1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第二节 函数的单调性与最值 考纲传真 (教师用书独具 )1.理解函数的单调性、最大 (小 )值及其几何意义 .2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质 (对应学生用书第 10 页 ) 基础知识填充 1函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 在函数 y f(x)的定义域内的一个区间 A 上，如果对于任意两数 x1， x2 A 当 x1 x2时，都有 f(x1) f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 A 上是增加的 当 x1 x2时，都有 f(x1) f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 A 上是减少 的 图 像 描 述 自左向右看图
2、像是 上升的 自左向右看图像是 下降的 (2)单调区间的定义 如果函数 y f(x)在区间 A 上是 增加的 或 减少的 ，那么称 A 为单调区间 2函数的最值 前提 函数 y f(x)的定义域为 D，如果存在实数 M 满足 条件 (1)对于任意的 x D，都有 f(x) M； (2)存在 x0 D，使得 f(x0) M (3)对于任意的 x D，都有 f(x) M； (4)存在 x0 D，使得 f(x0) M 结论 M 为函数 y f(x)的最大值，记作 ymax f(x0) M 为函数 y f(x)的最小值 ，记作 ymin f(x0) 知识拓展 函数单调性的常用结论 (1)对任意 x1，
3、 x2 D(x1 x2)， f x1 f x2x1 x2 0?f(x)在 D 上是增函数，f x1 f x2x1 x2 0?f(x)在 D 上是减函数，即 x 与 y 同号增，异号减 (2)在区间 D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数 (3)函数 f(g(x)的单调性与函数 y f(u)和 u g(x)的单调性的关系是 “ 同增异减 ” (4)函数 f(g(x)的单调性与函数 y f(u)和 u g(x)的单调性的关系是 “ 同增异=【 ;精品教育资源文库 】 = 减 ” (5)f(x) x ax(a 0)的单调性，如图 221 可知， (0， a减， a， ) 增， a
4、， 0)减， ( ， a增 图 221 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)对于函数 f(x)， x D，若对任意 x1， x2 D， x1 x2且 (x1 x2) f(x1) f(x2)0，则函数 f(x)在区间 D 上是增函数 ( ) (2)函数 y 1x的单调递减区间是 ( ， 0)(0 ， ) ( ) (3)若定义在 R 上的函数 f(x)有 f( 1) f(3)，则函数 f(x)在 R 上为增函数 ( ) (4)函数 y f(x)在 1， ) 上是增函数，则函数的单调递增区间是 1， ) ( ) (5)如果一个函数在定义域内
5、的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数 ( ) (6)所有的单调函数都有最值 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2下列函数中，在区间 (0,1)上是增函数的是 ( ) A y |x| B y 3 x C y 1x D y x2 4 A y 3 x 在 R 上递减， y 1x在 (0， ) 上递减， y x2 4 在 (0， ) 上递减，故选 A. 3设定义在 1,7上的函数 y f(x)的图像如图 222 所示，则函数 y f(x)的增区间为_ 图 222 答案 1,1， 5,7 4函数 y (2k 1)x b 在 R 上是减函数，则 k 的取 值
6、范围是 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = ? ， 12 由题意知 2k 1 0，得 k12. 5 (教材改编 )已知 f(x) 2x 1， x2,6 ，则 f(x)的最大值为 _，最小值为 _ 2 25 易知函数 f(x) 2x 1在 x2,6 上为减函数，故 f(x)max f(2) 2， f(x)min f(6) 25. (对应学生用书第 11 页 ) 确定函数的单调性 (区间 ) (1)(2017 全国卷 ) 函数 f(x) ln(x2 2x 8)的单调递增区间是 ( ) A ( ， 2) B ( ， 1) C (1， ) D (4， ) (2)试讨论函数 f(x) x kx(k 0
7、)的单调性 (1)D 由 x2 2x 80，得 x4 或 x0，x 80，x x ，解得8x9. 角度 3 求参 数的取值范围 已知函数 f(x)? a x 1， x1 ，logax， x 1， 若 f(x)在 ( ， ) 上单调递增，则实数 a 的取值范围为 _ (2,3 要使函数 f(x)在 R 上单调递增， 则有? a 1，a 2 0，f ，即? a 1，a 2，a 2 10 ，解得 2 a3 ， 即实数 a 的取值范围是 (2,3 规律方法 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 比较大小 .比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决 . (2)解不等
8、式 .在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将 “ f” 符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解 .此时应特别注意函数的定义域 . (3)利用单调性求参数 .视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数 . 易错警示： 若函数在区间 a， b上单调，则该函数在此区间 的任意子区间上也是单调的； 分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值 . 跟踪训练 (1)若函数 f(x) ax2 2x 3 在区间 ( ， 4)上是单调递增的，则实数 a 的取值范围是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.? ? 14， B.
9、? ? 14， C.? ? 14， 0 D.? ? 14， 0 (2)定义在 R 上的奇函数 y f(x)在 (0， ) 上递增，且 f? ?12 0，则满足 f(log19x) 0 的 x 的集合为 _ (1)D (2)?x? 0 x 13或 1 x 3 (1)当 a 0 时， f(x) 2x 3，在定义域 R 上是单调递增的，故在 ( ， 4)上单调递增； 当 a0 时，二次函数 f(x)的对称轴为 x 1a， 因为 f(x)在 ( ， 4)上单调递增， 所以 a 0，且 1a4 ，解得 14 a 0. 综上所述，实数 a 的取值范围是 ? ? 14， 0 . (2)如图，由题意知 f? ?12 0， f? ? 12 0， 由 f(log19x) 0，得 log19x 12， 或 12 log19x 0，解得 0 x 13或 1 x 3.
