1、 近世代数课程是现代数学的基础,既是中学代数的继续发展，也是高等代数课程的继续和发展,同时它又同拓扑学、实变函数与泛函分析构成现代数学的三大基石，是进入数学王国的必由之路，是数学与应用数学专业学生必修的重要基础课。同学应当具备有初等代数，高等代数的背景，此外还有初等数论等方面的知识背景。近近 世世 代代 数数第1页，共187页。高度的抽象是近世代数的显著特点，它的基本概念：群、环、域，对初学者也是很抽象的概念，因此，在本课程的学习中，大家要多注意实例,以加深对概念的正确理解。近世代数的习题，因抽象也都有一定的难度，但习题也是巩固和加深理解不可缺少的环节，因此，应适当做一些习题，为克服做习题的困
2、难，应注意教材内容和方法以及习题课内容。第2页，共187页。主要参考书主要参考书1 1B BL L瓦德瓦尔登著：代数学瓦德瓦尔登著：代数学、卷，科卷，科学出版社学出版社，19641964年版年版2 2N N贾柯勃逊著：抽象代数贾柯勃逊著：抽象代数1 1、2 2、3 3卷，科卷，科学出版社学出版社，19871987年出版年出版3 3.，张禾瑞张禾瑞 ，高等教育出，高等教育出版，版，19781978年修订本。年修订本。4 4刘绍学著：近世代数基础，高等教育出版刘绍学著：近世代数基础，高等教育出版社社，19991999年出版年出版 第3页，共187页。5 5石生明著：近世代数初步、高等教育出版社石生
3、明著：近世代数初步、高等教育出版社，20022002年出版年出版6 6.近世代数，吴品山，人民教育出版社，近世代数，吴品山，人民教育出版社，19791979。7 7.抽象代数学，谢邦杰，上海科学技术出版社，抽象代数学，谢邦杰，上海科学技术出版社，19821982。8.抽象代数基础，刘云英，北京师范大学出抽象代数基础，刘云英，北京师范大学出版版 社，社，19901990年。年。第4页，共187页。近世代数理论的三个来源(1)代数方程的解(2)(2)Hamilton四元数的发1.(3)Kummer理想数的发现第5页，共187页。（1）代数方程的解两千多年之前古希腊时代数学家就能够利用开 方法解二次
4、方程第6页，共187页。直到1824年一位年青的挪威数学家 N.Abel(1802-1829)才证明五次和五次以上的一般代数方程没有求根公式。但是人们仍然不知道什么条件之下一个已知的多项式能借助加、减、乘、除有理运算以及开方的方法求出它的所有根,什么条件之下不能求根。最终解决这一问题的是一位法国年青数学家E.Galois(18111832)，Galois引入了扩域以及群的概念，并采用了一种全新的理论方法发现了高次代数方程可解的法则。在Galois之后群与域的理论逐渐成为现代化数学研究的重要领域，这是近世代数产生的一个最重要的来源。第7页，共187页。加罗华加罗华阿贝尔阿贝尔 被誉为天才数学家的
5、伽罗瓦（被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-18321811-1832）是近世代数的创始人之一。他深入研究了一个方）是近世代数的创始人之一。他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“伽罗瓦域伽罗瓦域”、“伽罗瓦群伽罗瓦群”和和“伽罗瓦理论伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程都是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了可解性问
6、题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅
7、速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。第8页，共187页。(2)Hamilton四元数的发现长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法，后来发现可以把复数看成二元数(a,b)=a+bi，其中i2=-1。二元数按(a,b)(c,d)=(ac,bd)，(a,b)(c,d)=(ad+bc,ac-bd)的法则进行代数运算，二元数具有直观的几何意义；与平面
8、上的点一一对应。这是数学家高斯提出的复数几何理论。二元数理论产生的一个直接问题是：是否存在三元数？经过长时间探索，力图寻求三元数的努力失败了。但是爱尔兰数学家W.Hamilton(1805-1865)于1843年成功地发现了四元数。四元数系与实数系、复数系一样可以作加减乘除四则运算，但与以前的数系相比，四元数是一个乘法不交换的数系。从这点来说四元数的发现使人们对于数系的代数性质的认识提高了一大步。四元数代数也成为抽象代数研究的一个新的起点，它是近世代数的另一个重要理论来源。第9页，共187页。（3）Kummer理想数的发现17世纪初法国数学家费马(P.Fermat 1601-1665）研究整数
