1、高等数学高等数学精国保西南财经大学西南财经大学经济数学学院经济数学学院孙疆明孙疆明 不定积分不定积分不定积分性质不定积分性质基本积分法基本积分法不定积分概念不定积分概念换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法有理函数积分有理函数积分积不出来的积分积不出来的积分一、原函数一、原函数（1 1）从运算与逆运算看从运算与逆运算看 初等数学中加法与减法、乘法与除法、初等数学中加法与减法、乘法与除法、乘方与开方、指数与对数等，都是互逆的乘方与开方、指数与对数等，都是互逆的运算。运算。微分是一种运算：求一个函数的导函数。微分是一种运算：求一个函数的导函数。微分运算的逆运算是什麽？微分运算的逆运算是什麽？问题
2、：问题：).()(),(),(xfxFxFxf的的导导函函数数正正是是使使要要求求这这样样一一个个函函数数已已知知函函数数这就是求原函数和不定积分的运算。这就是求原函数和不定积分的运算。(),()?()()SS tv tv tS t 已已知知运运动动规规律律要要求求瞬瞬时时速速度度求求导导数数：（2 2）从物理问题看从物理问题看:(),()?:(),()()v tSS tS tS tv t 反反问问题题已已知知速速度度函函数数 要要求求运运动动规规律律求求原原函函数数使使(),(),?(),().C xL xCtL t 已已知知成成本本,利利润润求求边边际际成成本本,边边际际利利润润求求导导数
3、数：（3 3）从经济问题看从经济问题看:,CLCL 反反问问题题已已知知边边际际成成本本,边边际际利利润润函函数数求求总总成成本本,总总利利润润？求求的的原原函函数数.（4 4）从几何问题看从几何问题看00 ()(,),()()kk xxykfxf x 已已知知曲曲线线斜斜率率及及曲曲线线上上一一点点求求曲曲线线？由由求求 原原函函数数.)()()()()()(,),(.)(上上的的一一个个原原函函数数在在是是则则称称或或都都有有使使可可导导函函数数若若另另有有一一个个上上有有定定义义在在区区间间设设IxfxFdxxfxdFxfxFIxxFIxf 定义定义32()()3(,).F xxf xx
4、 例例 是是在在 区区间间上上的的一一个个原原函函数数21()arcsin()1(1,1).F xxf xx 例例 是是在在 区区间间上上的的一一个个原原函函数数3232,()3()3.cRxcxxcxR 也也是是在在上上的的原原函函数数 一个函数若存在原函数，一个函数若存在原函数，则它必有无穷多个原函数。则它必有无穷多个原函数。:(1)()f x问题是否任何函数都有原函数？问题是否任何函数都有原函数？(2)如果有是否唯一？如果有是否唯一？1,0 (),(,).0,0 xf xx 例在没有原函数例在没有原函数0()(),(),lim()1,(0)1(0).xFxf xF xf xFf 若则连续
5、而若则连续而必有矛盾必有矛盾 ()(),()(),.F xf xIF xCf xC 定定理理:若若是是在在区区间间 上上的的一一个个原原函函数数 则则是是的的全全体体原原函函数数 其其中中为为任任意意常常数数（b b）原函数的结构问题）原函数的结构问题(),().f xIf xI结结论论:若若函函数数在在区区间间 上上连连续续则则在在区区间间上上存存在在原原函函数数关于原函数有两个理论问题关于原函数有两个理论问题:（a a）原函数的存在问题）原函数的存在问题上上的的任任何何一一个个原原函函数数在在是是设设IxfxG)()()()()()()()0G xF xGxFxf xf xxI ()(),
6、()()G xF xC G xF xCxI 即即 ()(),()().:f xIF xF xCf xI 原原函函数数的的设设在在区区间间 上上存存在在原原函函数数则则其其称称为为在在区区间间 上上的的不不定定积积分分体体记记为为全全 CxFdxxf)()(积积分分常常数数积积分分号号被积函数被积函数二、不定积分概念二、不定积分概念不定积分是函数一族函数.不定积分是函数一族函数.CxFy )(积积分分曲曲线线族族xxyo积分曲线积分曲线)(xFy 积积分分曲曲线线与与积积分分曲曲线线族族不定积分几何意义不定积分几何意义关于原函数、不定积分概念关于原函数、不定积分概念(1)()()F xf x是否
