1、人教版（人教版（2019）选择性必修一第一章空间向量与立体几何 培优测试卷）选择性必修一第一章空间向量与立体几何 培优测试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_学校：_姓名：_班级：_考号：_题号题号一一二二三三四四总分总分得分得分一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、在正方体1111ABCDABC D中，下列各式的运算结果为向量11B D的是( )111ADA AAB ；111BCBBDC ；11ADABDD ；1111B DAADD
2、.A.B.D.2、已知 O 为坐标原点，OA (1,2,3)，OB (2,1,2)，OP (1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上运动，则当QA QB 取得最小值时，点 Q 的坐标为()A.(12，34，13) B.(12，23，34) C.(43，43，83) D.(43，43，73)3、如图，在四面体 OABC 中，8OA ，6AB ，4AC ，5BC ，45OAC，60OAB，则 OA 与 BC 所成角的余弦值为( )A.32 25B.226C.12D.324、在正方体1111ABCDABC D中，M 为11AB的中点，则异面直线 AM 与1BC所成角的余弦值为( )A.105B.101
3、0C.32D.225、已知矩形ABCD中,1,3ABBC,将矩形ABCD沿对角线AC折起,使平面ABC与平面ACD垂直,则|BD uuu r( )A.102B.62C.52D.26、在棱长为 1的正方体1111ABCDABC D中，P 是底面 ABCD（含边界）上一动点，满足11APAC，则线段1AP 长度的取值范围是( )A.6, 22B.6, 32C.1, 2D. 2, 37、如图，在60二面角的棱上有两点 A、B，线段 AC、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 AB，若4ABACBD，则线段 CD 的长为（ ）A4 3B16C8D4 28、如图，在正三棱柱111ABCABC
4、中，1AB ，12AA ，D 是1BB的中点，则 AD 与平面11AAC C所成角的正弦值等于( ) A.22B.64C.32D.104二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9、在正方体1111ABCDABC D中，下列结论正确的是( )A.四边形11ABC D的面积为1|AB BCuu u ruuu r B.1ADuuur与1ABuuu r的夹角为 6
5、0C.2211111113AAADABABuuu ruuuu ruuu u ruuu u r D.111110ACABADuuu ruuu u ruuuu r10、给出下列命题,其中是真命题的是( )A.若, ,a b c可以作为空间的一组基底,d与c共线,0d,则, ,a b d也可以作为空间的一组基底B.已知向量/a b,则, a b与任何向量都不能构成空间的一组基底C.已知, ,A B M N是空间中的四点,若,BA BM BNuu r uuu r uuu r不能构成空间的一组基底,则, ,A B M N四点共面D.已知, ,a b c是空间的一组基底,若mac,则, ,a b m也是空
6、间的一组基底11、下列结论正确的是（ ）A.直线l的方向向量为(1, 1,2)a ，直线m的方向向量1(2,1,)2b ，则l与m垂直；B.直线l的方向向量(0,1, 1)a ，平面的法向量(1, 1, 1)n ，则l；C.平面、的法向量分别为12(0,1,3),(1,0,2)nn ，则/ /；D.平面经过三点(1,0, 1)(0,1,0),( 1,2,0)ABC,，向量(1, , )nu t是平面的法向量，则1ut .12、如图，在直三棱柱111ABCABC中，12ACBCAA，90ACB，D，E，F 分别为 AC，1AA，AB 的中点则下列结论正确的是（ ）A1AC与 EF 相交B11/
7、/BC平面 DEFCEF 与1AC所成的角为90D点1B到平面 DEF 的距离为3 22三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13、已知 M、N 分别是四面体 OABC 的棱 OA，BC 的中点，点 P 在线段 MN 上，且2MPPN，设向量OA a ，OB b ，OC c，则OP _14、在长方体1111ABC DABCD中，11AA ，3ADDC，Q 是线段11AC上一点，且11113C QC A，则点 Q 到平面1ADC的距离为_.15、P 是棱长为 1的正方体1111ABCDABC D的上底面1111ABC D上一点，则1PA
