1、【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题14 数学归纳法（50题竞赛真题强化训练）一、解答题1（2021全国高三竞赛）已知.证明：当时，.2（2019全国高三竞赛）设.证明：.3（2021全国高三竞赛）数列满足：，求的通项公式4（2019全国高三竞赛）若为某一整系数多项式的根，则称为“代数数”.否则，称为“超越数”，证明：（1）可数个可数集的并为可数集；（2）存在超越数.5（2019全国高三竞赛）设数列满足，试求6（2019全国高三竞赛）已知数列满足， .证明：7（2019全国高三竞赛）已知实数数列满足,.其中,表示不超过实数的最大整数.求.8（2019全国高三竞赛）给定正整数，非负整数满足对均有，
2、其中，表示中大于0的数的个数（规定）.试求的最大值.9（2019全国高三竞赛）设为给定的正整数.求所有正整数，使得存在，且恰有个不同的质因子.10（2019全国高三竞赛）设，已知个正实数，使对任意、，有，证明：11（2019全国高三竞赛）已知各项均不小于1的数列满足：，试求：（1）数列的通项公式；（2）的值.12（2019全国高三竞赛）数列定义如下：对任何正整数，. 证明：存在无数个的取值，使对一切正整数，有.13（2019全国高三竞赛），给定，.证明：对任意、，.其中，表示与的最大公约数.14（2021全国高三竞赛）求所有的函数，满足，且对于所有整数，有.15（2019全国高三竞赛）求证：数
3、列的每一项都是整数，但都不是3的倍数.16（2019全国高三竞赛）设数列满足,.证明:对任意的, .17（2018四川高三竞赛）已知数列满足：，若对任意正整数，都有，求实数的最大值.18（2018全国高三竞赛）一束直线的每条均过xOy平面内的抛物线的焦点，与抛物线C交于点、.若的斜率为1，的斜率为，求的解析式.19（2018广西高三竞赛）设为非负数，求证：.20（2018全国高三竞赛）设为正整数数列，且对任意满足；的正整数m、n，存在正整数，使得试对每一个固定的，求的最大值21（2021全国高三竞赛）给定正整数m、k，有n个选手参加一次测试，该测试由m个项目构成，每个项目完成后都会取得一个评分
4、，没有两个人在一个项目取得相同的评分求n的最小值，使得总存在k个选手，在第j个项目中的k个得分要么单调递增，要么单调递减，22（2021全国高三竞赛）已知数列满足（1）求证：（2）是否存在实数，使得，若存在求出的值；若不存在请说明理由23（2021全国高三竞赛）设和为两组复数，满足：求证：存在数组（其中），使得24（2021全国高三竞赛）已知n个非负实数和为1求证：25（2021全国高三竞赛）设数列满足.求证：.26（2021全国高三竞赛）给定正整数求最大的实数使得对任意正实数恒成立，其中27（2021全国高三竞赛）设n为不小于3的正整数，在正n边形中，选取一些对角线，满足其中的任两条对角线若
5、在多边形内部相交则一定垂直问：最多可选取多少条对角线？28（2021全国高三竞赛）设是整数.对每个正整数，令为在进制表示下的非零数字的个数.证明：对于任意给定的正整数和，存在正整数使得.29（2021全国高三竞赛）给定整数.求具有下列性质的最大常数，若实数列满足：，则.30（2021全国高三竞赛）已知数列满足：，且对于任意正整数，均有.求证：（1）；（2）数列为单调数列.31（2021全国高三竞赛）对于数列，若存在常数使得对任意正整数成立，则称是有界数列已知数列满足递推式，求证：（1）若，则不是有界数列（2）若，则是有界数列32（2021全国高三竞赛）某个会议有若干人（至少3人）参加，现要将这
6、些人分组分组前，每个人都选择两个人若被选择的两个人同组则选择他们的人不能在这组中求最小的正整数，使无论有多少人参加，且无论每人如何选择，都可以将他们按要求分成组33（2019全国高三竞赛）在一次数学会议上，任意两位数学家要么是朋友，要么是陌生人在进餐期间，每位数学家在两个大餐厅中的其中一个就餐，每位数学家所在的餐厅中包含偶数个他（或她）的朋友证明：数学家能被分到两个餐厅中的不同分法的数目是2的正整数次幕（即形如，其中，是某个正整数）34（2019全国高三竞赛）求最小的正整数,使得存在一个的数阵满足如下条件： (1)每一个数均属于集合; (2)记为数阵中第行中的数组成的集合, 为第列中的数组成的
7、集合,则,是4026个不同的集合.35（2019全国高三竞赛）已知数列满足，给定奇质数和正整数满足，证明：的充分必要条件为36（2019全国高三竞赛）对给定的正整数，定义表示的各个数位上的数字之和的平方，当且时，表示的各个数位上的数字之和的次方，其中，当为奇数时，；当为偶数时，试求的值37（2019全国高三竞赛）试证：对任何正整数，存在唯一的正奇数对，使得38（2019全国高三竞赛）证明:存在无穷多个棱长为正整数的长方体,其体积恰等于对角线长的平方,且该长方体的每一个表面总可以割并成两个整边正方形.39（2019全国高三竞赛）将一枚棋子放在一个的棋盘上，记为从左、上数第行第列的小方格，求所有的
8、四元数组，使得从出发，经过每个小方格恰一次到达（每步为将棋子从一个小方格移到与之有共同边的另一个小方格）.40（2019全国高三竞赛）设为互不相等的正整数，它们的最小公倍数为.求证：.41（2019全国高三竞赛）已知个实系数二次函数的判别式都相等.若对任意的，方程均有两个不等的实根，求证：方程也有两个不等的实根.42（2019全国高三竞赛）设是定义在自然数集合上并在上取值的函数,满足:对任何两个不相等的自然数,有. (1)求;(2)假设是100个两两不相等的自然数,求;(3)是否存在符合题设条件的函数,使,证明你的结论.43（2019全国高三竞赛）正整数数列满足：，试求通项公式44（2019全
9、国高三竞赛）求满足下列条件的最小正整数t，对于任何凸n边形，只要，就一定存在三点，使的面积不大于凸n边形面积的.45（2019全国高三竞赛）求证:存在唯一的正整数数列，使得，.46（2019全国高三竞赛）已知，求证：对一切，均有，等号当且仅当时成立47（2018山东高三竞赛）已知数列满足：，求证：48（2018江西高三竞赛）求最小的正整数，使得当正整数点时，在前个正整数构成的集合中，对任意总存在另一个数且，满足为平方数49（2018全国高三竞赛）求正整数n的最大值，使得对任意一个以为顶点的n阶简单图，总能找到集合的n个子集，满足：当且仅当与相邻.50（2018全国高三竞赛）已知有n(n4)支足球队参加单循环赛，每两队赛一场，每场胜方得3分，负方得0分，平局各得1分，所有比赛结束后发现，各队的总分构成公差为1的等差数列，求最后一名得分的最大值