7、的原函数,求导问题;是否的原函数,求导问题;,()()fxf x 反之 见到知道是其一个原函数.反之 见到知道是其一个原函数.().fx dx 例 求例 求()().fx dxfxC 解解 ()()().Fxf xf x dx 例 设求例 设求()().f x dxF xC 解解2 ()arctan,().f x dxxCf x 例 设求例 设求21()(arctan)1f xxCx 解解241,().1f xx (2),()();.f x dxf xC 不定积分是被积函数全体原函数 首先是不定积分是被积函数全体原函数 首先是原函数 即其次要有原函数 即其次要有222 sin2?(1)sin(
8、2)cos(3)cos(4)2sin2xdxxxCxxC 例例2(1)(2),(2sin2)4cos2 (cos)2cos(sin)sin2,.CxCxCxxxx 解无错！错！解无错！错！对对 :(1)tanlnsin;(2)ln(ln1)xdxxCxdxxxC 例 验证积分对错例 验证积分对错cos(lnsin)sinxxx (ln1)=ln11xxx 2cos,0,()1,02x C xg xxC x sin,0(),0 x xf xxx 设设(1)()()(2)()(0,1).g xf xf x问问：是是的的不不定定积积分分吗吗？求求过过点点的的积积分分曲曲线线例例 ()0()().g
9、xxg xf x 因因为为在在点点处处不不连连续续,一一定定不不可可导导所所以以不不是是的的原原函函数数 (1)解解不是！不是！的的积积分分曲曲线线族族首首先先要要求求)()2(xf2()(),(cos)sin,(),2F xf xxxxx 设为原函数 因为设为原函数 因为(),f xR的的原原函函数数在在 上上可可导导 一一定定连连续续 故故1200lim()lim()(0),1(0)xxF xF xFCCF 即即21222010(0),(0)(0)lim0cos(0)(0)lim0 xxxCCFCFFxxCFFx 而而当当1 1+时时2122cos,0 ()(0),0 ,0 xxCxF x
10、FxCx 所以所以(0)(0)()().FfF xf x 即即所以是所以是的积分的积分曲线族曲线族21(0,1),(0)1,0FC C再由曲线过得再由曲线过得)()()1(xfdxxf dxxfdxxfd)()(Cxfdxxf)()()2(Cxfxdf)()(三、不定积分的性质三、不定积分的性质 （1）不定积分与微分互为逆运算不定积分与微分互为逆运算:()()f xc dxf xc 注注(3)()()()()f xg x dxf x dxg x dx dxxfkdxxkf)()()4(dxxfkxfk )()(2211 dxxfkdxxfk)()(2211综合综合(3)(4)（2）线性运算性质
11、线性运算性质 怎样计算不定积分？怎样计算不定积分？:;.按照讨论函数的基本方法 首按照讨论函数的基本方法 首先讨论清楚基本函数计算公式,再利用先讨论清楚基本函数计算公式,再利用四则运算、复合运算,解决初等函数的计算四则运算、复合运算,解决初等函数的计算分段函数解决分段点计算即可分段函数解决分段点计算即可一、积分公式一、积分公式基本积分表基本积分表 dxx)1(dxx1)2()1(Cx 11 Cx ln x 幂函数幂函数1()1xx 0dxc dxxc(5)sinxdx (6)cos xdx Cx cosCx sinCaax ln1Cex ()lnxxxaaaa 指数函数指数函数(3)xa dx
12、 (4)xe dx 1 axaxe dxeca 更一般地更一般地,.对数函数不给积分公式 用特定方法计算对数函数不给积分公式 用特定方法计算22:(sin)cos(cos)sin(tan)sec(cot)cscxxxxxxxx 三角函数三角函数2(7)sectanxdxxc 2(8)csccotxdxxc (9)tanln cosxdxxc (10)cotln sinxdxxc(11)secln sectanxdxxxc(12)cscln csccotxdxxxc.反三角函数与对数函数类似特定算法计算反三角函数与对数函数类似特定算法计算21(13)arcsinarccos1dxxcxcx 21