8、PCuu r uuu r的取值范围是_16、在正方体1111ABCDABC D中,点E是棱11BC的中点,点F是线段1CD上的一个动点.有以下三个命题： 异面直线1AC与1B F所成的角是定值； 三棱锥1BAEF的体积是定值； 直线1AF与平面11BCD所成的角是定值.其中真命题的是_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、如图，在三棱锥ABCD中， AB 平面 BCD，底面 BCD 是以 BD 为斜边的等腰直角三角形，ABBD,E 是线段 AC 上一点试问：当点 E 在什么位置时，
9、平面BDE 平面 ADC？ 18、如图,在四棱柱1111ABCDA B C D中,1AA 平面ABCD,底面ABCD满足/ /ADBC,且12,2 2ABADAABDDC.(1) 求证: AB 平面11ADD A;(2) 求直线 AB 与平面11B CD,所成角的正弦值.19、如图，三棱柱111ABCABC中，侧棱1AA 平面 ABC，ABC为等腰直角三角形，90BAC，且12ABAA，E、F 分别为1CC、BC 的中点.（1）若 D 是1AA的中点，求证：/BD平面 AEF；（2）若 M 是线段 AE 上的任意一点，求直线1B M与平面 AEF 所成角的正弦的最大值.20、如图，在三棱锥PA
10、BC中，2ABCABCPBAC ，是等腰直角PAC的斜边.（1）证明：平面PAC 平面 ABC.（2）过 AC 的平面交 BP于点 Q，若 Q 为棱 PB（异于 P，B）上的点，且AQQC，求二面角PAQC的余弦值.21、如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD 底面 ABCD，侧棱2PAPD，PAPD，底面 ABCD 为直角梯形，其中BCADP, ABAD, 1ABBC，O 为 AD 的中点. （1）求点 B 到平面 PCD 的距离；（2）在线段 PD 上是否存在一点 Q，使得二面角QACD的余弦值为63？若存在，求出PQQD的值；若不存在，请说明理由.22、等边ABC的边长为 3，点 D
11、，E 分别是边 AB，AC 上的点，且满足12ADCEDBEA（如图 1）.将ADE沿 DE折起到1ADE的位置，使平面1ADE 平面 BCED，连接1AB、1AC（如图 2）.（1）求证：1AD 平面 BCED；（2）在线段 BC 上是否存在点 P，使直线1PA与平面1ABD所成的角为 60？若存在，求出线段 BP 的长度；若不存在，请说明理由.人教版（人教版（2019）选择性必修一第一章空间向量与立体几何 培优测试卷）选择性必修一第一章空间向量与立体几何 培优测试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_学校：_姓名：_班级：_考号：_题号题号一一二二三三四四总分总分得分得分一、选择题：本题共一、
12、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、在正方体1111ABCDABC D中，下列各式的运算结果为向量11B D的是( )111ADA AAB ；111BCBBDC ；11ADABDD ；1111B DAADD .A.B.D.答案：C解析：11111ADA AABADABBD ，错；1111111111BCBBDCBCCCDCBCC DBD ，错；111111ADABDDB DDDB D ，对；1111111111B DAADDB DDDDDB D ，对.故
13、选 C.2、已知 O 为坐标原点，OA (1,2,3)，OB (2,1,2)，OP (1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上运动，则当QA QB 取得最小值时，点 Q 的坐标为()A.(12，34，13) B.(12，23，34) C.(43，43，83) D.(43，43，73)答案：C解析：设OQ OP ，则QA OA OQ OA OP (1，2，32)，QB OB OQ OB OP (2，1，22)，所以QA QB (1，2，32)(2，1，22)2(3285)23(43)213.所以当 43时，QA QB 取得最小值，此时OQ 43OP (43，43，83)，即点 Q 的坐标为(43，
14、43，83).3、如图，在四面体 OABC 中，8OA ，6AB ，4AC ，5BC ，45OAC，60OAB，则 OA 与 BC所成角的余弦值为( )A.32 25B.226C.12D.32答案：A解析：因为BCACAB ，所以()OA BCOAACAB OA ACOA AB |cos,| cos,OAACOA ACOAABOA AB 84cos13586cos12016 224 .所以2416 232 2cos,8 55|OA BCOA BCOA BC ，即 OA 与 BC 所成角的余弦值为32 25.4、在正方体1111ABCDABC D中，M 为11AB的中点，则异面直线 AM 与1B