9、方程时发现当n3时，方程 xn+yn=zn 没有正整数解，费马认为他能够证明这个定理，但是其后的三百多年中人们研究发现这是一个非常困难的问题，这一问题被后来的研究者称为费马问题或费马大定理，此定理直到1995年才被英国数学家A.Wiles证明。对费马问题的研究在三个半世纪内从未间断过，欧拉、高斯等著名数学家都对此作出过重要贡献。但最重大的一个进展是由E.Kummer作出的。第10页，共187页。Kummer的想法是：如果上面的方程有正整数解，假定是一个n次本原单位根，那么 xn+yn=zn 的等式两边可以作因子分解 zn=(x+y)(x+y)(x+n-1y),象整数中的因子分解一样，如果等式右
10、边的n个因子两两互素，那么每个因子都应是另外一个“复整数”的n次方幂,进行适当的变换之后有可能得到更小的整数x1,y1,z1使 xn+yn=zn 成立，从而导致矛盾。如果上面等式右边的n个因子有公因式，那么同除这个公因式再进行上面同样的讨论。第11页，共187页。KummerKummer方法的前提是形如方法的前提是形如a+b的复整数也象整数一的复整数也象整数一样具有唯一的素因子分解，其中样具有唯一的素因子分解，其中a与与b是通常整数。并是通常整数。并不是对于每个整数不是对于每个整数n,复整数复整数a+b都具有唯一分解性，都具有唯一分解性，KummerKummer把这种复整数的因子分解称为理想数
11、的分解。把这种复整数的因子分解称为理想数的分解。用这种方法用这种方法 Kummer Kummer证明了证明了n100时费马大定理成立时费马大定理成立,理想数的方法不但能用于费马问题研理想数的方法不但能用于费马问题研,实际上是代数数实际上是代数数论的重要研究内容，其后德国数学家论的重要研究内容，其后德国数学家R.Dedekind(1831-R.Dedekind(1831-1916)1916)把理想数的概念推广为一般的理想论，使它成为把理想数的概念推广为一般的理想论，使它成为近世代数的一个重要的研究领域。近世代数的一个重要的研究领域。第12页，共187页。近世代数是在近世代数是在19世纪末至世纪末
12、至20世纪初发展起来的数学分支。世纪初发展起来的数学分支。1930年荷兰数学家范德瓦尔登（年荷兰数学家范德瓦尔登（B.Lvan der Wearden 1930-1996）根据该学科领域几位创始人的演讲报告根据该学科领域几位创始人的演讲报告,综合综合了当时近世代数的研究成果了当时近世代数的研究成果,编著了近世代数学编著了近世代数学(Moderne Algebra）一书）一书,这是该学科领域第一本学术专著，这是该学科领域第一本学术专著，也是第一本近世代数的教科书。也是第一本近世代数的教科书。第13页，共187页。第14页，共187页。诺特诺特,1882年年3月月23日生于德国埃尔朗根，日生于德国
13、埃尔朗根，1900年入埃朗根大学，年入埃朗根大学，1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。1916年后，她开始由古年后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。典代数学向抽象代数学过渡。1920年，她已引入左模、右模年，她已引入左模、右模的概念。的概念。1921年写出的年写出的是交换代数发展的里程碑。是交换代数发展的里程碑。建立了交换诺特环理论，证明了准素分解定理。建立了交换诺特环理论，证明了准素分解定理。1926年发表年发表，给戴德金环一个公理刻画，指，给戴德金环一个公理刻画，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。诺
14、特的这套理论也就是诺特的这套理论也就是现代数学中的现代数学中的“环环”和和“理想理想”的系统理论，一般认为抽象代数形式的时的系统理论，一般认为抽象代数形式的时间就是间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分年，从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。诺特当之无愧数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。第15页，共187页。第一
15、章第一章 基本概念基本概念1 集 合2 映射与变换3 3 代数运算代数运算4 4 运算率运算率5 5 同态与同构同态与同构6 6 等价关系与集合的分类等价关系与集合的分类第16页，共187页。1 集 合 表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集，如表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集，如“一队一队”、“一班一班”、“一筐一筐”.组成集合的东西叫这个集合组成集合的东西叫这个集合的元素的元素.我们常用大写拉丁字母我们常用大写拉丁字母A，B，C，表示集合，用小写表示集合，用小写拉丁字母拉丁字母a，b，c，表示元素表示元素.如果如果a是集合是集合A的元素，就的元素，就说说a属于属于A，记，记作
