1、四川省绵阳市2022届高三第三次诊断性考试理科数学试题一、单选题1若复数，则（）ABCD2已知集合，则（）ABCD3某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（）AB估计这批产品该项质量指标的众数为45C估计这批产品该项质量指标的中位数为60D从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.54已知，是两个不同的平面，m是一条直线，若，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件5已知函数，则（）A在上单调递增B的图象关于点对称C为奇函数D的图象
2、关于直线对称6若抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于A，B两点，且，则（）ABC2D47函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则（）AB1CD8在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界我国古代天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（）A11.5尺B13.5尺C1
3、2.5尺D14.5尺9已知曲线在处的切线为，若与相交，则实数的取值范围是（）ABCD10将5名支援某地区抗疫的医生分配到A、B、C三所医院，要求每所医院至少安排1人，则其中甲、乙两医生恰分配到相同医院的概率为（）ABCD11某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形将该几何体完全放置在一个球内，则满足条件的球的最小体积为（）ABCD12在给出的；三个不等式中，正确的个数为（）A0个B1个C2个D3个二、填空题13已知双曲线（其中，）的焦距为，其中一条渐近线的斜率为2，则_14在等边ABC中，则_15已知数列的前n项和为，若，则_16在棱长为3的正方体中，已知点P为棱上靠近于点的三等
4、分点，点Q为棱CD上一动点若M为平面与平面的公共点，N为平面与平面ABCD的公共点，且点M，N都在正方体的表面上，则由所有满足条件的点M，N构成的区域的面积之和为_三、解答题17在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知，且(1)求角B的大小；(2)若，求ABC的面积S18随着科技进步，近来年，我国新能源汽车产业迅速发展以下是中国汽车工业协会2022年2月公布的近六年我国新能源乘用车的年销售量数据：年份201620172018201920202021年份代码x123456新能源乘用车年销售y（万辆）5078126121137352(1)根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程；（结果保
5、留整数）(2)若用模型拟合y与x的关系，可得回归方程为，经计算该模型和第（1）问中模型的（为相关指数）分别为0.87和0.71，请分别利用这两个模型，求2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值；(3)你认为（2）中用哪个模型得到的预测值更可靠？请说明理由参考数据：设，其中1444.788415.7037.71380528参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，19在四棱锥中，底面ABCD为梯形，已知，是以BC为斜边的等腰直角三角形(1)证明：平面PCD；(2)求二面角的平面角的余弦值20已知椭圆（其中）的离心率为，直线与椭圆E交于、两点，且
6、，当时，(1)求椭圆的方程；(2)在直线上是否存在点，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由21函数(1)若函数有2个零点，求实数a的取值范围；(2)若函数在区间上最大值为m，最小值为n，求的最小值22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的方程为以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线E的极坐标方程为，(1)求直线l的普通方程和曲线C的极坐标方程；(2)若E与l交于点A，E与C交于点B，求的取值范围23已知函数(1)求关于x的不等式的解集；(2)求证：参考答案：1D【解析】由复数乘法运算求得，根据共轭复数定义可求得结果.【详解】，.故选：.2B【解析】
7、【分析】由已知，分别求解出集合、集合的范围，然后直接求解交集即可.【详解】由已知，集合，即集合，集合，即集合，因为，所以.故选：B.3C【解析】【分析】利用各组的频率之和为1，求得的值，判定A；根据众数和中位数的概念判定BC；根据频率估计概率值，从而判定D.【详解】，解得，故A正确；频率最大的一组为第二组，中间值为，所以众数为45，故B正确；质量指标大于等于60的有两组，频率之和为，所以60不是中位数，故C错误；由于质量指标在50,70)之间的频率之和为，可以近似认为从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5，故D正确.故选:4C【解析】【分析】由线面、面面的位置关系判断条件间