13、(14)arctanarccot1dxxcxcx ()()()()f xg x dxf x dxg x dx()()Cf x dxCf x dx()()()()f x g x dxf x dxg x dx注意:注意:基本积分法基本积分法 尽可能将被积函数写成公式中函数类或尽可能将被积函数写成公式中函数类或加、减、乘常数运算.加、减、乘常数运算.选择积分方法选择积分方法，以，以计算积分必须判别类型计算积分必须判别类型由于原函数的复杂性，由于原函数的复杂性，22sin1xxxdxx 例例 计计算算211(sin)xdxxx 解解 原原式式2 cossin cosxxxdxx 例例2 cossin
14、cosxxxdxx 解解1lncosxxcx2(2tan)ln cosln2xxx dxxc 1.,.幂函数多项式乘积 全部乘开幂函数多项式乘积 全部乘开21 (1+)().xx dxx 例例21 =(+)xxxdxx 解 原式解 原式21=x dxxdxxdxdxx332212342=2323xxccxcxc返回332212342=2.323 ()xxxxcccccc22 (1)xdx 例例24=(12)xxdx 解 原式解 原式3521=.35xxxc14 (1)xxxdx 例例53135888888=().135xxdxxxc 解 原式解 原式12:ccc注 因为注 因为故可在所有积故可
15、在所有积分做完后统一分做完后统一加任意常数.加任意常数.2.,含指数函数乘除积分 化为一个指数函数含指数函数乘除积分 化为一个指数函数21132 .3xxxdxe 例例92321 921=()()93 23xxxxxdxdxeee 解 原式解 原式1921()()9(ln91)3(ln21)2xxcee221sincosdxxx 例 计算例 计算3.利用三角恒等式计算部分三角积分利用三角恒等式计算部分三角积分2222sincos sincosxxdxxx 解解 原原式式1cos2xdx 例例 计计算算 2cos xdx 解 原式解 原式2sin xc1cossin22xx 22(seccsc)
16、tancotxx dxxxc 1coscos22xx 22211xdxx 例例 计计算算222(1)3 1xdxx 解 原式解 原式23(2)1dxx Cxx arctan324.(,),.分式积分 分子 分母多项式 拆项分式积分 分子 分母多项式 拆项221(1)(1)dxxx 2(2)tan xdx 21(3)1dxx 22(4)231xdxxx 2cos(5)sinxdxx 2(6)sin2xdx ():fx 复复合合函函数数积积分分55 1cos55coscoss 15i5n51x xu uxxdxddc ux 5视视 cos5?xdx 如如cossinuduuc 利用微分形式不变性利
17、用微分形式不变性(sin)coscoscos55duuduu u dxxdx 1155(sin5)cos55cos5xxx 1 ()(),()(),Fxf xxttx 设设且且及及其其反反函函数数可可微微 则则三、换元积分法三、换元积分法()()()tFtFtt ()()()()()F xFtf xftt 即不仅是的一个原函即不仅是的一个原函数,也是函数的一个原函数,即数,也是函数的一个原函数,即 1()()f x dxF xc 12()()()f x dxcftt dtc 也即也即22()()()()ftt dtFtcF xc ()()ftt ,因为积分完 任意常数可以合并,所以因为积分完
18、任意常数可以合并,所以()()()()xtf x dxftt dt .换元积分公式换元积分公式()(),(),.xtdxt dtxtxttx 注意：时,故换元积分注意：时,故换元积分就是用将积分变量 替换为或就是用将积分变量 替换为或将 替换为故称之为换元积分法将 替换为故称之为换元积分法 (),;().txxt 式中取复合函数内函数换元 称为式中取复合函数内函数换元 称为第一类换元积分 取积分变量换元称第一类换元积分 取积分变量换元称为第二类换元积分为第二类换元积分 第一换元积分法第一换元积分法？()(),fxx dx 在中在中函数函数取取内内,(),dux dx 换元 则换元 则 ()()
19、()fxx dxf u du 化为化为.简单函数积分简单函数积分11(),()uxu dxudu 或或()xu 积分完变量要换回！积分完变量要换回！5.复合函数积分取内函数换元复合函数积分取内函数换元11dxx 1xedx 1,(0)dx aaxb 例例32 10(1)xxdx (ln)()(),fxFxf xdxx 设求设求2(arctan)1fxdxx 21dxxx dxxxf)()()()(xdxf duuf)(cuF )(cxF )(凑微分凑微分第一换元积分法本质第一换元积分法本质dxx)(换回换回()()Fxf x 设设凑内函数凑内函数()x 看成一个变量看成一个变量直接直接对外对外
