1、2021年湖南省永州一中自主招生数学试卷一、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）1（3分）我国南海海域的面积约为3500000km2，该面积用科学记数法应表示为 km22（3分）函数的自变量x的取值范围是 3（3分）分解因式：x2+x2 4（3分）已知ab，则a+c b+c（填、或）5（3分）若与|xy3|互为相反数，则x+y 6（3分）若化简|1x|的结果为2x5，则x的取值范围是 7（3分）“数学王子”高斯从小就善于观察和思考在他读小学时就能在课堂上快速地计算出1+2+3+98+99+1005050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：令S1+2
2、+3+98+99+100 S100+99+98+3+2+1 +：有2S（1+100）100解得：S5050请类比以上做法，回答下列问题：若n为正整数，3+5+7+（2n+1）168，则n 8（3分）已知x1，x2为方程x2+4x+20的两实根，则x13+14x2+55 二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）9（3分）对于一组统计数据：2，3，6，9，3，7，下列说法错误的是（）A众数是3B中位数是6C平均数是5D极差是710（3分）已知：直线l1l2，一块含30角的直角三角板如图所示放置，125，则2等于（）A30B35C40D45
3、11（3分）已知点M（12m，m1）关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）ABCD12（3分）如图，ACB60，半径为2的O切BC于点C，若将O在CB上向右滚动，则当滚动到O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A2B4C2D413（3分）如图，点A是反比例函数y（x0）的图象上任意一点，ABx轴交反比例函数y的图象于点B，以AB为边作ABCD，其中C、D在x轴上，则SABCD为（）A2B3C4D514（3分）如图是蜘蛛结网过程示意图，一只蜘蛛先以O为起点结六条线OA，OB，OC，OD，OE，OF后，再从线OA上某点开始按逆时针方向依次在OA，OB，OC，OD，
4、OE，OF，OA，OB上结网，若将各线上的结点依次记为：1，2，3，4，5，6，7，8，那么第200个结点在（）A线OA上B线OB上C线OC上D线OF上15（3分）平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m+n等于（）A36B37C38D3916（3分）如图所示，已知A（，y1），B（2，y2）为反比例函数y图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（）A（，0）B（1，0）C（，0）D（，0）三、解答题（本题8个小题，共72分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）17（5分）计算：18（5分）先化简，后计算：，其中a
5、319（8分）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）请根据以上信息回答：（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？（2）将两幅不完整的图补充完整；（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数20（8分）如图，已知AB为圆O的弦（非直径），E为AB的中点，EO的延长线交圆于点C，CDAB，且交AO的延长线于点DEO：OC1：2，CD4，求圆O的半径21（10分）某公司
6、为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元甲乙价格（万元/台）75每台日产量（个）10060（1）按该公司要求可以有几种购买方案？（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？22（10分）问题探究：（1）如图所示是一个半径为，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，AB是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B点，求蚂蚁爬行的最短路程（探究思路：将圆柱的侧面沿母线AB剪开，它的侧面展开图如图中的矩形ABB
7、A，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段AB的长）；（2）如图所示是一个底面半径为，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，PA是它的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点，求蚂蚁爬行的最短路程；（3）如图所示，在的条件下，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程23（12分）已知：y关于x的函数y（k1）x22kx+k+2的图象与x轴有交点（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k1）x12+2kx2+k+24x1x2求k的值；当kxk+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值24（14分）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE已知tanCBE，A（3，0），D（1，0），E（0，3）（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0t3）时，AOE与ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围