8、的推出关系，再结合充分、必要性的定义即可得答案.【详解】由，若则，同理也有.所以“”是“”的充要条件.故选：C5B【解析】【分析】把化简成，进而得到是由先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到的，然后根据的图象画出的图象，即可判断选项【详解】化简得，的可以看作是函数先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到，先画出的图象，再进行平移画出的图象，明显可见，对于原函数，为奇函数，关于点对称，且在和上为单调减函数，所以，经过平移后变成的在上单调递减，关于对称，非奇函数也非偶函数，所以，B正确；A、C、D错误.故选：B6A【解析】【分析】设点A和点B的坐标，根据抛物线的定义，用点A和点B的坐标表示出
9、和，再根据题中的等式求解两点横纵坐标差，最后运用两点间距离公式求解.【详解】设 ，不妨设画简图如下：根据抛物线的定义，又, 根据题意，点是直线与抛物线的交点所以即 所以，选项A正确.故选：A.7B【解析】【分析】先根据函数的图象求出函数的解析式，然后再根据函数的解析式求，最后求出的值.【详解】由图象可知，得，所以，所以，又因为在函数的图象上，所以，又因为，所以，所以，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，得，所以，.故选：B8B【解析】【分析】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为,则立冬到冬至增加,冬至到雨水减少4,冬至的晷长为,根据题意，结合等差数列的性质，列出方程组求解即得.【详解】解：
10、设相邻两个节气晷长减少或增加的量为,则立冬到冬至增加,冬至到雨水减少4,冬至的晷长为,则,解得,故选：B.9A【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切线，再根据圆心到直线的距离小于圆的半径列式可解得结果.【详解】因为，所以切线的斜率为，又时，所以切点为，所以切线的方程为，即，由圆：得，所以圆心为，半径为，因为直线与圆相交，所以，即，解得，所以实数的取值范围是：.故选：A10B【解析】【分析】由已知，5名医生分配到三所医院，每所医院至少安排1人，有“”和“”两种人数分配方法，分别计算两种分配方法的数目以及满足甲、乙两医生恰分配到相同医院的分配数目，然后加在一起，利用古典概型的公式即可完成求解.【
11、详解】由已知，5名医生分配到三所医院，每所医院至少安排1人，则人数的分配方法有“”和“”两种，分别是：，若采用“”时，共有种分堆方法，再分配到三所医院，共有种分配方法，其中甲、乙两医生恰分配到相同医院，需要将甲、乙两医生放到3人组，并从其他3位医生中再选一位凑够3人，剩下的全排，共有种分配方法；，若采用“”时，共有种分堆方法，再分配到三所医院，共有种分配方法，其中甲、乙两医生恰分配到相同医院，需要将甲、乙两医生放到2人组，分配剩下的3人，为种，然后再全排，共有种分配方法；所以，5名医生分配到三所医院，每所医院至少安排1人，则人数的分配方法共有种分配方法，甲、乙两医生恰分配到相同医院的分配方法有
12、种，所以甲、乙两医生恰分配到相同医院的概率为.故选：B.11D【解析】【分析】根据三视图可知，还原直观图，根据题意分析只需求出该几何体的外接球的体积即可得解.【详解】根据三视图可知，该几何体是由两个正四棱锥组成的组合体，这两个正四棱锥的底面都是边长为的正方形，侧棱长都为，如图：设正四棱锥的底面中心为，如图：因为，所以，同理，所以点到几何体的6个顶点的距离相等，所以点是该几何体的外接球的球心，若将该几何体完全放置在一个球内，则当该几何体内接于球时，球的体积最小，则只需求出该几何体的外接球的体积即可，因为该球的半径为，所以该球的体积为.所以满足条件的球的最小体积为.故选：D12C【解析】【分析】令
13、利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而判断，再由，即可判断，令，利用导数说明函数的单调性，即可得到，再由，即可判断；【详解】解：令，则，所以当时，即在上单调递增，当时，即在上单调递减；因为，所以，即，即，故错误；因为，所以，即，所以，即，故正确；再令，则，所以当是，即在上单调递增，所以，则，即，又，所以，即，即，所以，即，所以，即，故正确；故选：C132【解析】【分析】根据渐近线斜率求得，根据焦距求得c的值，利用a,b,c的平方关系得到关于a的方程，求得a的值.【详解】双曲线的的渐进线方程为，一条渐近线的斜率为2，即,又，,故答案为：214【解析】【分析】根据已知条件，利用向量的线性运算求得
14、，然后利用向量数量积的运算求得结论.【详解】由得，所以，,故答案为：15123【解析】【分析】由已知，根据给的，通过，计算出，得到之间的关系，然后构造等比数列，得到数列的通项公式，然后求和即可.【详解】由已知，当时，当时，得：，整理得：，即，所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，所以，所以，所以.故答案为：123.16【解析】【分析】利用面面平行性质定理找到点、点的运动轨迹，然后各自计算其区域面积，然后加在一起即可.【详解】由已知得：平面与平面的交线与平行，M轨迹为平面与平面的交线在矩形内线段所构成的图形，当点与点重合时，M轨迹为线段， 当点从点沿往点运动时，M轨迹为以为一端点,另一端点落在
15、线段上的线段，其中为棱上靠近于点的三等分点，综上，M轨迹为线段以及三角形及其内部，所以点构成区域的面积为，同理可得轨迹为平面与平面的交线在矩形内线段所构成的图形，构成区域为梯形,面积为，所以M，N构成的区域的面积之和为.故答案为：.17(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角(的正弦)，进而利用同角三角函数的关系得到，再根据，结合两角和的正切公式得到关于的方程，求得的值，同时注意根据已知条件判定角为锐角，得到角的值；（2）利用同角三角函数的关系，求得三个内角的正弦值，进而利用正弦定理求得三角形另外两边的长，利用三角形面积公式计算即得S(1)，,，即,又,解得或，又，角为钝角，角为锐
