1、北京市北京市一六一中学一六一中学 20222022 届届高三高三年级二月年级二月自主测试自主测试 数数 学学 2022年2月 本试卷共 5 页，150 分。考试时长 150 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后将答题卡拍照交回。 一、选择题：共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. （1）已知集合 | 11Axx ， |30Bx x x，则AB （A） | 10 xx （B） |01xx （C） | 13xx （D） | 10 xx （2）在复平面内，复数23iz ，则z对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （3）已知双曲
2、线2221(0)yxaa的离心率是3，则a （A）2 （B）2 （C）12 （D）22 （4）在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，且2sin3.把角的终边绕端点O逆时针方 向旋转2弧度，这时终边对应的角是，则cos （A）23 （B）23 （C）53 （D）53 （5）若直线yxm是圆2220 xyy的一条对称轴，则m的值为 （A）12 （B）1 （C）2 （D）1 （6）设直线1l的方向向量为1 a ， ，2l的法向量为12a ， ，则“2a ”是“12ll”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （7）大气压强p 压力受力面积，
3、它的单位是“帕斯卡” （Pa，1Pa=1N/m2） ，大气压强p（Pa）随海拔高度h（m）的变化规律是0ekhpp（0.000126k m-1） ，0p是海平面大气压强已知在某高山12,A A两处测得的大气压强分别为12,p p，1213pp，那么12,A A两处的海拔高度的差约为（参考数据：ln3 1.099） （A）660m （B）2340m （C）6600m （D）8722m （8）某校举办高三“成人仪式”活动，需要从 3 个语言类节目和 6 个歌唱类节目中各选 2 个节目进行展演，则语言类节目 A 和歌唱类节目 B 至少有一个被选中的不同选法种数是 （A）10 （B）35 （C）45
4、（D）60 （9）抛物线2:4W yx的焦点为F.对于W上一点P，若W的准线上只存在一个点Q，使得FPQ 为等腰三角形，则点P的横坐标为 （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 （10）在正方体1111ABCDABC D中，点P在正方形11ADD A内，且不在 棱上，则 （A）在正方形11DCC D内一定存在一点Q，使得PQAC （B）在正方形11DCC D内一定存在一点Q，使得PQAC （C）在正方形11DCC D内一定存在一点Q，使得平面1PQC平面ABC （D）在正方形11DCC D内一定存在一点Q，使得AC 平面1PQC 二、填空题：共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. （11
5、）在5(2) x的展开式中，3x的系数为 _.（用数字作答） （12）在ABC中，2 7,a 2b ，60A，则c _；sin2sinAC_. （13）已知 na为等差数列，nS为其前 n 项和，若1316,2aSa，则公差d _； nS的最大值为_ D1C1B1DCBA1A（14）向量, a b在边长为 1 的正方形网格中的位置如图所示， 则向 量, a b所成角的余弦值是_；以向量, a b为邻边构成的平行四边形的面积是_. （15）配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件. 由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需
6、要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n天的需求，称n为生产周期(假设这种配件每天产能可以足够大). 配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）. 在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n为_. 三、解答题：共 6 小题，共 85 分. （16） （本小题 13 分） 已知3是函数 22 sin cos2cos1f xaxxx的一个零点. （）求实数a的值； （）求 f x单调递减区间. (17)（本小题 14 分） 如图， 在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，2PAADCD，3BC ，
7、2 3PC ，E为PB中点，_ . （）求证：四边形ABCD是直角梯形； （）并求直线AE与平面PCD所成角的正弦值. 从CDBC；/BC平面PAD这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答； 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. . a b EDCBAP (18)（本小题 14 分） 某电影制片厂从 2011 年至 2020 年生产的科教影片、动画影片、纪录影片的时长（单位：分钟）如下图所示. （）从 2011 年至 2020 年中任选一年，求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率； （）从 2011 年至 2020 年中任选两
8、年，设X为选出的两年中动画影片时长小于纪录影片时长的年数，求X的分布列和数学期望()E X； （）将 2011 年至 2020 年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为222123,sss，试比较222123,sss的大小.（只需写出结论） (19)（本小题 15 分） 已知函数21( )ln(1)12f xaxxax. （）当0a 时，求曲线( )yf x在点(2(2)f，处的切线方程； （）若函数( )f x在 x = 1 处取得极小值，求实数a的取值范围. (20)（本小题 15 分） 已知椭圆C：22221(0)xyabab的长轴长为 4，且离心率为12. （）求椭圆C的
9、方程； （）设过点(1 0)F，且斜率为 k 的直线 l 与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交 x 轴于点D，判断ABDF是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由 (21)（本小题 14 分） 对于有限数列na，nN，3N，*N N，定义：对于任意的kN，*kN，有 （1）*123( ) |kS kaaaa； （2）对于cR，记123( ) |kL kacacacac. 对于*kN，若存在非零常数c，使得*( )( )L kS k，则称常数c为数列na的k阶系数. （）设数列na的通项公式为( 2)nna ，计算*(4)S，并判断2是否为数列的4阶系数； （）设数列na的通项公式为339nan，且数列na的m阶系数为3，求m的值； （）设数列na为等差数列，满足1，2均为数列na的m阶系数，且*( )507S m ，求m的最大值.