16、作 ；如果；如果a不是集合不是集合A的元素，就说的元素，就说a不属于不属于A，记作，记作 ；AaaA 例如，设例如，设A是一切偶数所成的集合，那么是一切偶数所成的集合，那么4A，而而 .3A第17页，共187页。一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫做有限集合有限集合.如，学校的全体学生的集合；一本书里面的所有汉字的集合等等这些都是有限集合.如果一个集合是由无限多个元素组成的，就叫做无限集合无限集合.如，全体自然数的集合；全体实数的集合.不含任何元素的集合叫空集.表示为：第18页，共187页。枚举法枚举法:例如,我们把一个含有n个元素 的集合的有限集合表示成：.前五个正整数的集合就可以记
17、作 .naaa,21naaa,215,4,3,2,1拟枚举拟枚举：自然数的集合可以记作 ,拟枚举可以用来表示能够排列出来的的集合,像自然数、整数.5,4,3,2,1n描述法描述法:如果一个集A是由一切具有某一性质的元素所组成的，那么就用记号具有某一性质 x|x A来表示.第19页，共187页。表示一切大于-1且小于1的实数的所组成的集合.|11,Axxx R 常用的数集：常用的数集：全体整数的集合，表示为Z全体有理数的集合，表示为Q全体实数的集合，表示为R全体复数的集合，表示为C第20页，共187页。设A，B是两个集合，如果A 的每一元素都是B 的元素，那么就说是的子集子集，记作 ，或记作 .
18、根据这个定义，是的的子集当且仅当对于每一个元素x，如果 ，就有 .BA AB AxBxA是B的子集，记作：记作：()(:)ABx xAxB 第21页，共187页。如果集合A与B的由完全相同的元素组成部分的，就说A与B 相等，记作：A=B.即()(:)ABx xAxB 以集合A的所有子集为元素的集合，称为A的幂集幂集，记为P(A).AA=AA=2n如果集合 包含无限多个元素，则记为；如果 包含个元素，则记为，此时P(A)第22页，共187页。并运算并运算 设A，B是两个集合.由A的一切元素和B的一切元素所成的集合叫做A与B的并集并集（简称并），记作 .如图1所示.BAAB()()xABxAxB或
19、()()xABxAxB且BA第23页，共187页。交运算交运算 由集合A与B的公共元素所组成的集合叫做A与B的交集交集(简称交)，记作：，如图2所示.BABA显然，显然，ABABBA，例如，例如，A=1，2，3，4，B=2，3，4，5，则，则4,3,2BA我们有我们有()()xABxAxB且()()xABxAxB或第24页，共187页。运算性质运算性质:交换律交换律:ABBAABBA;分配律分配律:CABACBACABACBA结合律结合律:()()ABCABC)()(CBACBA;幂等率幂等率:AAAAAA;第25页，共187页。两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去，设 是给定的集合
20、.由 的一切元素所成的集合叫做 的并；由 的一切公共元素所成的集合叫做 的交.的并和交分别记为：和 .我们有nAAA,21nAAA,21nAAA,21nAAA,21nAAA,21nAAA,21nAAA21nAAA2112()(,1,2,)ixAAAxA in至少属于某一12()(,1,2,)ixAAAxA in属于每一第26页，共187页。差运算：差运算：设A，B是两个集合，令|BxAxxBA但也就是说，是由一切属于A但不属于B 的元素所组成的，称为A与B 的差.BA注意：并没有要求注意：并没有要求B是是A的子集的子集.例如，例如，QC积运算：积运算：设A，B是两个集合，令称 为A与B的笛卡儿
21、积（简称为积）.是一切元素对（a,b）所成的集合，其中第一个位置的元素a取自A，第二个位置的元素b取自B.可以定义多个集合的笛卡儿积,|),(BbAabaBABA第27页，共187页。2 映射与变换定义定义1 设设A，B 是两个非空的集合，是两个非空的集合，A到到B 的一个映射指的一个映射指的是一个对应法则，通过这个法则，的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合对于集合A中的每一中的每一个元素个元素 x，有集合，有集合B中一个中一个惟惟一确定的元素一确定的元素 y 与它对应与它对应.用字母用字母f，g，表示映射表示映射.用记号用记号 表示表示f 是是A到到B的一个映射的一个映射.BAf:如果通
22、过映射如果通过映射f，与，与A中元素中元素x对应的对应的B中元素是中元素是y，那，那么就写作么就写作 yxf:这时这时y 叫做叫做 x 在在f 之下的象，记作之下的象，记作 .)(xf第28页，共187页。例例1 设 这是A到B的一个映射.4,3,2,1 BA14,43,32,21:f例例2 设A是一切非负数的集合，B是一切实数的集合.对于每一 ，令 与它对应.f 不是A到B的映射，因为当 时，不能由x唯一确定.Axxxf)(0 x)(xf第29页，共187页。定义定义2 2 设f 是A到B的一个映射，如果Imf=B，那么说称f 是A到B上上的一个映射，这里也称f 是一个满射。设 是一个映射.