15、C所成角的余弦值为( )A.105B.1010C.32D.22答案：A解析：以 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则(1,0,0)A，1(1,0,1)A，1(1,1,1)B，(0,1,0)C，1( 1,0, 1)BC uuu r， 12BCuuu r，MQ为11AB的中点， 11,12M.10,12AMuuur， 5|2AMuuur，异面直线 AM 与1BC所成角的余弦值为11110cos,5AM BCAM BCAMBCuuur uuu ruuur uuu ruuuruuu r. 故选 A.5、已知矩形ABCD中,1,3ABBC,将矩形ABCD沿对角线AC折起
16、,使平面ABC与平面ACD垂直,则|BD uuu r( )A.102B.62C.52D.2答案：A解析：分别过点,B D向AC作垂线,垂足为,M N,可得1313,12222AMBMCNDNMN.由于BDBMMNNDuuu ruuu ruuu ruuu r,所以22222|()|2()BDBMMNNDBMMNNDBM MNMN NDBM NDuuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuu r=22233512(000)222,所以10|2BD uuu r.故选 A.6、在棱长为 1的正方体1111ABCDAB
17、C D中，P 是底面 ABCD（含边界）上一动点，满足11APAC，则线段1AP 长度的取值范围是( )A.6, 22B.6, 32C.1, 2D. 2, 3答案：A解析：如图，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A，1(0,0,1)A，1(1,1,1)C，PQ是底面 ABCD（含边界）上一动点，设( , ,0)(01,01)P x yxy，则1( , , 1)APx yuuu r，1(1,1,1)AC uuu r，11APACQ，1110AP ACxy uuu r uuu r，22222221131(1)1222222APxyxxxxx uuu r，当12x 时，21APuuu r取最小值3
18、2，此时线段1AP的长度为62；当0 x 或1x 时，21APuuu r取最大值 2，此时线段1AP的长度为2，线段1AP长度的取值范围是6, 22.故选 A.7、如图，在60二面角的棱上有两点 A、B，线段 AC、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 AB，若4ABACBD，则线段 CD 的长为（ ）A4 3B16C8D4 2答案：D解析：分别过点A 、点D作BD、AB的平行线相交于点E，连接CE，则四边形ABDE为平行四边形.线段 AC、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 AB.ACAB，AEAB则CAE为二面角的平面角，即60CAE4ABACBD4ACBDAEA
19、BDE，如图所示.ACE为等边三角形，4CE ACDE，AEDE，ACAEA，AC 平面ACE，AE 平面ACEDE平面ACE又CE 平面ACEDECE在Rt CDE中2222444 2CDCEDE 故选：D8、如图，在正三棱柱111ABCABC中，1AB ，12AA ，D 是1BB的中点，则 AD 与平面11AAC C所成角的正弦值等于( ) A.22B.64C.32D.104答案：B解析：以 C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)C，3 1,022A，1(0,0,2)C，(0,1,1)D，所以3 1,022CAuu r，1(0,0,2)CC uuu r，3 1,122A
20、D uuu r.设平面11AAC C的一个法向量为( , , )x y zn，则13102220CAxyCCzuu ruuu r，nn 取1x ，得(1,3,0)n.设 AD 与平面11AAC C所成的角为，则|36sin424|ADADuuu ruuu rnn，所以 AD 与平面11AAC C所成角的正弦值为64.故选 B.二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得
