误；根据线面垂直的判定、性质定理，结合勾股定理，可判断B的正误；根据圆锥侧面展开图，分析计算，可判断
13、C的正误；根据圆锥曲线的定义，可判断D的正误，即可得答案.【详解】对于A：假设BE平面PAC，因为平面，平面平面， 所以，由题意得BE不与AC平行，所以假设不成立，则BE不平行平面PAC，故A错对于B：因为平面ABC，平面ABC，所以，又AE为底面圆的直径，正三角形，所以，又，所以平面PAO，所以，又因为，所以，则，所以，所以，同理，所以，所以，因为，所以平面PBC，故B正确对于C：将侧面铺平展开得其中，底面圆周长所以，则，所以A到DB中点的最短距离为图中AM，若时，由余弦定理可得，因为，所以，故C错对于D:设圆锥顶角为，则，因为，由截曲线知，平面与圆锥侧面的交线为椭圆，故D正确故选：BD【点
14、睛】解题的关键是熟练掌握圆锥的几何性质，并灵活应用，难点在于作出图象，分析并求解各个长度，再结合圆锥曲线的定义，进行求解，属中档题.13【解析】【分析】设，利用数量积的坐标运算求解.【详解】解：设，因为P是直线3x2y10上任意一点，所以，故答案为：-114（答案不唯一）【解析】【分析】根据数列需要满足的条件，可写出答案.【详解】由题意可得，满足（1）数列是无穷等比数列；（2）数列不单调；（3）数列单调递减，故答案为：15【解析】【分析】先利用椭圆和双曲线的定义得到， 再根据两曲线的交点与两焦点共圆，利用勾股定理求解.【详解】不妨设焦点，在x轴上，两者在第一象限的公共点为P，设的实半轴长为a，
15、则的长半轴长为3a，半焦距为c，设， 则，由题意知：P在为直径的圆上，所以，解得：故答案为：16 5【解析】【分析】第一空，将 代入即可求得答案；第二空，根据得到的表达式，结合的值可得方程，解得答案.【详解】由题意可得：（1）（2），而，故，则故答案为：17(1)(2)【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边角转化，进而能求得;（2）根据已知，可以确定各个角的三角函数值，进而求得与的关系，就能求得sinADC(1)由正弦定理有，所以，又，则有；(2)如下图，由，则，所以，可知，设，所以，则有，所以，又，所以，又有，所以18答案见解析【解析】【分析】选作为条件，可得，即可求出和，进而得到.选作为条
16、件，可得，即可得到，进而得到选作为条件，可得，进而得到【详解】解：选作为条件，作为结论由，所以，则有，所以可知，则有，得故可知，又符合，所以，则有选作为条件，作为结论由当为奇数， 当为偶数， 故 ， 是以公差为，首项为的等差数列选作为条件，作为结论为等差数列，即 19(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）根据平面PAE与平面AECD所成的角为90，得到平面平面AECD，进而得到 平面AECD即可；（2）由平面AECD，和，得到EA，EC，EP两两垂直，则以E为坐标原点，分别以EA，EC，EP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设，求得平面AFD的一个法向量，平面ACD的一个法向量，根据二
17、面角F-AD-C为30，由，求得即可.(1)平面PAE与平面AECD所成的角为90，平面平面AECD，平面平面，又，平面PAE，平面AECD，平面AECD，(2)平面AECD，又，EA，EC，EP两两垂直，以E为坐标原点，分别以EA，EC，EP为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系E-xyz，RtABE中，则，设，设平面AFD的一个法向量为，则，不妨设，则，y轴平面ACD，平面ACD的一个法向量二面角F-AD-C为30，即，F到平面AECD的距离，20(1)115(2)0.67(3)买9个最划算，理由见解析【解析】【分析】（1）法一：直接根据平均数的求解方法计算；法二：根据频率进行计算 （
18、2）易得空气质量等级达到优或良的概率为，再根据二项分布，利用其对立事件的概率求解即可；（3）分别计算每年年初先在促销期购买n个滤芯的总花费数学期望比较大小即可(1)法一：；法二：(2)一个月30天中达到优或良的天数为9，空气质量等级达到优或良的概率为，未来一周（7天）中该场馆至少有两天空气质量达到优或良的概率为；(3)法一：需要更换的滤芯个数X的所有可能取值为6，7，8，9，10，更换滤芯个数X的期望为：个若购买8个，则总花费为元，若购买9个，则总花费为9000元，故应购买9个最合理法二：按照这个数据，每年需要6到10个滤芯，也就是，9，10，而需求假设为Z，会有；那么当时，会有花费的分布为均
19、值同理算出，故此买9个最划算21(1)单调递增区间为，单调递减区间；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）求导，利用导数求函数的单调区间即得解；（2）求导得到，再求出，再对分类讨论得证.(1)解：，单调递增；，单调递减；，单调递增；单调递增区间为，单调递减区间.(2)解：，则，当时，所以所以；当时，设所以在单调递增，所以，所以，所以，当时，对任意，均有，则，综上：.22(1)(2)或【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，表示出切线方程，和联立，求得，即得答案；（2）法一：设，AB：，联立，求得弦长，结合导数的几何意义求得，继而求得的长，利用得方程，求得答案.法二：设，AB中点，利用导数几
20、何意义的切线方程，表示出P点坐标，可得，从而结合可得，由此解得，结合，可求得答案.(1)由题意得， ，由，则，所以A点处的切线方程为，联立，可得，所以；(2)法一：由题意知，直线l斜率存在，设，AB：，联立，可得，需满足 ， ，所以，又有，所以A,B处的切线方程为，联立，有，所以有，又有由，则有，所以，又，则有，所以，解得或，当时，；当时，满足,所以或法二：设，AB中点，设PM中点为N，直线AP方程为：，整理有，同理直线BP方程为：，联立，解得，显然，由题知，则，故，即，整理有，其中，则， ，又因为满足，即，解得或，故或【点睛】本题考查了抛物线和直线相交时的求线段长度以及点的坐标问题，综合性较强，涉及到导数的几何意义的应用，解答时要注意解题思路要顺畅，明确一步步要去求解什么，关键是计算量较大，要十分细心.答案第19页，共19页