23、对于 ，x的像 .一切这样的象作成B的一个子集，用 表示：，叫做A在f之下的象，或者叫做映射f的象.BAf:AxBxf)()(Af()()|f Af xxA11()B()AfBffB表示 中所有元素在 之下全体逆象作成的集合，且第30页，共187页。定义定义3 设 是一个映射，如果对于A中任意两个元素 和 ，只要 ，就有 ，那么就称f 是A到B的一个单射单射.或A到B的一一映射BAf:1x2x21xx)()(21xfxf 如果既是满射，又是单射，即如果 f 满足下面两个条件，BAf)(就称f是A到B的一个双射双射.或或A到到B上的一一映射上的一一映射1212()()f xf xxxx A ，第
24、31页，共187页。XYXYXYYX ：设 是集合 到 的一个映射，则 是 到 的一个双射为“双边单值”，即 对 中每个 元素在 中只有一个象定理，且对 中没个元素在中有且只有一个逆象11221212YX,(),().x,Xxyxyyyx12证：“”对 中每个元素在 中都有一个逆象，故 满；又设x,x且如果，则由逆象惟一，故即 单，从而 双。“”显然第32页，共187页。X YX=Y对两个有限集合 和 来说，它们之间能够建立双射的充要条件是，即二者包含的元素个数相等。XY2X=YXY：设 与 是两个有限集合且，则 到的映射 是满射当且仅当 是单射。（有限等势，单即满、满即单、定理从而双）第33
25、页，共187页。12n12nX=Y=nX=x,x,x,Y=y,y,y(1,2,;1)XYiikixyinkn证：“”设，且又：是 到 的一个映射1212x,kkxy若 满，则由必有y1223=(),n 1()Y nkkkkkyXyyyX因为若y，则最多只有个元素，从而（矛盾），因此 单。X()()=XnYXY“”设 单，则由于 中不同元素的象也不同，故从而，即 满第34页，共187页。例例3令令 那么那么 .|,:xxRRf2,:xxRRggf 设 ，都是A到B的映射，如果对于每一 ，都有 ，那么就说映射f与g是相等的.记作BAf:BAg:()()f xg xgf xA第35页，共187页。定
26、义定义4：设 是A到B 的一个映射，是B 到C 的一个映射.那么对于每一个 ，是C中的一个元素.因此，对于每一 ，就有C 中唯一的确定的元素 与它对应，这样就得到A到C 的一个映射，这映射是由 和 所决定的，称为 f 与g 的合成（乘积），记作 .于是有 BAf:CBg:)(xfgAx)(xfgBAf:CBg:fg:;()()()gfACgfxg f xAx对于一切 ,f 与g 的合成可以用下面的图示意：fg fgABCAx（交换图）（交换图）第36页，共187页。例例4 4 设设2;:xxRRf:;sing RR xx2sin;:xxRRfg那么那么 例例5 5 设设 A=1，2，3 13,
27、32,21;:AAf23,12,31;:AAg那么那么 33,22,11;:AAfg第37页，共187页。映射 ，有 .但是，一般情况下 .设A是非空集合 称为设A上的 恒等映射。BAf:CBg:DCh:fghfgh)()(fggf:AIAA,xx 设A，B是两个非空集合，用 和 表示A和B的恒等映射.设 是A到 B 的一个映射.显然有：，.AIBIBAf:AfIfBIff第38页，共187页。例例6：f 是集合A到B的一个双射的充要条件是存在B到A的一个映射g，使得 ，且映射g是由f 唯一确定的,称为f 的逆映射,表示为AgfIBfgI1f证证:(必要性)因为f 是满射，所以对于B中每一个y
28、，有 ，使得 Axyxf)(又因为f 是单射，所以这个x 是由y唯一确定的：即如果还有 使得 ，那么 .Ax()f xy xx则g是B 到A 的一个映射.xyg:yxf)(我们规定第39页，共187页。任意 而 .我们有Axyxf)()()()()gfxg f xg yx任 ，而 .那么 故#yBxyg)()()()()fgyf g yf xyBfgIAgfI所以（充分性（充分性)任意 ,令 .由于 ，所以ByAxyg)(BfgI()()I()Bf xf g yyy即f是满射.第40页，共187页。设 而 Axx21,)()(21xfxf由于 ，所以AgfI111222()()()()AAxI