21、 0 分分9、在正方体1111ABCDABC D中，下列结论正确的是( )A.四边形11ABC D的面积为1|AB BCuu u ruuu r B.1ADuuur与1ABuuu r的夹角为 60C.2211111113AAADABABuuu ruuuu ruuu u ruuu u r D.111110ACABADuuu ruuu u ruuuu r答案：ACD解析：易知四边形11ABC D为平行四边形，由 AB 面11BBC C，得1ABBC，所以四边形11ABC D为矩形，其面积为1|ABBCuuuu ruuu r，故 A 正确;1ACDQV是等边三角形，160ADCo，又11ABDCQP，
22、1D Auuu r与1ABuuu r的夹角，即1D Auuu r与1DCuuur的夹角为60，向量1ADuuur与1ABuuu r的夹角为 120，故 B 错误；由向量加法的运算法则可以得到111111AAADABACuuu ruuuu ruuu u ruuu r，221113ACABQ，2211111113AAADABABuuu ruuuu ruuu u ruuu u r，故 C正确；易得111111ABADD Buuu u ruuuu ruuuu r，Q在正方体111ABCDABC D中，11D B 平11AAC C,111D BAC,1110AC D Buuu r uuuu r，故 D
23、正确. 故选 ACD.10、给出下列命题,其中是真命题的是( )A.若, ,a b c可以作为空间的一组基底,d与c共线,0d,则, ,a b d也可以作为空间的一组基底B.已知向量/a b,则, a b与任何向量都不能构成空间的一组基底C.已知, ,A B M N是空间中的四点,若,BA BM BNuu r uuu r uuu r不能构成空间的一组基底,则, ,A B M N四点共面D.已知, ,a b c是空间的一组基底,若mac,则, ,a b m也是空间的一组基底答案：ABCD解析：根据基底的概念,知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一组基底,否则就不能构成空间的一组基底.显然
24、B选项是真命题.对于选项 C，由,BA BM BNuu r uuu r uuu r不能构成空间的一组基底，知,BA BM BNuu r uuu r uuu r共面，所以, ,A B M N四点共面，即C是真命题.对于选项 A 和选项 D，假设d与, a b共面，则存在实数, ，使得dab,因为d与c共线, 0c, 0d，所以存在实数0k ，使kdc，从而kkcab，故c与, a b共面，与条件矛盾,因此d与, a b不共面,所以 , , a b d也可作为空间的一组基底，同理可证 D 也是真命题.11、下列结论正确的是（ ）A.直线l的方向向量为(1, 1,2)a ，直线m的方向向量1(2,1
25、,)2b ，则l与m垂直；B.直线l的方向向量(0,1, 1)a ，平面的法向量(1, 1, 1)n ，则l；C.平面、的法向量分别为12(0,1,3),(1,0,2)nn ，则/ /；D.平面经过三点(1,0, 1)(0,1,0),( 1,2,0)ABC,，向量(1, , )nu t是平面的法向量，则1ut .答案：12、如图，在直三棱柱111ABCABC中，12ACBCAA，90ACB，D，E，F 分别为 AC，1AA，AB 的中点则下列结论正确的是（ ）A1AC与 EF 相交B11/ /BC平面 DEFCEF 与1AC所成的角为90D点1B到平面 DEF 的距离为3 22答案：BCD解析
26、：对选项 A，由图知1AC 平面11ACC A，EF I平面11ACC AE，且1.EAC由异面直线的定义可知1AC与EF 异面，故 A 错误；对于选项 B，在直三棱柱111ABCABC中，11BC / BCDQ，F 分别是 AC，AB 的中点，/ /FDBC，11BC / FD又11BC 平面 DEF，DF 平面 DEF，11BC / /平面.DEF故 B 正确；对于选项 C，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0C，0，0)，(2A ，0，0)，(0B ，2，0)，1(2A，0，2)，1(0B，2，2)，1(0C，0，2)，(1D ，0，0)，(2E，0，1)，(1F ，1，0)(
27、1EF ，1，1)，1( 2AC ，0，2)12020EF AC ，1EFAC ，1EFACEF与1AC所成的角为90，故 C 正确；对于选项 D，设向量(nx，y，) z是平面 DEF 的一个法向量(1DE ，0，1)，(0DF ，1，0)，由nDEnDF ，即00n DEn DF，得00.xzy， 取1x ，则1z ，(1n，0，1)，又1( 1DB ，2，2)，设点1B到平面 DEF 的距离为 d 11 023 222DB ndn ，点1B到平面 DEF 的距离为3 22，故 D 正确 故选：BCD三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20