20、函数函数积分积分1()adxd ax 1()axaxe dxd ea)(sincosxdxdx sin(cos)xdxdx (ln)(ln)dxdxdxx)(21xddxx)(arctan112xddxx )(arcsin112xddxx 常用凑微分公式常用凑微分公式()dxd xc11()1nnx dxd xn 1125dxx 例例 2 tan xdx 例例233 (1)sin;(2)sin.xdxxdx 例例2222224 (1);(2);(3)dxdxdxxaxaax 例例5 1dxxx 例例4sin26 4cosxdxx 例例7 1xdxe 例例8 cosdxx 例例ln291lnxd
21、xxx 例例(1)10(1)xxdxxxe 例例6.三角函数积分凑三角微分三角函数积分凑三角微分sincosnmxxdx 1.,21,m nnk当有奇数时 不妨设则当有奇数时 不妨设则212sincos(1cos)coscoskmkmxxdxxxdx cos,;ux 设变为多项式积分设变为多项式积分例例2.,m n当为偶数时 用半角公式降低次数当为偶数时 用半角公式降低次数212212sin(1cos2),cos(1cos2).xxxx例例返回三角函数万能代换三角函数万能代换22tan,2arctan,21xtxt dxdtt 设则设则22222tan2sin2sincos221tan1xxx
22、xtxt222222221tan1coscossin221tan1xxxxtxt .dx所有三角函数及都化为有理分式所有三角函数及都化为有理分式113.,sincosdxdxabxabx1?1+sindxx 例例222221=12sin cos1 2tan1tan2tan2xxxxdxxd 解 原式解 原式2212(tan1)(1tan)2xxd 221tanxc 法二法二2222 tan,sin211xduuudxxuu解 设则解 设则2211tan2ccux 22212=21111 2(1)duuuuduu 原式原式 dxxf)(dxxxf)()(第第二二类类换换元元法法好好求求！()xu
23、 令令难难求求！)(tx 令令好好求求！难难求求！相反的情况相反的情况 duuf)(dtttf)()(技巧性要求高技巧性要求高7.含一次函数开方去掉开方含一次函数开方去掉开方)(),1qpaaxbp qp含整数且含整数且11,ppppbaaaaxbtxtdxtdt 设即设即,.带入积分可以去掉开方 化为有理式带入积分可以去掉开方 化为有理式1212)(),(),qqppbaxbaxb含几个含几个12,paxbtppp设为最小公倍数.设为最小公倍数.,.带入积分可以去掉开方 化为有理式带入积分可以去掉开方 化为有理式dxx 11求求例例于于是是令令,2txtx dtttdxx 1211dttt
24、11)1(211 2dttdt Ctt )1ln(2解解Cxx )1ln(2 1xdxx 例？例？3 1xdxx 例？例？2,(0),2xttdxtdt解 设则解 设则3212(1)11tdtttdttt 原式原式2211tttt 32ln 132ttttc 65(0),6xttdxt dt解 设则解 设则ln(1).2xxxc38665226611ttttt dtdttt原式原式642216(1)1tttdtt 753116(ln)21753tttttct 537666666116(ln)27531xxxxxcx 法二法二64211116(1)2 12 1tttdttt 8.含二次函数开方三
25、角换元含二次函数开方三角换元222222cos1sin,sec1tantansec1.()xxxxxxx考虑主值部分考虑主值部分2222222 AxBxCauauua配方为配方为或或或或22sin,22auuatt设设22cos,2cos,;auat dut则去掉根号则去掉根号变为三角函数积分变为三角函数积分tua22au 22tan,22auuatt设设22sec,02uauatt 设设222sec,sec,;auat duatdt去掉根号去掉根号变为三角函数积分变为三角函数积分22tan,sec tan,;uaat duattdt去掉去掉根号,变为三角函数积分根号,变为三角函数积分tua2