29、xgf xgf xIxx这说证明了f 是单射.因此，f 是A到B 的双射.最后，令 和 都具有性质:ABg:ABh:Agfh fIBfgfhI，第41页，共187页。有()()BAggIgfhgfhIhh所以 g 是由 f 唯一确定的.#1AffI1IBff，设f 是A到B 的一个映射，我们把满足例6条件的映射 叫做 f 的逆映射逆映射.一个映射不一定有逆映射，然而如果映射 有逆映射的话，逆映射是由 f 唯一确定的，以后把 f 的逆映射记作 .有 ABg:BAf:1f 因此，因此，也是一个双射，并且也是一个双射，并且f 就是就是 的逆映射，即的逆映射，即 .ABf:1ff11)(1f第42页，
30、共187页。例例7:设A是一切非负实数所成的集合；10|xRxBBAf:xxxf1)(f 是A到B 的一个映射，因为当 时，并且是由x 唯一确定的.证明，f 是一个双射.0 x110 xx证：证：任意 .取 Byyyx1因为 ，所以 ，且 ，所以 .且有 10 x01 y0 xAxyyyyyxxxf1111)(（f满）满）第43页，共187页。设 而 .那么 Axx21,)()(21xfxf221111xxxx由此 ，所以f 是单射.12=xxA于是由例6，f 有逆映射.易验证，1;1xfBA xx：一般地，设一般地，设A是一个非空的是一个非空的集合，把集合，把AA到到A的一个映的一个映射叫做
31、集合射叫做集合A的一个代数运的一个代数运算算.第44页，共187页。定义定义5：集合X到自身的映射，叫做集合X的一个变换变换。单射变换、满射变换、双射变换、恒等变换单射变换、满射变换、双射变换、恒等变换X=0,1,2,3,0,0,1()1,xxxelse例如：，构造 如下：X则 是的满射变换.(非单射变换）第45页，共187页。nn3：含 个元素的任意集合共有!个双射变换。（等价于全排定理列的个数）12=(1)(2)()nnn对有限集合的双射变换，常用以下特殊符号表示：并称其为一个 次置换。第46页，共187页。3M=1,2,33=63n 例如：当时，集合共有！个次置换，分别是：11 23=1
32、 2341 23=23 151 23=3 1 221 23=1 3231 23=2 1 361 23=32 1第47页，共187页。3.代数运算代数运算MMbM1dM：是一个集合，若有一个法则，它对 中任意两个有次序的元素a和，在 中都有一个惟一确定的元素与它们对应，则定义称这个法则是集合 的一个代数运算。注注(1)(1)为什么叫运算？不妨设为什么叫运算？不妨设是映射，若是映射，若，我们可以说，我们可以说a和和b在在的法则下运算得到的法则下运算得到d(2)(2)一个代数运算可以用一个代数运算可以用 表示，并将表示，并将(a,b)在在像记作像记作下的下的第48页，共187页。一般映射的描述:fA
33、BD(,)f a bd作为运算的记号:a bdabd,.abd简记:第49页，共187页。例例A所有正整数，下列运算是不是A的代数运算?aa bb10a ba b 22a bab(1)a ba b?A=Z?A=Q?A=R第50页，共187页。AP A)2(：并与交是否为非空集合 的幂集的代例数运算？n3例：矩阵的乘法是否为全体 阶非奇异方阵的代数运算？例例4：Aa,b,c规定A的两个不同的代 数运算第51页，共187页。T(M)表示非空集合M的全体变换作成的集合。S(M)表示非空集合M的全体双射变换作成的集合。显然变换的合成（乘法）是显然变换的合成（乘法）是T(M)和和S(M)的一个代数运算。
