1、1.3.1空间直角坐标系空间直角坐标系2021.7新课程标准解读新课程标准解读核心素养核心素养1.了解空间直角坐标系1了解空间直角坐标系的建系方式(直观想象)2掌握空间向量的正交分解及其坐标表示(直观想象)3能在空间直角坐标系中求出点 的 坐 标 和 已 知 坐 标 作 出点(直观想象)2.会用空间直角坐标系刻画点的位置空间向量基本定理空间向量基本定理 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用i，j，k表示 把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解|i|j|k|1.且ijjkik0，这是其他一般基底所没有的如果
2、三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)， pxaybzc 1.空间直角坐标系空间直角坐标系 (1)定义 在空间选定一点O和一个单位正交基底i,j,k,以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.xyzOjik 点O叫做原点，向量 都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面， Oyz平面， Oxz平面。它们把空间分成八个部分, ,i j k xyzO (2)画法画轴 画空间直角坐标系Oxyz时，一般
3、使xOy=135(或45),yOz=90.建系 建立右手直角坐标系. 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.Oxyz2. .点的坐标点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量OA，且点A的位置由向量OA唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OA=xi+yj+zk. 在单位正交基底i, j, k 下与向量OA对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的
4、纵坐标,z叫做点A的竖坐标.xyzOA(x,y,z)ijk 3.向量的坐标向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作a=(x,y,z). 这样在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示.xyzOijkA(x,y,z)1、在空间坐标系Oxyz中， ( 分别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量)则AB的坐标为 ，点B的坐标为 。2、点M（2,-3,-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正投影的坐标分别为 ，
5、关于原点的对称点为 ，关于x轴的对称点为 ，关于y轴的对称点为 ，关于z轴的对称点为 ，23ABijk i j k , ,(1,-2,-3)不确定（2,-3,0） （2,0,-4） （0,-3,-4）（-2, 3,4）（2, 3, 4）（-2,-3,4）（-2,3,-4）在坐标平面的正投影，缺哪个轴，则该值为0.关于哪个轴对称，则该值不变，其余互为相反数.题型一题型一求空间点的坐标求空间点的坐标例1在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD3，AB5，AA14，建立适当的坐标系写出此长方体各顶点的坐标C(D)A1B1C1D1AB如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z
6、轴建立空间直角坐标系Oxyz所以D(0,0,0)Oxyz同理：C(0,5,0)，D1(0,0,4)点B在x轴，y轴，z轴射影分别为A，C，O，它们在坐标轴上的坐标分别为3,5,0，所以点B的坐标为(3,5,0)同理得A1(3,0,4)，C1(0,5,4)由B1在Oxy平面内的射影为B(3,5,0)，所以B1的横坐标为3，纵坐标为5，因为B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，所以B1的竖坐标为4，所以点B1的坐标为(3,5,4)C(D)A1B1C1D1ABOxyz如图所示，四棱锥D-OABC中，建立空间直角坐标系Oxyz，若OD2，OA4，OC6，M是BD的中点，求点M的坐标ABCODMzxy
7、法一：点M在x轴，y轴，z轴上的射影分别为M1，M2，M3，它们在坐标轴上的坐标分别为2，3，1，所以点M的坐标是(2，3，1)如图所示的空间直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，AB2，PA4，则PD的中点M的坐标为_BACDPxyzMO点M在x轴、y轴、z轴上的射影分别为M1，O，M2，题型二题型二求空间向量的坐标求空间向量的坐标xyzOABB1A1O1D( )用坐标表示空间向量的步骤用坐标表示空间向量的步骤观图形充分观察图形特征用运算建坐标系根据图形特征建立空间直角坐标系综合利用向量的加减及数乘运算将所求的向量用已知的基向量表示出来，确定坐标定结果ABCDMN因为PAABAD1，PA平面
8、ABCD，ABAD，以AD，AB，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示xyz题型三题型三空间向量的坐标应用空间向量的坐标应用角度1对称问题在空间直角坐标系中，点P(2,1,4)(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于Oxy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，1，4)的对称点的坐标(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为(2，1，4)(2)由于点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为(2，1，4)点M为线段PP1的中点，由中点坐标公式，可得P1(6，3，12)角度2距离问题如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，|AB|AD|3，|AA1|2，点M在A1C1上，|MC1|2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求线段MN的长度CDA1B1C1D1ABNM如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系xyz由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，因为|DD1|CC1|AA1|2，所以C1(3,3,2)，D1(0,3,2)，M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，所以M(1,1,2)