26、2au tua22au 2 dxxx 例例221142 ()dxdxxxx 解解211112222 sin,cos,cosxtdxtdtxxt设则设则12121coscostdtt 原式原式dttc arcsin(21)xc112arcsin1dxxcx 22(0)Iax dxa 22(0)dxIaax 222(0)dxIaxax 22(0)dxIaxa 232xIdxxx 双曲代换双曲代换倒代换倒代换 (),uvu vuvuvu vuv 由由导导数数公公式式得得是是原原函函数数 即即u vdxuv dx vduuvudv四、分部积分法四、分部积分法分部分部积分积分公式公式uv dxuvu v
27、dx 乘积的积分乘积的积分()u vuv dxuvc uv dxuvu vdx ,uv dxuvu vdx在中先积出一部分并化为在中先积出一部分并化为,().uuv vv要求 比 简单原函数 不比 复杂要求 比 简单原函数 不比 复杂,();()xnnveuP xP x 取多项式取多项式(.)1xnP x e si2.n()cosnxP xx sin,();cosnxvuP xx 取取3.含对数含对数积分积分;uv 取对数,其余为取对数,其余为4.含反三角含反三角,;uv 取反三角其余为取反三角其余为 sinos5.cxxax sin,cosxxvavx可取也可取.可取也可取.9.分部积分类型
28、分部积分类型 dxxex计计算算例例 12,/2,xxeu xvvxue 若若选选择择则则 dxexxedxxexxx2222则则解解更难求更难求,1(),)xxxu evuve 选选择择则则简简单单(一一样样 dxexedxxexxxCexexx Cxex )1(dxexx22容易求容易求！dxex.vv dxdv 当选定 后,最好用形式当选定 后,最好用形式.xxxxxxxe dxxdexee dxxeec 2sinxxdx lnxxdx arctanxxdx 3sec x dx cosxexdx ln xdx arctan x dx sin(1,2,)nnIxdx n 22()nndxI
29、xa ),0(Nna arctanxxedxe 22(2)xx edxx sincosaxbxdx 10.,;v 含抽象函数积分 取抽象函数含抽象函数积分 取抽象函数 ()Ixfx dx 例例 ()()()()()Ixdfxxfxfx dxxfxf xc 解解sin ()()xf xxIxfx dx 例 设为的一个原函数,求例 设为的一个原函数,求2 ()()()cossinsin Ixdf xxf xf x dxxxxxxcxx 解解()1 ()ln()()()fxdxdf xf xCf xf x 例例21 21xdxxx 例例2214131 421421xdxdxxxxx 解 原式解 原式
30、222(21)131(41)4214788dxxdxxxx 221=41xxx（）（）21341ln(21)arctan42 77xxxC 三角函数积分三角函数积分等等函函数数下下列列积积分分不不能能表表示示为为初初 xkdxdxxkdxxdxxdxxxdxxxdxxdxxdxxdxex2222223sin1,sin1cos,sincos,sin,sin1,ln1,2)()()(xQxPxRmn mmmmmnnnnnbxbxbxbxQaxaxaxaxP 11101110)()(其其中中 代代数数有有理理分分式式多多项项式式(或或常常数数)真真分分式式12111223 xxxxxx例例如如：五、
31、有理分式的积分五、有理分式的积分（一）代数有理函数的积分（一）代数有理函数的积分,;,nmnm 当当时时 真真分分式式当当时时 假假分分式式简简分分式式的的和和真真分分式式可可分分解解为为四四类类最最 axA)1(naxA)()2(qpxxCBx 2)3(nqpxxCBx)()4(2 22233()2()()AxBxCA xaAaxBxCaxaxa 如如2232(2)=()()AAaBCaAaB axaxaxa 23=()()AMNxaxaxa dxqpxxCBppxBdxqpxxCBx221212)2()3(caxAdxaxAln)1(caxnAdxaxAnn 1)(1()()2(四类最简分