16、角，；(2)由（1）知，及已知条件,，又，.18(1)(2)当回归方程为时，2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值是万辆；当回归方程为时，2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值是万辆(3)由于相关指数越接近于，两个变量之间的关系就强，相应的拟合程度也越好，所以模型得到的预测值更可靠【解析】【分析】（1）根据表中数据和参考数据，得出，的值，运用最小二乘法求回归直线方程即可；（2）根据回归方程，代入的值即可求出预测值；（3）相关指数越接近，两变量的相关性越强，预测值越可靠(1)由表中数据得， y关于x的线性回归方程为：(2)由（1）知，y关于x的线性回归方程为：，当时，2022年我国新
17、能源乘用车的年销售量的预测值：（万辆）；对于回归方程，当时，2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值：（万辆）(3)依题意：模型和第（1）问中模型的（为相关指数）分别为0.87和0.71，由于相关指数越接近于，两个变量之间的关系就强，相应的拟合程度也越好，所以模型得到的预测值更可靠19(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）取为的中点，连接、，先证、，然后再证明，从而证明平面，找到，再根据，即可证明平面PCD.（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别表示出对应点的坐标，然后计算平面、平面的法向量，通过计算两个法向量夹角的余弦值来确定二面角的平面角的余弦值.(1)证明：设点为的中点，
18、连接、，因为是以BC为斜边的等腰直角三角形，所以，因为，所以，因为，所以,在中，可知，且,又因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，在中，所以，即，又因为，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，平面，所以平面PCD.(2)以为坐标原点，分别以，为轴，轴，轴为正方向建立空间直角坐标系，如图所示，空间直角坐标系，由题意得：，所以，设平面的一个法向量为，得，不妨设，则，同理可得平面的一个法向量为，所以.由图可知，所求的二面角平面角为钝角，所以二面角的平面角的余弦值为.20(1)(2)存在，且或【解析】【分析】（1）设点在第一象限，由已知可得，可求得点的坐标，将点的坐标代入椭圆的方程，求出、的值，即
19、可得出椭圆的方程；（2）将直线的方程与椭圆的方程联立，由可得出实数的取值范围，列出韦达定理，分析可知，再由，结合韦达定理可得出关于的方程，可求得的值，即可得出结论.(1)解：，所以，当时，此时、关于原点对称，直线的方程为，因为，则点在第一象限，则，解得，即点，将点的坐标代入椭圆方程可得，所以，因此，椭圆的方程为.(2)解：联立可得，由，可得，由韦达定理可得，在直线上是否存在点，使得，则是以为直角的等腰直角三角形，则，直线的斜率为，解得，联立可得，解得或.所以，存在点满足题意，此时或.21(1)(2)【解析】【分析】（1）利用导数求出函数的单调性和最小值，结合函数图象，由最小值小于即可解得结果；
20、（2）分类讨论，求出，得到，再构造函数求出最小值即可得解.(1)的定义域为，当时，当时，所以在上为减函数，在上为增函数，所以当时，取得最小值，为，因为当趋近于时，趋近于，当趋近于正无穷时，也趋近于正无穷，所以要使函数有2个零点，则，解得.(2)，（i）当时，恒成立，函数在区间上为增函数，所以，所以，令，则函数在区间上单调递减，所以的最小值为，即的最小值为.（ii）当时，恒成立，函数在区间上单调递减，所以，所以，令，则函数在区间上单调递增，所以的最小值为，即的最小值为.（iii）当时，由，得，由，得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，当时，此时，所以，令，则，所以函数在区间上单调
21、递增，所以函数的最小值为，所以的最小值为.当时，所以，所以，令，则，所以函数在区间上单调递减，所以，综上所述：的最小值为.【点睛】关键点点睛：（1）中，利用导数求出函数的最小值，利用最小值小于0求解是解题关键；（2）中，对分类讨论，利用导数求出，然后作差构造函数求最小值是解题关键.22(1)；.(2)【解析】【分析】（1）消去参数得到直线l的普通方程，利用互化公式得到C的极坐标方程；（2）先求得直线l的极坐标方程，利用极坐标方程求得|OA|,|OB|关于角的函数表达式，得到，进而利用三角函数的性质求得取值范围.(1)直线l的参数方程为（t为参数），、即直线l的普通方程为；将极直互化公式代入曲线C的方程为，得到，等价于，这就是曲线C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程为：，即， E：，与l交于点A，E与C交于点B，的取值范围是，的取值范围是，的取值范围是,的取值范围是.23(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由题意得，然后分，和三种情况求解即可，（2）令，利用导数可得在上为增函数，又由于，从而可的单调性可证得结论(1)由题意得，当时，解得，当时，解得，当时，解得，综上，不等式的解集为(2)证明：令，则，所以在上为增函数，因为，所以，所以答案第19页，共19页
