1、2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）专题6 直线的交点坐标与距离公式一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知的三个顶点分别是，M是边BC上的一点，且的面积等于面积的，那么线段AM的长等于A5BCD2两条直线，之间的距离为（ ）ABCD133动点P在直线x+y-4=0上，O为原点，则|OP|的最小值为ABCD24点M(1,2)关于y轴的对称点N到原点的距离为 ()A2B1CD55已知直线与互相垂直，垂足坐标为，则的值为（ ）A-4B0C16D206设两条直线的方程分别为,已知是方程的两个实根,且,则这两条直线之间的距离的最大值和
2、最小值分别为( )ABCD7已知，且满足，则 的最小值为 ABCD8直线2x3yk0和直线xky120的交点在x轴上，则k的值为()A24B24C6D6二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9若两条平行直线：与：之间的距离是，则的可能值为（ ）ABCD10对于，下列说法正确的是（ ）A可看作点与点的距离B可看作点与点的距离C可看作点与点的距离D可看作点与点的距离11已知三条直线y2x，xy3，mxny50交于一点，则坐标(m，n)可能是（ ）A(1，3)B(3，-4)C(3，1)D(4，3)12等腰直角三角形中，若点，的坐标分别为，则点的坐标可能是.A(6，4)B(
3、2，0)C(4，6)D(0，2)三、填空题：本题共4小题13已知点M(5,3)和点N(3,2)，若直线PM和PN的斜率分别为2和，则点P的坐标为_14经过直线l1：x3y40和l2：2xy50的交点，并且经过原点的直线方程是_15已知直线l：xy20，一束光线从点P(0，1)以120的倾斜角投射到直线l上，经l反射，则反射光线所在的直线方程为_.16已知直线ax+by-2=0，且3a-4b=1，则该直线必过定点_.四、解答题：本题共6小题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在中，边上的高所在的直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，若点的坐标为（1）求点的坐标；（2）求直线BC的方程；（
4、3）求点C的坐标18已知两直线l1：x+8y+7=0和l2：2x+y1=0（1）求l1与l2交点坐标；（2）求过l1与l2交点且与直线x+y+1=0平行的直线方程19求证：不论m为何值，直线都通过一定点.20已知直线l经过直线2xy50与x2y0的交点(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值21直线l过定点P(0,1)，且与直线l1：x3y100，l2：2xy80分别交于A、B两点若线段AB的中点为P，求直线l的方程22如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）规划在公路l上选两个点P、Q，并修
5、建两段直线型道路PB、QA规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离参考答案1A【解析】由于的面积等于面积的，故，设，由得，解得，即，所以.故选A.2B【解析】两条直线的方程分别为：，两条直线之间的距离，故选：B.3B【解析】由题|OP|的最小值即为，O点到直线的
6、距离.4C【解析】根据对称性知道点N(1,2)，由两点间距离公式得到|ON| 故选：C.5D【解析】由两条直线互相垂直，得，又垂足坐标为 ，都代入直线即，得，将代入直线，得，故.故选：6C【解析】由已知得两条直线的距离是，因为是方程的两个根，所以，则，因为，所以，即.故选：C7C【解析】为直线上的动点，为直线上的动点，可理解为两动点间距离的最小值，显然最小值即两平行线间的距离：.故选C8A【解析】直线和直线的交点在轴上，可设交点坐标为故选A9AB【解析】由题意，所以，所以：，即，由两平行直线间的距离公式得，解得或，所以或.故选：AB10BCD【解析】由题意，可得，可看作点与点的距离，可看作点与
7、点的距离，可看作点与点的距离，故选项A不正确，故答案为：BCD.11AB【解析】由得，由三条直线相交于一点，可知m1n250，即，对于A选项：，故A选项满足；对于B选项：，故B选项满足；对于C选项：，故C选项不满足；对于D选项：，故D选项不满足，故选：AB.12BC【解析】解：设，则，解得：或，则点的坐标可能是(2，0)或(4，6).故选：BC.13(1，5)【解析】设P(x，y)，则有解得.答案：(1，5).143x19y0.【解析】联立方程，解得，两直线的交点为（，），直线的斜率为=，直线的方程为y=x，即3x+19y=0故答案为：3x19y015xy(1)0【解析】如图，设入射光线与交于
