1、1.2 空间向量基本定理共线向量定理共线向量定理:共面向量定理共面向量定理:复习对任意两个空间向量a，b(b0)，ab的充要条件是如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是如图，设 是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量 ， 能否用 表示呢？i j k, , , ,p O Ppi j k, , , ,OijpPk新知1.1.2-OOP=OQ+QQPOPi j 如图，设为在 , 所确定的平面上的投则影向量，.z,QP=zOP+P=OQQ zkkk 又向量， 共线，因此存在唯一而的实数，从使得().x yOQxyi jij在确定的平
2、面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对 ，使得, , ,.OP=OQ+z =x +y +zkijk 从而因此，如果 是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量 ，存在唯一的有序实组 ，使得 .我们称 分别为向量 在 上的分向量.i j k, , ,p()x y z, , , ,xyzpijkxyzijk， ，i j k, , , ,p思考 你能证明唯一性吗？证明：假设这种表示形式不唯一，即 还可以表示成 ，那么 .可得 .由向量 不共面可以得到 i j k, , , ,pxyzpijkxyzxyzijkijk()()()x-xy-yz-zijk0 x=x ,y=y ,z=z
3、 .探究 在空间中，如果用任意三个不共面的向量 代替两两垂直的向量 ，你能得出类似的结论吗？a b c, , , ,i j k, , , ,新知空间向量基本定理 如果三个向量 不共面,那么对任意一个空间向量 ,存在唯一的有序实数组 ,使得p()x y z, , , ,.xyzpabca b c, , , ,我们把 叫做空间的一个基底， 都叫做基向量.所有空间向量组成的集合就是a b c, , , ,a b c, , , ,|xyzx y zppabc R, , , , , ,新知单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 表示.空间
4、向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量 ，均可以分解为三个向量 ，使 ，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.i j k, , , ,axyzijk， ，xyzaijk(1)构成空间的基底是唯一的吗？(2)基底选定后，空间中向量用基底表示，表示形式唯一吗？(3)基向量可以为零向量吗？思考答案：不唯一答案：唯一答案：不可以.因为零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面.新知A例1 如图1.2-2， 是四面体 的棱 的中点，点 在线段 上，点 在线段 上，且 用向量 表示 . NMOABCBCOMPAN1324MNON
5、APAN, , ,OA OB OC , , ,OP 分析： 是三个不共面的向量，它们构成空间的一个基底 ， 可以用基底 表示出来.OA OB OC , , ,OA OB OC , , ,OP OA OB OC , , ,解：33()44=OP OAAPOAANOAONOA 331324444311 1 ()42 2111.444=OAONOAOAOMOAOBOCOAOBOC 用基底表示向量(分解向量)的步骤： 定基底找目标下结论用基底表示向量(分解向量)的步骤： 定基底找目标下结论1 1 11111 11 114456060.-例1.如图，在平行六面体中， 分别为，的中点.求证：ABCD AB
6、CDABADAADABBAAMNDCCBMNAC11a b c ，ACAB BC CC1111-22ab ，MNMCC N1 我们用它们表示， 则MNAC1abca,b,c 设= ，= ，= ， 这三个向量不共面，证明构成空间的一个基底，：ABADAA11a b c ，ACAB BC CC1111-22ab ，MNMCC N1 我们用它们表示， 则MNAC1abca,b,c 设= ，= ，= ， 这三个向量不共面，证明构成空间的一个基底，：ABADAA11122aba+b+c 所以MN AC222111144cos604 5 cos604cos602222 21144 5 cos6022 0.
7、1.MNAC所以111111222222a aa ba cb ab bb c在几何体中求空间向量的数量积、证明平行与垂直，求两条直线的夹角分解向量，转化为已知模和夹角的向量的数量积最后利用数量积的定义求解2.1 例如图，正方体的棱长为，分别为，的中点 .（1）求证：/；ABCDABCDEFGCDADDDEFAC, ,ijki j k （1）设， 则构成空间的一个单位正交基底 .DADCDD证证明明：111()222ijij 所以，EFDFDE（2）因为解解：12jk ，CECCCE12ik ，AGADDG11222cos.5| |5522j kik ，CE AGCE AGCEAG所以2.5CE
8、AG所以与所成角的余弦值为11111111113.223例如图，在长方体中，是与的交点. 若，求的长.ABCDABC DMACBDD ADCD DB M1首先用适当的基底表示， 然后利用模长公式.B M分分析析：11 111abc 设，BABCBB解解 ：222222111111122442|=ab cabca b a c bc因为 BMBM1144 9 11.44 111.B M所以的长为1111 11 1111().222ab c 则BM BB BM BBBA BC1、空间向量基本定理2、用基底表示向量的步骤：定基底、找目标、下结论3、在几何体中求空间向量的数量积、证明平行与垂直，求两条直线的夹角分解向量，转化为已知模和夹角的向量的数量积利用数量积的定义求解课本P14练习2
