1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第十二节 导数与函数的极值、最值 考纲传真 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 .2.会用导数求函数的极大值、极小值 (其中多项式函数不超过三次 ).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值 (其中多项式函数不超过三次 ) (对应学生用书第 34 页 ) 基础知识填充 1函数的极值与导数 (1)极值点与极值 设函数 f(x)在点 x0及附近有定义，且在 x0两侧的单调性相反或导数值 异号 ，则 x0为函数 f(x)的极值点， f(x0)为函数的极值 (2)极大值点与极小值点 若先增后减 (导数值先正后负 )，则 x0为 极大值 点； 若先减后增 (导数
2、值先负后正 )，则 x0为 极小值 点 (3)求可导函数极值的步骤： 求 f( x)； 求方程 f( x) 0 的根； 检查 f( x)在方程 f( x) 0 的根的左右两侧的符号如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得 极大值 ；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得 极小值 2函数的最值与导数的关系 (1)函数 f(x)在 a， b上有最值的条件 如果在区间 a， b上函数 y f(x)的图像是一条 连续不断 的曲线，那么它必有最大值和最小值 (2)求 y f(x)在 a， b上的最大 (小 )值的步骤 求函数 y f(x)在 (a， b)内的 极值 ； 将函数 y f(x)的各极值
3、与 端点处的函数值 f(a)， f(b)比较，其中 最大 的一个是最大值， 最小 的一个是最小值 知识拓展 1对于可导函数 f( x)， f( x) 0 是函数 f(x)在 x x0处有极值的必要不充分条件 2求函数在无穷区间 (或开区间 )上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结 论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)函数的极大值一定比极小值大 ( ) (2)对可导函数 f(x)， f( x0) 0 是 x0为极值点
4、的充要条件 ( ) (3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值 ( ) (4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )函数 f(x)的定义域为开区间 (a， b)，导函数 f( x)在 (a， b)内的图像如图2121 所示，则函数 f(x)在开区间 (a， b)内极小值点的个数为 ( ) 图 2121 A 1 B 2 C 3 D 4 A 导函数 f( x)的图像与 x 轴的交点中，左侧图像在 x 轴下方，右侧图像在 x 轴上方的只有一个，所以 f(x)在区间 (a， b)内有一个极小值点 3已知某生产
5、厂家的年利润 y(单位：万元 )与年产量 x(单位：万件 )的函数关系式为 y13x3 81x 234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( ) A 13 万件 B 11 万件 C 9 万件 D 7 万件 C y x2 81，令 y 0 得 x 9 或 x 9(舍去 ) 当 x (0,9)时， y 0，当 x (9， ) 时， y 0， 则当 x 9 时， y 有最大值 即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 9 万件 4 (2016 四川高考 )已知 a 为函数 f(x) x3 12x 的极小值点，则 a ( ) A 4 B 2 C 4 D 2 D 由题意得 f( x) 3x2 12，
6、令 f( x) 0得 x 2 ， 当 x2时， f( x)0；当 2x2 时， f( x)0， f(x)在 ( ， 2)上是增加的，在 ( 2,2)上为减函数，在 (2， ) 上是增加的 f(x)在 x 2 处取得极小值， a 2. 5函数 y 2x3 2x2在区间 1,2上的最大值是 _. 【导学号： 00090069】 8 y 6x2 4x，令 y 0， =【 ;精品教育资源文库 】 = 得 x 0 或 x 23. f( 1) 4， f(0) 0， f? ?23 827， f(2) 8， 最大值为 8. (对应学生用书第 35 页 ) 利 用导数研究函数的极值问题 角度 1 根据函数图像判
7、断极值 设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f( x)，且函数 y (1 x)f( x)的图像如图 2122 所示，则下列结论中一定成立的是 ( ) 图 2122 A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B函数 f(x)有极大值 f( 2)和极小值 f(1) C函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f( 2) D函数 f(x)有极大值 f( 2)和极小值 f(2) D 由题图可知，当 x 2 时， f( x) 0；当 2 x 1 时， f( x) 0；当 1 x 2时， f( x) 0；当 x 2 时， f( x) 0.由此可以得到函数 f(x)在 x 2 处取得极大