8、点Q，反射光线与x轴交于点P，由入射光线倾斜角为120可得入射光线所在直线的斜率为，又入射光线过点P(0，1)，入射光线所在的直线方程为，即xy(1)0.解方程组得，所以点Q的坐标为(1，1).过点Q作垂直于的直线l，则直线l的方程为yx.由反射原理知，点P(0，1)关于l的对称点P(1，0)必在反射光线所在的直线上.所以反射光线所在直线的方程为，即xy(1)0.16(6，-8)【解析】由3a-4b=1，得b=，代入ax+by-2=0，得a(4x+3y)=y+8，令解得，所以该直线过定点(6，-8).故答案为：(6，-8).17（1）（2）（3）【解析】（1）直线和直线的交点得，即的坐标为，（
9、2）直线为边上的高，由垂直得， ，所以直线BC的方程为（3）的平分线所在直线的方程为，A(-1,0),B（1，2），,设的坐标为，则，解得 ，即的坐标为18（1）（1，1）；（2）x+y=0【解析】（1）联立两条直线的方程可得：，解得，所以l1与l2交点坐标是（1，1）（2）设与直线x+y+1=0平行的直线l方程为x+y+c=0，因为直线l过l1与l2交点（1，1），所以c=0，所以直线l的方程为x+y=019证明见解析.【解析】证明：将原方程按m的降幂排列，整理得，此式对于m的任意实数值都成立，根据恒等式的要求，m的一次项系数与常数项均等于零，故有解得所以m为任意实数时，所给直线必通过定点.
10、20（1） （2）【解析】解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y503即22520，2或l的方程为x2或4x3y50(2)由解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d|PA|(当lPA时等号成立)dmax|PA|21x4y40【解析】解法一：设A(x0，y0)，由中点公式，有B(x0，2y0)，A在l1上，B在l2上，kAP，故所求直线l的方程为yx1，即x4y40.解法二：设所求直线l方程为ykx1，由方程组，由方程组，A、B的中点为P(0,1)，k.故所求直线l的方程为x4y40.解法三：设A(x1，y1)、B
11、(x2，y2)，P(0,1)为MN的中点，则有 代入l2的方程，得2(x1)2y180，即2x1y160.由方程组解得由两点式可得所求直线l的方程为x4y40.解法四：同解法一，设A(x0，y0)，两式相减得x04y040，(1)考察直线x4y40，一方面由(1)知A(x0，y0)在该直线上；另一方面P(0,1)也在该直线上，从而直线x4y40过点P、A根据两点决定一条直线知，所求直线l的方程为x4y40.考点：直线相交，直线方程.22（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+（百米）.【解析】解法一：（1）过A作，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.因为PBAB，所以.所以.
12、因此道路PB的长为15（百米）.（2）若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处，连结AD，由（1）知，从而，所以BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当OBP90时，在中，.由上可知，d15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当PBAB，点Q位于点C右侧，且CQ=时
13、，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）.解法二：（1）如图，过O作OHl，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，3.因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（4，3），直线AB的斜率为.因为PBAB，所以直线PB的斜率为，直线PB的方程为.所以P（13，9），.因此道路PB的长为15（百米）.（2）若P在D处，取线段BD上一点E（4，0），则EO=45，所以P选
14、在D处不满足规划要求.若Q在D处，连结AD，由（1）知D（4，9），又A（4，3），所以线段AD：.在线段AD上取点M（3，），因为，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当OBP90时，在中，.由上可知，d15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q（a，9），由，得a=，所以Q（，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当P（13，9），Q（，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为（百米）.