32、式的积分四类最简分式的积分322(2)xx 再再 如如22222(2)xxxx 22xx dxqpxxCBppxBdxqpxxCBxnn)()2()()4(22121212)(1)1(2 nqpxxnB nqpqxdxCBp)()(224222 )()(22ln2142222qpqxdxCBpqpxxB qpxxdxCBpqpxxB2222ln21:)04()()()(221110诸诸因因式式之之积积与与与与形形如如都都可可以以分分解解为为一一个个常常数数任任意意一一个个实实系系数数多多项项式式 qpqpxxaxbxbxbxbxQlkmmmmm 如何将真分式分解为最简分式之和如何将真分式分解为
33、最简分式之和？定理定理1：rslrrllkskkmqxpxqxpxqxpxaxaxaxbxQ)()()()()()()(22221122102121 :,)()(如如下下分分解解规规则则之之和和唯唯一一地地分分解解为为最最简简分分式式则则它它可可以以是是一一个个真真分分式式设设xQxPmn定理定理2：(1)Axa 一一次次单单因因式式对对应应一一项项122(2)()()kkkkAAAxaxaxa 一一次次重重因因式式对对应应项项qpxxCBx 2)3(二二次次单单因因式式对对应应一一项项kkkqpxxCxBqpxxCxBqpxxCxBkk)()()()4(22222211 项项重重因因式式对对
34、应应二二次次分分解解为为最最简简分分式式的的和和将将例例435123 xxx将将分分母母分分解解因因式式)1(223)2)(1(43 xxxx将将真真分分式式分分解解)2(223)2(21435 xCxBxAxxx解解CBA,)3(用用待待定定系系数数法法确确定定常常数数)24()4()()1()2)(1()2(522CBAxCBAxBAxCxxBxAx 524140CBACBABA1,32,32 CBA223)2(121321132435 xxxxxx dxxxx43523 2)2(232132xdxxdxxdxCxxx 2112ln32法二法二 dxxxxxxxxI1221223453求求
35、积积分分例例将将分分母母分分解解因因式式)1(222345)1)(1(122 xxxxxxx将将真真分分式式分分解解)2(2222345)1(111225 xEDxxCBxxAxxxxxx解解用用待待定定系系数数法法确确定定常常数数)3()()()2()()()1)()1)(1)()1(12342223ECAxEDCBxDCBAxBCxBAxEDxxxCBxxAxx 23,21,43,41,41 EDCBA 110210ECAEDCBDCBABCBAdxxxdxxxdxxI 222)1(32113411141 1431)1(811ln41222xdxxxdx 22222)1(23)1()1(4
36、1xdxxxdxxxarctan43)1ln(811ln412 1431)1(811ln41222xdxxxdxI 22222)1(23)1()1(41xdxxxdCxxxx arctan2112123114122CxxxxI 11311ln4122即即22222122211()(22)()23 (22)()nnndxxxanaxandxnaxa )2,1(na注意注意 计算最后一个积分时计算最后一个积分时,利用了递推公式利用了递推公式Cxxxxdxxxxdx arctan21121121121)1(22222 dxxxR)cos,(sintx 2tan令令212sinttx 2211cost
37、tx dttdx212 dttR)(1有理函数有理函数万能万能代换代换（二）三角有理函数的积分（二）三角有理函数的积分代数有理函数的积分代数有理函数的积分dxxI cos213求求积积分分例例tx 2tan令令22113121cos2122ttxtt dttdx212 dttI 2312Ct 3arctan32解解Cx )3tanarctan(322 )3(7xxdx dxxxxx)3(33777dxxxxdx )3(376 )1(10 xxdx )1(1011xxdx )1(10109xxdxx或或 遇到有理函数的积分要灵活处理遇到有理函数的积分要灵活处理 三角函数有理式积分的最常用的方法是