34、的一个代数运算。第52页，共187页。123456342M=1,2,3,S(M)=,1 2 31 2 31 2 3=2 1 32 3 11 3 2 例如：设则而 对有限集合的代数运算，常直观地列成一个表（乘法表）（乘法表）第53页，共187页。1211112122122212nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa12,(,1,2,)Mnijija aaaaaM i jn设M=,而是 的一个代数运算，则？S(M)的的乘法表乘法表第54页，共187页。一、结合率4运算律运算律1.,A a b2a3ba bc.ab c.AR引例例规定 上的代数运算如下：请计算：（），（）a bcab c结论
35、：代数运算并不保证（）（）第55页，共187页。12312312n12nA3aaaaaaAnaaaaaa结合律的作用在 里任意取出 个元啊，一般没有意义。如果结合律成立呢？一般情况，在 里任意取出 个元，假如我们写下符号这个符号当然也没有意义。但是AA abca bcab cabc我们说，一个集合 的代数运算适合结合律，假如对于的任何三个元，来说，都定义有（）（）（注意：，不一定是不相同的元。）第56页，共187页。假如用一个加括号的步骤，当然也会得到一个结果加括号的步骤自然不止一种，但因为是一个有限整数，这种步骤的个数总是一个有限整数假定它是，我们把由这个步骤所得的结果用 ,来表示。这样得来
36、的N个 ,当然未必相等,但是它们也可能都相等。我们规定:12()Nnaaa112()naaa212()na aa）（naaa21第57页，共187页。假如对于 的 个固定的元 来说,所有的 都相等,我们就唯一的结果,用 来表示.问题:什么条件下,所有的 都相等?12(.)naaaA(2)n n12,.na aa12(.)naaa12.naaaA(2)n n 12,.na aa12()naaa12.naaaA定理定理:假如一个集合假如一个集合 的代数运算适合结合律的代数运算适合结合律,那么对于那么对于 的任意的任意 个元个元 来说来说,所有的所有的 都相等；因此符号都相等；因此符号 也就总有意义
37、也就总有意义第58页，共187页。证明证明对n用数学归纳法(第二型)(I)n=2,3，定理是对的 (II)假定个数 ，定理是对的在这个假定之下，如果我们能够证明:对于一个任意的 来说 (一个固定的结果)定理也就证明了.这一个 是经过一种加括号的步骤所得来的结果,这个步骤的最后一步总是对两个元进行运算:这里,是前面的若干个,假定是 个元,，经过一个加括号的步骤所得的结果,是其余的 个元 ，经过一个加括号的步骤所得的结果。因为1b1n）（n21aaana123(aaana(12aa)）（n21aaa21n21bbaaa）（i1b2bnin2i1ia a a，第59页，共187页。和 都 ,由归纳法
38、的假定,情况情况1 假定 ,那么上式就是要证明的情况情况2 假定 ，那么 即（）式仍然成立证完。结合律成立，保证了可以应用 个符号。结合律的重要也就在此,211iaaabini1nniiaaab212)()(212121niiinaaaaaaaaa1i)()()()()()(3212121212121nniiiniiinaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1i naaa21第60页，共187页。二、交换率2.ARA a b2a3b a b.b a.引例例，规定 上的代数运算如下：请计算：a bb a结论：代数运算并不保证第61页，共187页。12nAaaa定理：假如一个集合 的代数运算，同时
39、适合结合律与交换律，那么在里元的次序可以任意排列。证明：我们用归纳法（略）。在以后的运算中，总是要求结合律成立，一般不要求交换律成立。AAaba bb a定义：我们说，集合 的一个代数运算适合交换律，假如对于 的任何两个元，来说都有定义与定理第62页，共187页。AAA引言现在要讨论同两种代数运算发生关系的一种规律，就是分配律。我们看集合 的两种代数运算 和对于任意集合 中任意的，来说，（）和（）（）都有意义，都是 的元，但这两个元未必相等。三、三、分配率分配率第63页，共187页。A()()A左分配定义：我们说，代数运算 对适合左分配律，假如对于 的任何，来说，都有（）例：假如 是全体实数的