28、 分分13、已知 M、N 分别是四面体 OABC 的棱 OA，BC 的中点，点 P 在线段 MN 上，且2MPPN，设向量OA a ，OB b ，OC c，则OP _答案：111633abc解析：212111111()333232336OPONOMOBOCOAbca 14、在长方体1111ABC DABCD中，11AA ，3ADDC，Q 是线段11AC上一点，且11113C QC A，则点 Q 到平面1ADC的距离为_.答案：33解析：如图，以11D A，11DC，1D D所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,1)D，(0, 3,1)C，1( 3,0,0)A，1
29、(0, 3,0)C，(0, 3,0)DCuuu r，1( 3,0, 1)DA uuu r，11( 3,3,0)C A uuuu r，由11113C QC Auuu ruuuu r，得3 2 3,033Q， 3 2 3, 133DQuuu r，设平面1ADC的法向量为( , , )x y zn， 由10,0,DCDAnnuuu ruuu r得30,30,yxz取1x ，则3z ，0y ，(1,0, 3)n，点 Q 到平面1ADC的距离|3|3DQdnnuuu r.15、P 是棱长为 1的正方体1111ABCDABC D的上底面1111ABC D上一点，则1PA PCuu r uuu r的取值范围
30、是_答案：1,02解析：以 D 为原点，以 DA 所在的直线为 x 轴，DC 所在的直线为 y 轴，1DD所在的直线为 z 轴,建立空间直角坐系，如图所示，则(1,0,0)A，1(0,1,1)C. 设点 P 的坐标为( , , )x y z，由题意可得01x ,01y ，1z ，(1, 1)PAxyuu r，1(,1,0)PCxy uuu r，221(1)(1)0PA PCxxyyxxy uu r uuu r22111222yxy，当12xy时，1PA PCuu r uuu r取得最小值，最小值为12；当0 x 或 1，且0y 或 1 时，1PA PCuu r uuu r取得最大值，最大值为
31、0.故1PA PCuu r uuu r的取值范围是1,02.16、在正方体1111ABCDABC D中,点E是棱11BC的中点,点F是线段1CD上的一个动点.有以下三个命题： 异面直线1AC与1B F所成的角是定值； 三棱锥1BAEF的体积是定值； 直线1AF与平面11BCD所成的角是定值.其中真命题的是_答案： 解析：以点A为坐标原点,1,AB AD AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴 建立空间直角坐标系如图所示不妨设正方体棱长为 1，则11111,1,0 ,0,0,1 ,1,0,1 ,1,1,1 ,0,1,1CABCD.根据题意设,1,101()F ttt ，则11(1,1,1),(1,1
32、,)ACB Fttuuu ruuu r,所以110ACB Fuuu r uuu r，所以异面直线1AC与1B F所成的角是 90为定值，所以正确；对于，因为三棱锥1BAEF的底面1ABE面积为定值，且11CDBAP，而点 F 是线段1CD上的一个动点，所以点F到平面1ABE的距离为定值,所以三棱锥1BA EF的体积是定值，故正确；xxzxyx对于，因为1111( ,1,),(0,1, 1),( 1,1,0)AFtt BCB D uuu ruuu ruuuu r，可得平面11BCD的一个法向量为1,1,1n，所以1cos,AF nuuu r不是定值，故错误四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6
33、 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、如图，在三棱锥ABCD中， AB 平面 BCD，底面 BCD 是以 BD 为斜边的等腰直角三角形，ABBD,E 是线段 AC 上一点试问：当点 E 在什么位置时，平面BDE 平面 ADC？ 解析：不妨设2AB ，在平面 BCD 中作BFBD，以 B 为坐标原点，BF,BD,BA 所在直线分别为 x 轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz，则(0,0,0)B，(0,0,2) A，(0,2,0)D，(1,1,0)C. 设当平面BDE 平面 ADC 时，(01)AEECuu
