1、2.4.2圆的一般方程本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修第一册第二章直线和圆的方程，本节课主要学习圆的一般方程。本节内容是在学生学习了圆的标准方程基础上，进一步研究圆的一般方程，发现圆的方程特点，即为特殊的二元二次方程。明确圆的一般方程的特点，掌握圆的方程的算法及与圆有关的轨迹问题。在这一过程中，进一步体会数形结合的思想和方程思想，形成用代数的方法解决几何问题的能力。同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础。也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位。坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其
2、他领域的重要数学方法。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一。课程目标学科素养A.理解圆的一般方程及其特点.B.掌握圆的一般方程和标准方程的互化.C.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题1.数学抽象：二元二次方程与圆的一般方程 2.逻辑推理：圆的一般方程与标准方程的互化3.数学运算：求圆的一般方程4.数学建模：圆的一般方程的特点 重点：掌握圆的一般方程并会求圆的一般方程难点：与圆有关的简单的轨迹方程问题 多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、 情境导学前面我们已讨论了圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,现将其展开可得：x2+y2-2ax-2b
3、x+a2+b2-r2=0.可见,任何一个圆的方程都可以变形x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式. 请大家思考一下,形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线是不是圆?下面我们来探讨这一方面的问题.二、 探究新知例如,对于方程x2+y2-2x-4y+6=0,对其进行配方，得(x-1)2+(y-2)2=-1,因为任意一点的坐标 (x,y)都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形，所以形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定能通过恒等变换为圆的标准方程，这表明形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定是圆的方程.一、圆的一般方程（1）当D2+E2-4F0时,方程x2+y2+Dx
4、+Ey+F=0表示以(-D2,-E2)为圆心,12D2+E2-4F为半径的圆,将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，配方可得(x+D2)2+(y+E2)2=D2+E2-4F4（2）当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，表示一个点(-D2,-E2)（3）当D2+E2-4F0);(3)圆心在x轴上的圆的方程,x2+y2+Dx+F=0(D2-4F0);(4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D0);(5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E0).1.圆x2+y2-6x=0的圆心坐标是.答案:(3,0)2. 若方程x2+y2+Dx+Ey+
5、F=0表示以(2,-4)为圆心,以4为半径的圆,则F=.答案:43.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆需要满足哪些条件?答案:(1)A=C,且均不为0; (2)B=0;(3)D2+E2-4AF0.三、 典例解析例1 判断方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆.若能表示圆,求出圆心和半径.思路分析:可直接利用D2+E2-4F0是否成立来判断,也可把左端配方,看右端是否为大于零的常数.解:(方法1)由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0可知D=-4m,E=2m,F=20m-20,D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2
6、)2.因此,当m=2时,它表示一个点;当m2时,原方程表示圆,此时,圆的圆心为(2m,-m),半径为r=12D2+E2-4F=5|m-2|.(方法2)原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,因此,当m=2时,它表示一个点;当m2时,原方程表示圆,此时,圆的圆心为(2m,-m), 半径为r=5|m-2|. 二元二次方程表示圆的判断方法 任何一个圆的方程都可化为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法:(1)计算D2+E2-4F,若其值为正,则表示圆;若其值为0,则表示一个点;若其值为负,则不
7、表示任何图形.(2)将该方程配方为(x+D2)2+(y+E2)2=D2+E2-4F4,根据圆的标准方程来判断.跟踪训练1若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:(1)实数m的取值范围;(2)圆心坐标和半径.解:(1)据题意知D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)0,即4m2+4-4m2-20m0,解得m0),把三点坐标A(2,2),B(5,3),C(3,-1)代入得方程组22+22+2D+2E+F=0,52+32+5D+3E+F=0,32+(-1)2+3D-E+F=0,解得D=-8,E=-2,F=12.所以这个圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0. 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。本节课在学生学习了圆的标准方程的基础上，探究圆的一般方程及其特点。教学中，注重问题导向，给学生充分的探究时间和空间，培养学生的探究能力，落实提升学生能力，注重提升学生逻辑推理、数学抽样、数学运算等数学核心素养。
