1、专题19 充分条件与必要条件学习目标1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系，3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系知识精讲高中必备知识点1：充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系pqpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的不充分条件q不是p的不必要条件高中必备知识点2：充要条件1如果既有pq，又有qp，则p是q的充要条件，记为pq2如果p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件3如
2、果pq且q p，则称p是q的充分不必要条件4如果p q且qp，则称p是q的必要不充分条件5设与命题p对应的集合为Ax|p(x)，与命题q对应的集合为Bx|q(x)，若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若AB，则p是q的充要条件若AB，则p是q的充分不必要条件q是p的必要不充分条件若AB，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件6p是q的充要条件是说，有了p成立，就一定有q成立p不成立时，一定有q不成立典例剖析高中必会题型1：充分条件与必要条件的判定1已知，则是的_（充分条件”、“必要条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选择一个填空）【答案】充分条件设命题对应的集合为,命题
3、对应的集合为,因为,所以命题是命题的充分条件.故答案为：充分条件.2设，则是的_条件（用“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“既非充分又非必要”填空）【答案】充分非必要A是B的真子集，故是的充分非必要条件故答案为：充分非必要3给出下列结论，其中，正确的结论是_.“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件“p且q为假”是“p或q为真”的充分不必要条件“p或q为真”是“非p为假”的必要不充分条件“非p为真”是“p且q为假”的必要不充分条件【答案】对于，由p且q为真，得和都为真，由p或q为真，得和至少有一个为真，故“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，因此正确；对于，由p且q为假
4、，得和至少有一个为假，由p或q为真，得和至少有一个为真，故“p且q为真”是“p或q为真”的即不充分不必要条件，因此错；对于，由p或q为真，得和至少有一个为真，由非p为假，得为真，故“p或q为真”是“非p为假”的必要不充分条件，因此正确；对于，由非p为真，得p为假，由p且q为假，得和至少有一个为假，故“非p为真”是“p且q为假”的充分不必要条件，因此错.故答案为：.4“”是“”的_条件.【答案】充分不必要条件.由不等式，解得，构成集合又由不等式，解得，得到，可得集合是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要条件.5“或”是“”成立的_条件.【答案】必要不充分，不能推出且，反
5、过来，且能推出，所以是且的必要不充分条件，利用逆否关系的等价性可知或是的必要不充分条件.故答案为：必要不充分高中必会题型2：充要条件的判断1若，都是实数，试从；中选出适合的条件，用序号填空（1）“，都为0”的必要条件是_；（2）“，都不为0”的充分条件是_；（3）“，至少有一个为0”的充要条件是_【答案】 或，即，至少有一个为0；所以是“，都为0”的必要条件，也是“，至少有一个为0”的充要条件；，互为相反数，则，可能均为0，也可能为一正一负；所以是“，都为0”的必要条件；或；所以是“，都为0”的必要条件；或，则，都不为0，所以是“，至少有一个为0”的充要条件.故答案为(1). (2). (3)
6、. 2不等式有实数解的充要条件是_【答案】解：因为，当且仅当时等号成立，所以不等式有实数解的充要条件是故答案为：3已知a、b是实数，则“a0，且b0”是“ab0，且ab0”的_条件【答案】充要a0，b0，ab0，ab0，“a0，且b0”是“ab0，且ab0”的充分条件；ab0，a与b同号，ab0，a0且b0，“a0，且b0”是“ab0，且ab0”的必要条件故“a0且b0”是“ab0且ab0”的充要条件故答案为：充要4下列所给的p，q中，p是q的充要条件的为_.(填序号)若a，bR，p：a2b20，q：ab0；p：|x|3，q：x29.【答案】若a2b20，则ab0，即pq；若ab0，则a2b2
7、0，即qp，故pq，所以p是q的充要条件.由于p：|x|3q：x29，所以p是q的充要条件.故答案为：5设，则是成立的_条件；【答案】充要故答案为充要高中必会题型3：充要条件的证明1已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是.【答案】见解析（1）必要性：由，得，即，又由，得，所以.（2）充分性：由及，得，即.综上所述，的充要条件是.2已知的三条边为，求证：是等边三角形的充要条件是【答案】证明见解析证明（充分性），（必要性），即，得证3设均为实数，判断“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的什么条件.【答案】充要条件充分性：因为，所以，即方程有两个不相同的实根，设两根为，则，即一正一负，故充分性成
8、立；必要性：因为“方程有一个正实根和一个负实根”成立，所以，即，故必要性成立.所以“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的充要条件.4求证：四边形是平行四边形的充要条件是四边形的对角线与互相平分.【答案】证明见解析设对角线与的交点为.充分性：由对角线与互相平分得，又，所以，所以，所以四边形是平行四边形；必要性：由四边形是平行四边形得，所以所以，四边形的对角线与互相平分；所以四边形是平行四边形的充要条件是四边形的对角线与互相平分.5已知ab0，求证：a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.(提示：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)【答案】证明见解析设p：a3+b3+ab-
9、a2-b2=0，q：a+b=1.（1）充分性(pq)：因为a3+b3+ab-a2-b2=0，所以(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0，即(a2-ab+b2)(a+b-1)=0，因为ab0，a2-ab+b2=+b20，所以a+b-1=0，即a+b=1.（2）必要性(qp)：因为a+b=1，所以b=1-a，所以a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0，综上所述，a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.对点精练1“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的（ ）A
10、充分条件B必要条件C既是充分条件也是必要条件D既不是充分条件也不是必要条件【答案】B因为当a+b为偶数时，a，b都可以为奇数.所以“a+b是偶数”不能推出 “a和b都是偶数”，显然“a和b都是偶数”“a+b是偶数”.所以“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的必要条件.故选：B2设aR，则“a 0是“a2 0”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A解：当时，当时，或，所以“a 0是“a2 0”的充分不必要条件，故选：A3设，则“且”是“且”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【答案】A若且，由不等式的同向可加性可得，