40、集合，和就是普通的乘法和加法，那么上式就变成（）（）律（）第64页，共187页。n1n1n1A：假如适合结合律，而且 对适合左分配律，那么对于 的任何，来说，（）（）（理定）12i1n1n-1n1n-1n1n-1n1nn12n 1nabbabbbabba ba ba ba ba ba b证明：归纳法。当，的时候，定理是对的。假定，当，的个数只有个的时候，定理是对的，现在我们看有 个时的情形。这时（）（）（）（）（）（）（）（）（）证完第65页，共187页。n1n1nAA2A右分配律定义：集合 的代数运算 对适合右分配律，假如对于 的任何，来说，都有：（）（）（）定理假如适合结合律，而且 对适合
41、右分配律，那么对于 的任何，来说，有：（）（）（）第66页，共187页。5 同态与同构 如何比较两个代数系统如何比较两个代数系统?回忆两个三角形全等的定义回忆两个三角形全等的定义:经过运动经过运动,顶点可以重合顶点可以重合.这里涉这里涉及两个步骤及两个步骤:第一第一,点间有一个对应点间有一个对应(映射映射);第二第二,对应后可以重合对应后可以重合.NoImage 我们比较两个代数系统我们比较两个代数系统 和和 .第一第一,我们需要一个映射我们需要一个映射 ;第二第二,这个映射还能够使这个映射还能够使“运算重合运算重合”或曰：保持运算或曰：保持运算.具具体的说体的说,假如假如 和和 是是 的两个
42、元的两个元,那么那么 和和 都有意都有意义义,都是的元都是的元.保持运算即下面等式成立保持运算即下面等式成立:AA:AAabA()a b()()ab()()()a bab第67页，共187页。a ba b 上面的等式即:xx 换一种表示，假定在 之下的像，第68页，共187页。NoImage 所有整数,的代数运算是普通加法.,的代数运算是普通乘法.AA1,1A A 定义定义1 一个 到 的映射 称为对于代数运算 和 的同态映射同态映射,假如,都有:AA,a bA()()()a bab 定义与例子定义与例子第69页，共187页。例例1 证明证明 (是 的任一元)是一个到的同态映射.证明证明 1:
43、1aaA 例例2 :,若是偶数若是偶数 ,若是奇数若是奇数 证明证明:是一个是一个 到到 的满射的同态映射的满射的同态映射.21a 1a 2AA 证明证明:显然显然,是是 到到 的满射的满射.对于对于 的任意两的任意两个整数个整数 和和 来说来说,分三种情况分三种情况:2AAAab(1)若 ,都是偶数,那么 也是偶数 ,所以,abab2()1a2()1b2()1ab222()()()abab(2)若 ,都是奇数ab(3)若 和 奇偶性相反,.ab第70页，共187页。例例3 :(是 的任一元)固然是一个 到 的映射,但不是同态映射.因为,对于任意 的 和 来说,21a aaAAAAb1,1ab
44、 1(1)(1)ab 第71页，共187页。性质1 （1）反身性:（2）传递性:注:对称性不成立AA 定义定义 和 是两个代数系统,如果存在存在一个 到 的同态满射同态满射 ,就称 和 同态.记号:AAAAAAAAf第72页，共187页。定理定理1 假定,对于代数运算 和 来说,到 同态.那么,（1）若 适合结合律,也适合结合律；（2）若 适合交换律,也适合交换律.AA第73页，共187页。()()()()()()()abcfabcfabcfabcfafbcabc 于是 证明证明 我们用 来表示 到 的同态满射.（1）假定 是 的任意三个元.由于 是同态满射,我们在 里至少找得出三个元 ,来,