38、用三角函数有理式积分的最常用的方法是用三角恒等式将问题化简三角恒等式将问题化简 nxdxmxcoscos nxdxmxsinsin:1例例 dxxnmxnm)cos()cos(21 dxxnmxnm)cos()cos(21 nxdxmxcossin dxxnmxnm)sin()sin(21 xxdxcossin1:2例例 2cos22cos2sin22xxxdxcxxxd|2tan1|ln2tan1)2tan1(xdx2sin:32例例 xxdx22cossin41 dxxxxxxx)csc(sec41cossincossin41222222cxx )cot(tan41dxxI 2sin314
39、求求积积分分例例dxxxxI 222tansec3sec xxd2tan43)(tanCx tan32arctan63解解dxxxI cos)sin2(15求积分求积分例例dxxxxxI cos)sin2()cos(sin43122dxxxdxxx sin2cos31cossin231 xxdxxdxdxsin2)sin2(31cos)(cos31cos32Cxxxx sin2ln31cosln31tansecln32解一解一Cxxxx sin2cosln31tansecln32 )sin1)(sin2()(sincos)sin2(cos22xxxddxxxxI )(sin1sinsin1si
40、n2612131xdxxx Cxxx sin1ln61sin1ln21sin2ln31Cxxx cos)sin2()sin1(ln312解二解二2dxbaxxRn),()1(tbaxn 令令abtxn dttandxn 1 dttR)(1四、简单无理式的积分四、简单无理式的积分代数有理函数的积分代数有理函数的积分dxbaxbaxbaxxRknnn),()2(21 tbaxn 令令的的最最小小公公倍倍数数为为knnnn,21 dttR)(1代数有理函数的积分代数有理函数的积分dxdcxbaxxRn),()3(tdcxbaxn 令令 dttR)(1代数有理函数的积分代数有理函数的积分dxcbxax
41、xR),()4(2 )04,0(2 acbaduau 221经经配配方方只只要要求求tauduautan22 令令tauduuasin22 令令tausec dxxxI 153求求积积分分例例则则令令,66txtx 11233 ttxxdttdx56 dxttI 1628dttttt)111(62246 CxxxxxCttttt 66636567357arctan315171(6)arctan357(6解解dxxxI 32)1)(1(16求求积积分分例例先先将将积积分分化化为为dxxxxI11113 1111333 ttxtxx令令1211113333 ttttxdtttdx232)1(6 解
42、解 dttttdttdttI121111323 2232212122)()()(231)1(211lnttdttttdtdttttt 13)12(211ln2Ctttt 312arctan3)1(1ln2122311 xxt其其中中，22)1(7xxxdxI求求积积分分例例 22149)()1(xxdxI 24923)(uudutusin23 令令21 xu令令 tttdtcos)1(sincos232323解解dtt sin1132 dttt2cossin132Ctt )cos1(tan32tu23249u Cuu 2492332Cxxx 22232Cxx 1232 三角形法三角形法 dxx
43、fCxFdxxfxfxfdxxx)()()(,)(,)(2)1ln(111求求且且是是它它的的反反函函数数单单调调连连续续设设练习练习以下题目不用计算立即写出结果以下题目不用计算立即写出结果dxexx121.1 dueudxxxar 231)sin(.2 duu3 dxxx2.32 udu dxxxsin1.4 udusin xxdx2costan.7duu 21dxxxx 1arcsin.8 udu dxxx2ln.6 duu 294.5xxdx ududxxx lnln.9xxxlnlnlnln xdxxexcossin.102sin dueu结束放映结束放映 基本积分法基本积分法三角、分
44、式三角、分式返回2222221(1)(1)(1)(1)xxdxdxxxxx 22(2)tan(sec1)xdxxdx2211()11arctan.dxxxxcx tan.xxc返回211(3)1(1)(1)dxdxxxx 12(1)(1)(1)(1)xxdxxx 111()211dxxx 1 ln 1ln 1.2xxc:11 ln.dxaxbcaxba 积分公式积分公式返回1122()()Bdxa xba xb 122211122 11122()()()()Ba a xba a xbdxa ba ba xba xb 1122()()Axdxa xba xb 1222112 1121122()(
