1、2.2.3直线的一般式方程 名名 称称 几几 何何 条条 件件 方程方程 适用范围适用范围点斜式点斜式 斜截式斜截式两点式两点式截距式截距式bkxy)(00 xxkyy1byax点点P(x0,y0)和斜率和斜率k斜率斜率k, y轴上的纵截距轴上的纵截距b在在x轴上的截距轴上的截距a在在y轴上的截距轴上的截距bP1(x1,y1),P2(x2,y2)斜率斜率存在存在斜率斜率存在存在斜率存在，斜率存在，且不为且不为0斜率存在斜率存在,且不且不为为0,不经过原点不经过原点复习引入112121yyxxyyxx思考：上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？思考：上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？ ?
2、 x+ ? y+ ? =0bkxy 121121xxxxyyyy 1 byax0) 1( bykx0)()()()(1212112112 xxyyyxyxxxyy0)( abaybx上述四式都可以写成直线方程的上述四式都可以写成直线方程的一般一般形式：形式：Ax+By+C=0探究新知 00()y yk x x 00+( 1)()0kxyykx 任意直线任意直线l，当当l的斜率为的斜率为k时，时，在其上任取一点在其上任取一点P0(x0,y0)，其方程其方程为为y-y0=k(x-x0)，这是关于，这是关于x、y的二元一次方程的二元一次方程 当当l的斜率不存在的斜率不存在, 即直线即直线l的倾斜角为
3、的倾斜角为90时时，直线的方程为直线的方程为x-x0=0,上述方程可以认为是上述方程可以认为是y的系数为的系数为0的二元一次方程的二元一次方程 因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x、y的的二元一次方程表示二元一次方程表示.思考思考1 1 平面直角坐标系中的任意一条直线方程都可以用一个关于平面直角坐标系中的任意一条直线方程都可以用一个关于x, ,y的二元一次方程的二元一次方程Ax+ +By+ +C=0=0表示吗？表示吗？探究新知思考思考2 2 任意一个关于任意一个关于x，y 的二元一次方程的二元一次方程Ax+ +By+ +C=0=
4、0都表示都表示一条直线吗？一条直线吗？探究新知当当B0时时,当当B=0时时,BABC 这是直线的斜截式方程，它表示斜率是这是直线的斜截式方程，它表示斜率是 , 在在y轴上的截距是轴上的截距是 的直线的直线.表示垂直于表示垂直于x轴的一条直线轴的一条直线(0)CxAA 方程可化为方程可化为方程可化为方程可化为BCxBAy由上可知，关于由上可知，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线的二元一次方程都表示一条直线适用范围：适用范围：探究新知 0,.)0(,Ax yA BxByC其其 我我们们把把关关于于的的二二元元一一次次方方程程不不同同时时为为 叫叫做做直直线线的的简简称称一一般般式式方方程程一一
5、般般式式中中任意一条直线任意一条直线: 对于直线方程的一般式，规定：对于直线方程的一般式，规定：1)x的系数为正的系数为正;2)x,y的系数及常数项一般不出现分数的系数及常数项一般不出现分数;3)按含按含x项，含项，含y项、常数项顺序排列项、常数项顺序排列.yox探究：二元一次方程的系数对直线的位置的影响探究：二元一次方程的系数对直线的位置的影响在方程在方程Ax+By+C=0中，中，A,B,C为何值时，方程表示的直线为：为何值时，方程表示的直线为：(1)平行于平行于x轴轴;(2)平行于平行于y轴轴;(3)与与x轴重合轴重合;(4)与与y轴重合轴重合; (5)过原点过原点; l(5) C=0，A