8、值，在 x 2 处取得极小值 角度 2 求函数的极值 求函数 f(x) x aln x(a R)的极值 【导学号： 00090070】 解 由 f( x) 1 ax x ax ， x 0 知： (1)当 a0 时， f( x) 0，函数 f(x)为 (0， ) 上的增函数，函数 f(x)无极值； 5 分 (2)当 a 0 时，由 f( x) 0，解得 x A 又当 x (0， a)时， f( x) 0；当 x (a， ) 时， f( x) 0， 9 分 从而函数 f(x)在 x a 处取得极小值，且极小值为 f(a) a aln a，无极大值 综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值；当 a
9、0 时，函数 f(x)在 x a 处取得极小值 a aln a，无极大值 . 12 分 =【 ;精品教育资源文库 】 = 角度 3 已知极值求参数 (1)(2018 青岛模拟 )若函数 f(x) x(x c)2在 x 2 处有极大值，则常数 c 的值为 ( ) A 2 B 6 C 2 或 6 D 2 或 6 (2)(2018 广州一模 )若函 数 f(x) x(x a)2在 x 2 处取得极小值，则 a _. (1)B (2)2 (1) 函数 f(x) x(x c)2 x3 2cx2 c2x，它的导数为 f( x) 3x2 4cx c2， 由题意知，在 x 2 处的导数值为 12 8c c2
10、0， c 6，或 c 2， 又函数 f(x) x(x c)2在 x 2 处有极大值，故导数值在 x 2 处左侧为正数，右侧为负数当 c 2 时， f( x) 3x2 8x 4 3? ?x 23 (x 2)，不满足导数值在 x 2 处左侧为正数，右侧为负数当 c 6 时， f( x) 3x2 24x 36 3(x2 8x 12) 3(x 2)(x 6)，满足导数值在 x 2 处左侧为正数，右侧为负数，故 c 6.故选 B (2)求导函数可得 f( x) 3x2 4ax a2， f(2) 12 8a a2 0，解得 a 2，或 a 6， 当 a 2 时， f( x) 3x2 8x 4 (x 2)(
11、3x 2)，函数在 x 2 处取得极小值，符合题意；当 a 6 时， f( x) 3x2 24x 36 3(x 2)(x 6)，函数在 x 2 处取得极大值，不符合题意， a 2. 规律方法 利用导数研究函数极值的一般流程 利用导数解决函数的最值问题 (2017 郑州模拟 )已知函数 f(x) (x k)ex. (1)求 f(x)的单调区间； (2)求 f(x)在区间 0,1上的最小值 解 (1)由 f(x) (x k)ex，得 f( x) (x k 1)ex， 令 f( x) 0，得 x k 1. 2 分 f(x)与 f( x)的变化情况如下： =【 ;精品教育资源文库 】 = x ( ，
12、k 1) k 1 (k 1， ) f( x) 0 f(x) 单调递减 ek 1 单调递增 所以， f(x)的单调递减区间是 ( ， k 1)；单调递增区间是 (k 1， ).5 分 (2)当 k 10 ，即 k1 时，函数 f(x)在 0,1上是增加的， 所以 f(x)在区间 0,1上的最小值为 f(0) k， 7 分 当 0 k 1 1，即 1 k 2 时， 由 (1)知 f(x)在 0， k 1)上是减少的，在 (k 1,1上是增加的， 所以 f(x)在区间 0,1上的最小值为 f(k 1) ek 1. 当 k 11 ，即 k2 时，函数 f(x)在 0,1上 是减少的， 所以 f(x)在
13、区间 0,1上的最小值为 f(1) (1 k)e. 10 分 综上可知，当 k1 时， f(x)min k； 当 1 k 2 时， f(x)min ek 1； 当 k2 时， f(x)min (1 k)e. 12 分 规律方法 求函数 f(x)在 a， b上的最大值、最小值的步骤： (1)求函数在 (a， b)内的极值； (2)求函数在区间端点的函数值 f(a)， f(b)； (3)将函数 f(x)的极值与 f(a)， f(b)比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值 变式训练 1 (2018 南昌模拟 )函数 y xe x， x 0,4的最小值为 ( ) A 0 B 1e C 4e4 D 2
14、e2 A f( x) 1 xex ，当 x 0,1)时， f( x) 0， f(x)单调递增，当 x (1,4时， f( x) 0， f(x)单调递减， f(0) 0， f(4) 4e4 0， 当 x 0 时， f(x)有最小值，且 f(0) 0. 利用导数研究生活中的优化问题 某商场销售某种商品的 经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克 )与销售价格x(单位：元 /千克 )满足关系式 y ax 3 10(x 6)2，其中 3x6， a 为常数已知销售价格为 5 元 /千克时，每日可售出该商品 11 千克 (1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元 /千克，试确定销售价格 x
15、的值，使商场每日销售该商品所获得=【 ;精品教育资源文库 】 = 的利润最大 【导学号： 00090071】 解 (1)因为 x 5 时， y 11，所以 a2 10 11， a 2. 5 分 (2)由 (1)可知，该商品每日的销售量为 y 2x 3 10(x 6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f(x) (x 3)? ?2x 3 x 2 2 10(x 3)(x 6)2,3x6. 7 分 从而， f( x) 10(x 6)2 2(x 3)(x 6) 30(x 4)(x 6)， 于是，当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表： x (3,4) 4 (4,6) f( x) 0 f(x) 是增加的 极 大值 42 是减少的 由上表可得， x 4 时，函数 f(x)取得极大值，也是最大值， 9 分 所以，当 x 4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等