11、由不等式的同向同正可乘性可得，所以“且”可以推出“且”，即充分性成立；反之，若，满足且”，所以 “且”不可以推出“且”，即必要性不成立；所以“且”是“且”的充分不必要条件.故选：A.4“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A由得，则；若，则，但不能推出；因此“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其从军行传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）A必要条件B充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【答案】
12、A由题意，“返回家乡”可推出“攻破楼兰”，但“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.故选：A.6若“-1x-m1”成立的充分不必要条件是“x”，则实数m的取值范围是 （ ）ABCD【答案】B不等式-1x-m1等价于：m-1xm+1，由题意得“x”是“-1x-m1”成立的充分不必要条件，所以，且，所以，且等号不能同时成立，解得.故选：B.7在如图电路中，条件p：开关A闭合，条件q：灯泡B亮，则p是q的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A若开关A闭合，则灯泡B亮，所以条件p可以推出条件q；若灯泡B亮，则开关A闭合或开关C
13、闭合，不能确定开关A闭合，条件q推不出条件p；所以p是q的充分不必要条件.故选：A.8若非空集合A，B，C满足AB=C，且B不是A的子集，则（ ）A“xC”是“xA”的充分条件但不是必要条件B“xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件C“xC”是“xA”的充分条件也是“xA”的必要条件D“xC”既不是“xA”的充分条件也不是“xA”的必要条件【答案】B因为B不是A的子集，所以集合中必含有元素不属于，而即为或，xA必有xC，但反之不一定成立，所以“xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件.故选：B9“t-2”是“对任意正实数x，都有t2-tx+恒成立”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充
14、要条件D既不充分也不必要条件【答案】B由于x+2，由题意知t2-t2，解得-1t2.所以“t-2”是“-1t2”的必要不充分条件.故选：B10是成立的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A充分性显然成立，必要性可以举反例：，显然必要性不成立.故选：A11已知，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是（ ）ABCD【答案】D由是的必要条件，可得，解得故选：D.12若“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围是（ ）ABCD【答案】C由“”是“”的必要不充分条件知：是的真子集，可得知故选：C13设命题p：x4；命题q：x25x+40，那么p是q的_条件（选
15、填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）.【答案】充分不必要命题q：x25x+40x1或x4，命题p：x4；故p是q的充分不必要条件，故答案为：充分不必要14若p：是q：的必要不充分条件，则实数a的取值范围为_【答案】若是的必要不充分条件，则是的真子集， 则，解得；当时，不成立，故，即实数的取值范围是，故答案为：.15“”是“”的_条件【答案】充分不必要充分性：若，则，故充分性成立；必要性：若，当时，不成立，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.16若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_.【答案】解不等式，解得，解方程，解得或.当时
16、，即当时，不等式即为，该不等式的解集为，不合乎题意；当时，即当时，解不等式可得.由于是的充分不必要条件，则，可得，此时；当时，即当时，解不等式可得.由于是的充分不必要条件，则,可得，解得.检验：当时，则有，合乎题意；当时，则有，合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.17已知p：x24x+30，q：x22x+a，且q是p的必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（，1.由x24x+30得（x1）（x3）0得1x3，由x22x+a得x22xa，若q是p的必要条件，即当1x3时，x22xa恒成立，设f（x）x22x，则在1，3上为增函数，则f（x）的最小值为f（1）121，a1，即实数a的
17、取值范围是（，1.18已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：（1）s是q的什么条件？（2）r是q的什么条件？（3）p是q的什么条件？【答案】（1）充要条件；（2）充要条件；（3）必要条件.都是的必要条件 ，是的充分条件 是的充分条件 （1）因为qs，srq，所以s是q的充分条件，同时s是q的必要条件所以，s是q的充要条件；（2）因为rq，qsr，所以r是q的充分条件，同时r是q的必要条件，所以，r是q充要条件；（3）因为qsrp，所以p是q的必要条件，所以，p是q的必要条件.19设命题，命题，若是的必要条件，但不是的充分条件，求实数的取值组成的集合.【答案】由得
18、或，由是的必要条件，但不是的充分条件得且，从而有BA，或或，当时，；当时，无解；当时，无解；综上：实数a的取值组成的集合为20已知集合Ax|2ax2+a（a0），Bx|x2+3x40.（1）若a3，求AB；（2）若“xA”是“xB”的必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）4，5；（2）a6.（1）当a3时，Ax|2ax2+a1，5，Bx|x2+3x404，1，所以，AB4，5（2）Ax|2ax2+a（a0），Bx|x2+3x404，1，因为“xA”是“xB”的必要条件，所以，所以，所以a6.所以，当a6时，“xA”是“xB”的必要条件.21设集合，（1）请写出一个集合，使“”是“”的充分
19、条件，但“”不是“”的必要条件；（2）请写出一个集合，使“”是“”的必要条件，但“”不是“”的充分条件【答案】（1）（答案不唯一）；（2）（答案不唯一）（1）由于“”是“”的充分条件，但“”不是“”的必要条件，所以集合是集合的真子集，由此可得符合题意.（2）由于于“”是“”的必要条件，但“”不是“”的充分条件，所以集合是集合的真子集，由此可知符合题意.22已知命题“关于x的方程有两个不相等的实数根”是假命题.（1）求实数m的取值集合；（2）设集合，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.（1）若关于x的方程有两个不相等的实数根”是真命题，则，即，解得：或，所以方程有两个不相等的实数根”是假命题则，所以，（2）是的充分不必要条件，则，则，解得，经检验时，满足，所以成立，所以实数a的取值范围是.