6、、B不同时为不同时为0探究新知(1) A=0 , B0 ,C0(2) B=0 , A0 , C0(4) B=0 , A0, C=0(3) A=0 , B0 ,C=0llll4(6,)1 4,3.,A已已知知直直线线经经过过点点斜斜率率为为求求直直线线的的点点斜斜式式和和一一般般式式方方程程例例4(6, 4),344(6),3Ayx 解解： 经经过过点点斜斜率率为为的的直直线线的的点点斜斜式式方方程程是是,43120.xy化化为为一一般般式式 得得典例分析260,2,.xylxy把把直直线线的的一一般般式式方方程程化化为为斜斜截截式式 求求出出直直线线 的的斜斜率率以以及及它它在在 轴轴与与 轴
7、轴上上的的截截距距 并并画画出出图图形形例例13.21,3.2lyxlky 解解： 把把直直线线 的的一一般般式式方方程程化化为为斜斜截截式式因因此此 直直线线 的的斜斜率率它它在在 轴轴上上的的截截距距是是 260,0,6,6.lxyyxlx在在直直线线 的的方方程程中中 令令得得即即直直线线 在在 轴轴上上的的截截距距是是典例分析 ( 6,0),(0,3),.lxyABA Bl由由上上面面可可得得直直线线 与与 轴轴、 轴轴的的交交点点分分别别为为过过两两点点作作直直线线 就就得得到到直直线线Oxy11 2 1 123423 4 5 6 AB 结合例6，我们可以从几何角度看一个二元一次方程
8、，即一个二元一次方程表示一条直线 在代数中，我们研究了二元一次方程的解因为二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，所以这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合组成一条直线 平面直角坐标系是把二元一次方程和直线联系起来的桥梁，这是笛卡儿的伟大贡献在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示1.,:根根据据下下列列条条件件 写写出出直直线线的的方方程程 并并把把它它化化为为一一般般式式 1 (1)2(8),2402yxxy解解：化化成成一一般般
9、式式为为(2)20;y ( 2)3(3),104( 2)53yxxy化化成成一一般般式式为为 (4)1,230.332xyxy化化成成一一般般式式为为课堂练习1(1)(8, 2),; (2)(4,2),;2ABx经经过过点点斜斜率率是是经经过过点点平平行行于于 轴轴123(3)(3, 2),(5, 4); (4), 3.2PPxy经经过过点点在在 轴轴轴轴上上的的截截距距分分别别是是2.,:(1)350;(2)1;45(3)20;(4)7640.yxyxyxyxy求求下下列列直直线线的的斜斜率率以以及及在在 轴轴上上的的截截距距 并并画画出出图图形形 (1)35,3,5yxy解解：斜斜率率为为
10、在在 轴轴上上的的截截距距为为55(2)5420,5,544xyyxy斜斜率率为为在在 轴轴上上的的截截距距为为 11(3),022yxy斜斜率率为为在在 轴轴上上的的截截距距为为7272(4)674,.6363yxyxy斜斜率率为为在在 轴轴上上的的截截距距为为例例3 直线直线试讨论试讨论：(1) 的条件是什么？的条件是什么？ (2) 的条件是什么？的条件是什么？21/ll0:0:22221111CyBxAlCyBxAl，21ll 12121 212121212(2)1= 10 AAllllAABkkBBB，即即 1212121212111112222221/= / = /AACCllkkb
11、bBBBABCllABCB( (1 1) )且且，即即，解解：典例分析1.已知直线已知直线l1: x+(a+1)y-2+a=0和和l2: 2ax+4y+16=0，若若l1/l2，求，求a的值的值.2. 已知直线已知直线l1: x-ay-1=0和和l2: a2x+y+2=0，若，若l1l2，求求a的值的值.a=1a=1或或a=0小试牛刀点斜式点斜式00()yyk xx斜率斜率和和一点坐标一点坐标斜截式斜截式ykxb斜率斜率k和和截距截距b两点坐标两点坐标两点式两点式112121yyxxyyxx点斜式点斜式00()yyk xx两个截距两个截距截距式截距式1xyab最后都要最后都要化成一般式化成一般式Ax+By+C=0(A, B不同时为不同时为0)课堂小结