45、)()()Ab a xbb a xbdxa ba ba xba xb 返回1122()()AxBdxa xba xb 1222111122()()()()d a xbd a xbdxa xba xb 121122()dddxa xba xb 1221122 1,d ad aAd bd bB1122122 112122 1,AbBaAbBadda ba ba ba b返回(21)(1)2(21)(1)xxdxxx 112()121dxxx 12ln(1)ln(21).2xxc222(4)231(21)(1)xxdxdxxxxx 返回2cos(5)csccotcsc.sinxdxxxdxxcx 2
46、1cos(6)sin22xxdxdx 1(1cos)2x dx 1(sin).2xxc第一类换元第一类换元返回1?,(0)dxaaxb 1,aaxbuduadxdxdu解 设则即解 设则即1111lnln.duucaxbcauaa 原式原式1?1dxx 12 1 1,2xxududxdxudu 解 设则即解 设则即1222 1.uduucxcu 原式原式11lndxaxbcaxba 返回1?xedx 32 10(1)?xxdx 2 1,121xxxxeeududx eue 解解 设设则则2221uduu 原式原式22 1,2,1xuduxdx xu解 设则解 设则10111011(1)()22
47、uu duuudu原式原式12112 122 111(1)(1)().2 12112422uuxxcc11 2(1arctan1).xxeec2(arctan).uuc返回(ln)()(),.fxFxf xdxx 设求设求1 ln,uxxududx xe解 设则解 设则()()(ln).f u duF ucFxc 原式原式21dxxx 212,xxududx xu解 设则解 设则2122arcsin1 2arcsinduucuxc 原式原式211()dxxx 返回2(arctan)?1fxdxx 21 arctan,1xududxx 解 设则解 设则()fu du 原式原式()(arctan)
48、.f ucfxc2(arctan):(arctan),1 (arctan).fxfxududxxduucfxc 法二 设则法二 设则原式原式凑微分凑微分1125dxx 例例 12511(25)525dxxdxx duu 151CxCu 525252xu52 令令解解向哪个积分公式凑向哪个积分公式凑？cuduu 21返回112(25)111(25)1552512xdxcx 原原式式2 tan xdx 例例xdxxdxxxdxxsincos1cossintan duu 1CxCu coslnlnux cos令令解解 .,().熟练后中间步骤可以省略 注意换元后 积熟练后中间步骤可以省略 注意换元后
49、 积分是对微分内变量所作 故只要对微分内变分是对微分内变量所作 故只要对微分内变量 外函数 使用积分公式即可量 外函数 使用积分公式即可返回 xdxxdx32sin)2(;sin)1(3例例dxxxdx 22cos1sin)1(2cxx 2sin412解解 )2(2cos4121xxddx xdxx sinsin2 xdx3sin)2()(cos)cos1(2xdxCxx 3cos31cos外函数余弦外函数余弦外函数平方外函数平方返回 222222)3(;)2(;)1(4axdxxadxaxdx例例 )(1)()1(2222axaaxadaxdxcaxa arctan1解解 )1(222axa
50、dxcaxaxdax arcsin)()(112 22)2(xadx返回 22)3(axdx)(1)(121axdaxaxdaxa dxaxaxa)11(21 CaxaxaCaxaxa ln21)ln(ln21返回Caxaxaaxdx ln21)13(22Caxaaxdx arctan1)11(22Caxxadx arcsin)12(22 三个积分公式三个积分公式返回 xxdx15例例 xxd12原原式式 xxd1)1(2Cx 14解解返回dxxx 4cos42sin6例例42sincos4cosxxdxx 原式原式2221(cos)4(cos)dxx Cx )2cosarcsin(2解解返回