45、使得在 之下,f,a b cAAAAff,aa bb ccabc(2)证明类似.注:这种通过同态映射过渡的方法在证明具有一般性这种通过同态映射过渡的方法在证明具有一般性第74页，共187页。定理定理2 假定,都是集合 的代数运算,都是集合 的代数运算,并且存在一个 到 的满射 ,使得 与 对于代数运算 来说同态,对于代数运算 来说也同态.那么(1)若 适合第一分配律,也适合第一分配律.(2)若 适合第二分配律,也适合第二分配律.,AAAAAA,证明证明 注:,由 的性质可以推出 具有同样的性质;反过来不成立.AAAA第75页，共187页。定义定义（同构映射）定义定义 和 是两个代数系统,如果存
46、在存在一个 到 的同构映射同构映射 ,就称 和 同构同构.AAAAfAA 记号:AA自同态、自同构的概念可以自然的给出第76页，共187页。同构的代数系统意味什么同构的代数系统意味什么0A，1，23A，4，5例例 ,0120 1 2 1 2 02 0 13 4 53453 4 54 5 35 3 40 1 2 与 的代数运算 与 的表AA请比较两个运算表异同之处?第77页，共187页。在A的运算表,进行变换:03,14,25 变成了什么?它们可以统一成为一个运算表.第78页，共187页。A AAA：设，上的代数运算定义如下：，则 的个双射变换中，哪些是 的例自同构映射？11 23=1 2341
47、 23=23 151 23=3 1 221 23=1 3231 23=2 1 361 23=32 1第79页，共187页。AAAA：是有理数集，是普通加法，是整数集，是普通例加法，问（，）与（，）是否同构？AA证：若 与 之间有同构映射设为，A()1a，故 ,a,()22aAnAn对 于=()()()()22222aaaaan故：112nA（矛盾）（矛盾）第80页，共187页。小结小结 现在我们看两个任意的，对于代数运算 和 来说是同构的集合 和 我们可以假定，并且在 与 间的同构映射 之下，由于同构映射的性质，我们知道，AA,.,cbaA,.,cbaA AAaabbccxyzxyz抽象地来看
48、，与 这两个代数系统，没有任何区别（只有命名上的不同而已）.AA第81页，共187页。6 等价关系与集合的分类等价关系与集合的分类 RM1MRM：为集合 的元素间的一个关系是到对，错定义的一个映射,(,),(,),a bMR a ba bRaRbR a ba bRaRb对符合关系错不符合关系:1,2,3,2,3RM1MaRbabaR bab规定问 是否为例的关系？第82页，共187页。+:Z,1,R2MbdbdMRacac规定问是否为的关系？例(例4）MRMR2：集合 的一个关系 叫做 的一个系，如定义等价关果满足：1R2,a aaMaRbbRaa bMaRbbRcaRca b cM（），（）
49、，(3)，,a bab记为即等价记为第83页，共187页。Z3Z：上的“等于”关系是等价关系例，而，1时，这个群也不是交换群。第99页，共187页。G 1,1,:111()()1()1x,1,1i j kijkGijkijkx yxyxyijkjxxjjkiyi j kkkjiG ：中定义乘法其中构成一8阶非交换群.（四例元数群）第100页，共187页。推论推论1群群中中消去律成立 若 ，那么 ；若 ，那么 axaxxxyayayySS：设 是一个非空集合，若它有一个代数运算满足结合律，则称 是一定义个半群。SS如果半群 含有单位元（既是左单位又是右单位），则称 为幺半群。第101页，共187
50、页。SSSSS是一个非空集合，对 中任意元素a,b,规定：ab=b则 作成一个半群，且中每个元素都是左单位元。但是当 时，没有例8：右单位。GG：作成群的充要条定理件是，在 中两个消去有限半群率成立。第102页，共187页。12G=,G=,nna aa证：必要性显然；充分性:设且12,G,nabGGaa aaaaG，半群 满足消去率，则G(1),Gjaabjnaxb于是在 中必有某即方程在 中有解Gyab同理可证方程在中有解。#第103页，共187页。GG-aa ：如果一个的代数运算用加号+表示时，我们常称其为一个。是单位元改用0表示，并称 的零元；元素a的逆元用 表示，并交换称定义群为加群的