34、 u ruu u r,易得( 1,1,0)CD uuu r，( 1, 1,2)CA uu r.设111,x y zm是平面 ACD 的一个法向量，则0,0,CDCAuuu ruu rmm即111110,20,xyxyz取11x ，则11y ，11z ，所以平面 ACD 的一个法向量为(1,1,1)m.因为AEECuu u ruu u r，所以点 E 的坐标为2,111,所以2,111BEuu u r，(0,2,0)BD uuu r.设222,xyzn是平面 BDE 的一个法向量，则0,0,BEBDuu u ruuu rnn即222220,11120,xyzy取21x ，则22z ，所以平面 B
35、DE 的一个法向量为1,0,2n.因为平面BDE 平面 ADC，所以mn，即0m n =，所以102，解得2.所以当|2|AEECuu u ruu u r，即点 E 为线段 AC 上靠近点 C 的三等分点时，平面BDE 平面 ADC.18、如图,在四棱柱1111ABCDA B C D中,1AA 平面ABCD,底面ABCD满足/ /ADBC,且12,2 2ABADAABDDC.(1) 求证: AB 平面11ADD A;(2) 求直线 AB 与平面11B CD,所成角的正弦值.解析：(1)证明：在ABC中,2,2 2ABADBD由勾股定理得,90BADABAD1AA 平面ABCD,AB 平面ABC
36、D1AAAB又1AAADAAB 平面11ADD A.(2) 由(1)知,1,AB AD AA两两垂直,分别以1,AB AD AA为x轴,y轴z轴建立空间直角坐标系则11(0,0,0), (2,0,0),(2,4,0),(2,0,2),(0,2,2)ABCBD111(2,0,0),(0,4, 2),( 2,2,0)ABB CB D 设平面11B CD的法向量为( , , )nx y z11100n B Cn B D 即420220yzxy 令1x ,则1,2yz,(1,1,2)n设直线 AB 与平面11B CD所成角为, 26sin|cos,|6| |26AB nAB nABn .19、如图，三
37、棱柱111ABCABC中，侧棱1AA 平面 ABC，ABC为等腰直角三角形，90BAC，且12ABAA，E、F 分别为1CC、BC 的中点.（1）若 D 是1AA的中点，求证：/BD平面 AEF；zxyxxx（2）若 M 是线段 AE 上的任意一点，求直线1B M与平面 AEF 所成角的正弦的最大值.解析：（1）证明：连接1DC，1BC.因为 D、E 分别是1AA、1CC的中点，所以1ADC E，又1/AD C E，所以四边形1ADC E是平行四边形，所以1/AE DC，因为 E，F 分别是1CC，BC 的中点，所以1/EF BC，所以平面/AEF平面1BDC.又BD 平面1BDC，所以/BD
38、平面 AEF.（2）以 A 为坐标原点，AB，AC，1AA所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示则(0,0,0)A，1(2,0,2)B，(0,2,1)E，(1,1,0)F，(0,2,1)AEuu u r，(1,1,0)AF uuu r.设平面 AEF的法向量为( , , )x y zn，由0,0,AEAFnnuu u ruuu r得20,0,yzxy 令2z ，得1x ，1y ，所以平面 AEF 的一个法向量为(1, 1,2)n.设( , , )M a b c，(01)AMAEuuuruu u r，则(0,2 , )AM uuur，所以(0,2 , )M ，所以1
39、( 2,2 ,2)B M uuuu r，设直线1B M与平面 AEF 所成角为，则111sincos,B MB MB Mnnnuuuu ruuuu ruuuu r222222|1 ( 2)( 1)22(2)|1( 1)2( 2)(2 )(2) 2266654854826(01)236555，易知当25时，max30(sin )6.故直线1B M与平面 AEF 所成角的正弦的最大值为306.20、如图，在三棱锥PABC中，2ABCABCPBAC ，是等腰直角PAC的斜边.（1）证明：平面PAC 平面 ABC.（2）过 AC 的平面交 BP于点 Q，若 Q 为棱 PB（异于 P，B）上的点，且AQ
40、QC，求二面角PAQC的余弦值.解析：(1)证明：如图所示，取 AC 的中点 O，连接 BO，OP.ABCQV是等边三角形，.OBACACQ是等腰直角PACV的斜边,POACBOP是二面角PACB的平面角. 又2222221,2POACOAPOBOAOBOABBP.BOP=900平面PAC 平面ABC.(2) 连接 OQ，由(1)知AC 平面 POB，OQ Q平面,POBOQAC，则QCQA，,2,2AQCQ ACQCQAPCQ，由余弦定理得222222cos22BCPBPCBCBQCQPBCBC PBBC BQ，即24424222222BQBQ ，解得1BQ 或2BQ ，2,1,BQBPBQ
