1、第11讲一元二次方程根的分布,图 2-11-1,图 2-11-2,方程有两根(如图2113)：x2k，x1 k ?af(k)0；,图 2-11-3,方程有且只有一根在区间(k1，k2)内?f(k1)f(k2)0(如图,2-11-4)；,图 2-11-4,图 2-11-5方程两根满足k1x1k2p1x2p2,D,2.若关于 x 的方程 x2axa10 有异号的两个实根，,则 a的取值范围是_.,a7,3.若方程 8x2 (m1)xm70 有两个负根，则实数 m的取值范围是_.4.若关于 x 的方程 x2axa240 有两个正根，则实数 a,的取值范围是_.,考点 1,一元二次方程根的分布,考向
2、1,零分布,例1：当m取何实数时，方程2(m1)x24mx3m20.(1)有一正实数根和一负实数根；(2)有两个负实数根；(3)正根绝对值大于负根绝对值；(4)有实数根.,(3)方程正根绝对值大于负根绝对值?,?2m1，且 m1.综上所述，2m1 时，方程有实根.,考向 2,K 分布,例2：(1)若方程x2(k2)x2k10的两根中，一根在0 和 1 之间，另一根在 1 和 2 之间，则 k 的取值范围为_.,(2)已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比 1 小，求实数 a 的取值范围.,图 D13,解：方法一，设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1，x2(
3、x1x2)，则(x11)(x21)0.x1x2(x1x2)10.由根与系数的关系，得(a2)(a21)10，即a2a20，2a1.方法二，函数图象大致如图D13，则有,f(1)0，即1(a21)a20，得a2a20.2a1.故实数a的取值范围是(2,1).,【互动探究】,1.已知函数f(x)x2ax2，aR.(1)若不等式f(x)0的解集为1,2，求不等式f(x)1x2的解集；(2)若函数g(x)f(x)x21在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围.,考点 2,一元二次方程根的分布的应用,例 3：已知抛物线 yx2mx1 与以 A(3,0)，B(0,3)为端点的线段 AB 恰有
4、一个公共点，求实数 m 的取值范围.,【互动探究】 2.若二次函数yx2mx1的图象与两端点为A(0,3)，B(3,0)的线段 AB 有两个不同的交点，求 m 的取值范围.解：线段AB的方程为xy3(0x3).,思想与方法,运用分类讨论思想判断方程根的分布,例题：已知函数f(x)ax2x13a(aR)在区间1,1,上有零点，求实数 a 的取值范围.,解：方法一，当 a0 时，f(x)x1.令 f(x)0，得 x1，,是区间1,1上的零点.,当 a0 时，函数 f(x)在区间1,1上有零点分为三种情况：方程 f(x)0 在区间1,1上有重根.,若函数 yf(x)在区间1,1上有两个零点，则,【规
5、律方法】(1)函数 f(x)ax2x13a(aR)在区间,1,1上有零点，应该分类讨论：讨论 a0 与 a0；讨论有一个零点或有两个零点；如果只有一个零点还要讨论是否是重根；,(2)函数 f(x)的零点不是“点”，它是一个数，是方程 f(x),0 的实数根；,(3)准确理解根的存在性定理：f(x)在a，b上连续；,f(a)f(b)0；这是零点存在的一个充分条件，不是必要条件，并且满足 f(a)f(b)0 时，f(x)在a，b上至少有一个零点；不满足 f(a)f(b)0 时，f(x)在a，b上未必无零点，也可能有多个零点.,【互动探究】3.已知二次函数f(x)x2(2a1)x12a.(1)判断命题：“对于任意的 aR(R 为实数集)，方程 f(x)1 必有实数根”的真假，并写出判断过程；,a 的取值范围.,解：(1)“对于任意的aR(R为实数集)，方程f(x)1必有实数根”是真命题. 依题意，得f(x)1有实数根，即x2(2a1)x2a0有实数根.(2a1)28a(2a1)20对于任意的aR(R为实数集)恒成立，x2(2a1)x2a0必有实数根.f(x)1必有实数根.,
