1、2021-2022学年度高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程测试卷一、单选题1若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）ABCD2若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD3已知是双曲线：上的一点，是的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）ABCD4与椭圆9x24y236有相同焦点，且过点(4，0)的椭圆的方程是（ ）AB1CD5已知椭圆的焦点在轴上，焦距为4，则等于（ ）A8B7C6D56已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若的周长为6，且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为（ ）ABCD7如图所示，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点
2、，交其准线于点，若，且，则的值为（ ）A1B2CD38已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则该抛物线的准线方程为（ ）ABCD9如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点，若过点的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）ABCD10如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，A，B分别是，在第二、四象限的公共点，若，且，则与的离心率之和为（ ）A4BCD二、填空题11写出一个与双曲线共渐近线的双曲线的标准方程_.(不同于原双曲线)12以椭圆的对称轴为坐标轴，若该椭圆短轴的一个端点与两焦点是一个正三角形的三个顶点，焦点在轴上，且，则椭圆的标准方程是_13已知椭圆的长轴
3、长为，则的焦距为_14椭圆的短轴长为_.15若一双曲线与椭圆4x2y264有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为_16“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面千米，则椭圆形轨道的焦距为_千米.17设，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且满足（是坐标原点），则直线的斜率为_18椭圆：的上下顶点分别为，如图，点在椭圆上，平面四边形满足，且，则该椭圆的短轴长为_.19已知点P为抛物线C：上的动点，过点P作
4、圆M：的一条切线，切点为A，则的最小值为_20已知椭圆的左右焦点分别为，过原点的直线与C交于A，B两点(A在第一象限)，若，且，则椭圆离心率的取值范围是_.三、解答题21过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求22已知抛物线的焦点为，点在上，且（为坐标原点）（1）求的方程；（2）若是上的两个动点，且两点的横坐标之和为（）设线段的中垂线为，证明：恒过定点（）设（）中定点为，当取最大值时，且，位于直线两侧时，求四边形的面积23已知点是圆上任意一点，点与点关于原点对称，线段的垂直平分线分别与，交于，两点.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点的动直线与点的轨迹交于，两点，在轴上是否存在定点，
5、使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.24已知椭圆C的焦点为F1(1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若|AF2|3|BF2|，|BF1|5|BF2|，求椭圆C的方程.25设抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，O为坐标原点，已知，（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F作直线l交C于A，B两点，P为C上异于A，B的任意一点，直线分别与C的准线相交于D，E两点，证明：以线段为直径的圆经过x轴上的两个定点 参考答案1A 【详解】由题意可知，解得：，所以双曲线的渐近线方程为. 2D 【详解】渐近线为，即，.，. 3A 【详解】由题知，所以，解得.
6、4D【详解】由1可知，所求椭圆的焦点在y轴上，且c25，故A，C不正确；再将点(4，0)分别代入B，D检验可知，只有D选项符合题意5A 【详解】解：椭圆的焦点在轴上，即，且，又焦距为4，得 6A 【详解】由椭圆的定义可得，当点为上顶点或下顶点时，的面积取得最大值为，又，由，得，椭圆的标准方程为 7B 【详解】过作准线的垂线，垂足为，则，由，得直线的倾斜角为45设，由，得，又， 8B 【详解】由抛物线的方程，可得其准线为，又由抛物线上点到其焦点的距离为，则到准线的距离为，则有，解得：，即抛物线的准线方程为； 9A 【详解】因为过点的直线圆的切线，所以由椭圆定义可得，可得椭圆的离心率10B【详解】
7、解：、是椭圆与双曲线的公共焦点，、分别是、在第二、四象限的公共点，且，又O为AB的中点，所以，所以为等边三角形，可得：，设椭圆方程为，双曲线方程为，将点，代入椭圆方程可得：，即，可得，可得，又因，解得将点，代入双曲线方程可得：，即可得：，可得：，又因，解得，则与的离心率之和为：11(答案不唯一)【详解】与双曲线共渐近线的双曲线为，即，所以可以填.故答案为：(答案不唯一)12【详解】设椭圆的左、右焦点分别为，椭圆短轴的一个端点为，如图，已知是正三角形，可得，联立，解得，椭圆的标准方程是故答案为：.13【详解】因为椭圆的长轴长为，所以，解得，所以，即，故的焦距为.14【详解】因为，所以椭圆的焦点在
8、轴上，所以，则椭圆的短轴长为.故答案为：15【详解】椭圆4x2y264可变形为，a264，c2641648，焦点为，离心率，则双曲线的焦点在y轴上，故双曲线的方程为.故答案为：16【详解】设椭圆长轴长为，焦距为，月球半径为，则，两式作差，可得，椭圆形轨道的焦距为千米.故答案为：85.17或【详解】如图，设在x轴上方，因为为的中点，所以等价于即，即，,则，直线的倾斜角为中，由余弦定理得所以同理设，在中可求得所以因为，代入解得，所以，即，即由于对称性，也可以在轴下方，所以斜率为故答案为：或186【详解】解：根据题意可得，设，可得点，在以为直径的圆上，又原点为圆上的弦的中点，所以圆心在的垂直平分线上
9、，所以圆心在轴上，所以，又得，故圆心坐标为，所以圆的方程为，将代入结合，解得，所以，短轴长为6.故答案为：6.19【详解】由已知得：，设点，则，当时，取得最小值故答案为：20【详解】直线AB过原点，所以A，B关于原点对称，即又，四边形为矩形则在中， A在第一象限，令，则有，即故答案为：21【详解】由得，所以即，所以右焦点，因为直线的倾斜角是，且直线经过右焦点，所以直线的方程为，由可得：，所以，所以.22（1）；（2）（）证明见解析；（）.【详解】解：（1）由抛物线的性质得，所以根据抛物线的定义得：，解得，所以的标准方程为（2）设，且（）证明：设中点为，则，当时，；当时，则，令，得，故直线过定点
10、综上，恒过定点（）由（）知直线，即，所以直线与抛物线联立方程消去，整理得，由，得，当且仅当时等号成立，所以的最大值为10，此时直线的方程为对于直线，所以点在同侧，不合题意，对于直线，满足，位于直线两侧，所以直线，点到直线的距离，点到直线的距离，所以23（1）（2）在轴上存在定点满足题意.【详解】（1）由题意得，点的轨迹为以为焦点的椭圆，点的轨迹的方程为.（2）当直线的斜率存在时，可设其方程为，设联立可得，由求根公式可得假设在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点，则即，由解得在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点.当直线的斜率不存在时，经检验可知也满足以为直径的圆恒过点.因此在轴上存在定点，
11、使以为直径的圆恒过这个点.24.【详解】解：设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b.|AF2|3|BF2|，|AB|4|BF2|.又|BF1|5|BF2|，|BF1|BF2|2a，|BF2|，|AF2|a，|BF1|.|AF1|AF2|2a，|AF1|a，|AF1|AF2|=a，A在y轴上如图所示，在RtAF2O中，cosAF2O，在BF1F2中，由余弦定理可得cosBF2F1，根据cosAF2OcosBF2F10，可得，解得a22，b2a2c2211.椭圆C的方程为.25（1）；（2）证明见解析【详解】（1）设点，因为点M在抛物线C上，则得，即因为，则 因为，则，即，所以，化简得，解得，所以抛物线C的方程是 （2）设直线l的方程为，代入，得设点，则 设点则k，直线的方程为令，得，所以点 同理，点 设以线段为直径的圆与x轴的交点为，则 因为，则，即，得或 故以线段为直径的圆经过x轴上的两个定点和