41、BQPQ Q Q是 PC 的中点.分别以 OA，OB，OP 所在直线为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则3 1(0,0,0), (1,0,0),( 1,0,0), (0,0,1),0,.22OACPQ3 1( 1,0,1),1,( 2,0,0)22APAQAC uu u ruuu ruuu r.设平面 APQ 的法向量为( , , )x y zm，则00APAQmmuu u ruuu r，即031022xzxyz ，令3x ，得(3, 3,3)m，同理可得平面 ACQ 的一个法向量为(0,1,3)n.2 37cos,|7212 m nm nmn二面角PAQC的余弦值为77.21、
42、如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD 底面 ABCD，侧棱2PAPD，PAPD，底面 ABCD 为直角梯形，其中BCADP, ABAD, 1ABBC，O 为 AD 的中点. （1）求点 B 到平面 PCD 的距离；（2）在线段 PD 上是否存在一点 Q，使得二面角QACD的余弦值为63？若存在，求出PQQD的值；若不存在，请说明理由.解析：在PADV中， PAPD,O 为 AD 的中点，POAD又Q侧面PAD 底面 ABCD，平面PAD 平面ABCDAD,PO 平面 PADPO平面 ABCD，又OC 平面 ABCD，POOC.在PADV中，PAPDQ, 2PAPD，2ADOQ为 AD 的
43、中点，1OAOD.在直角梯形 ABCD 中， ABAD，易知四边形 ABCO 为正方形，OCAD.以 O 为坐标原点，OC 所在直线为 x 轴，OD 所在直线为 y 轴，OP 所在直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,1)P，(0, 1,0)A，(1,0,0)C，(1, 1,0)B，(0,1,0)D.（1）(1, 1, 1)PB uur，( 1,0,1)CP uur，(0,1, 1)PD uuu r，设平面 PCD 的一个法向量为( , , )x y zn,则0,0,CPPDuuruuu rnn即0,0.xzyz 令1z ，得(1,1,1)n，则点 B 到平面 PCD 的距
44、离|3|3PBduurnn.（2）存在，(1,1,0)AC uuu r，设(01)PQPDuuu ruuu r.(0,1, 1)PD uuu rQ，(0, ,)OQOPPQuuu ruu u ruuu r，(0, ,1)OQuuu r，(0, ,1)Q，(0,1,1)AQuuu r.设平面 CAQ 的一个法向量为111,x yzm，则0,0,ACAQuuu ruuu rmm即11110,(1)(1)0.xyyz 令11z ，得(1,1,1) m.易知平面 CAD 的一个法向量为(0,0,1)OP uu u r，Q二面角QACD的余弦值为63，|cos,|OPOPOP uu u ruu u ru
45、u u rmmm222|1|63(1)(1)(1)，化简并整理，得231030.解得13或3（舍去），线段 PD 上存在点1 20, ,3 3Q，使得二面角QACD的余弦值为63，此时12PQQD.22、等边ABC的边长为 3，点 D，E 分别是边 AB，AC 上的点，且满足12ADCEDBEA（如图 1）.将ADE沿 DE折起到1ADE的位置，使平面1ADE 平面 BCED，连接1AB、1AC（如图 2）.（1）求证：1AD 平面 BCED；（2）在线段 BC 上是否存在点 P，使直线1PA与平面1ABD所成的角为 60？若存在，求出线段 BP 的长度；若不存在，请说明理由.解析：（1）证明
46、：在ADE中，1AD ，2AE ，60A，得222cos603DEADAEAD AE，所以222ADDEAE，从而ADDE，所以在题图 2 中，1ADDE.又平面1ADE 平面 BCED，平面1ADE 平面BCEDDE，1AD 平面1ADE，所以1AD 平面 BCED.（2）由（1）知，1AD，DB，DE 两两垂直，以 DB，DE，1DA所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则(2,0,0)B，1(0,0,1)A，1 3 3,022C，则3 3 3,022BC uu u r，1(2,0, 1)AB uuu r，假设线段 BC 上存在点 P，使直线1PA与平面1ABD所成的角为 60，设33 3,022BPBC uuruu u r，其中0,1，则1133 32, 122APABBPuuu ruuu ruur.易知平面1ABD的一个法向量(0,1,0)n，则111sin60cos,APAPAP nnnuuu ruuu ruuu r223 323233 32122.解得56，此时55|62BPBCuuruu u r.所以存在满足要求的点 P，且线段 BP 的长度为52.
