1、3.1.2 椭圆的简单几何性质一知识梳理椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：(0，0)顶点A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e，e(0，1)a，b，c的关系c2a2b2二 每日一练一、单选题1已知椭圆，以原点为圆心的圆（圆的半径小于）的面积为，且经过椭圆的焦点，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，若，两点间的距离的最小值为，则椭圆的离心率为（ ）ABC
2、D2“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕着陆巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里若此时远火点距离约为11945公里，火星半径约为3395公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为（ ）ABCD3已知椭圆：，过椭圆左顶点，且斜率为的直线交椭圆于另外一点，椭圆右焦点为，轴，则椭圆的离心率
3、为（ ）ABCD4已知椭圆：.则椭圆的离心率的取值范围为（ ）ABCD5已知椭圆：的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）AB4CD86已知椭圆的左右焦点分别是，直线与椭圆交于，两点，且，则椭圆的离心率是（ ）ABCD7设椭圆C：的左、右焦点分别为，过的直线与C交于A，B两点，若为等边三角形，则C的离心率为（ ）ABCD8椭圆的离心率为则（ ）ABCD二、多选题9已知点，和在椭圆：上，则（ ）A的焦点为B的离心率为C直线的斜率小于1D的面积最大值为3102月10日19时52分，首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星附近一点P变轨进入以火星星球球心F为一个焦点的椭圆轨道I(环火轨道)绕火星飞行，20
4、21年2月24日6时29分，“天问一号”探测器成功实施第三次近火制动，在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道(火星停泊轨道)，且测得该轨道近火点m千米远火点n千米，火星半径为r千米，若用和分别表示椭圆轨道I和焦距，用和分别表示椭圆轨道I和的长轴长，则下列关系中正确的是（ ）ABC椭圆轨道的短轴长D11已知F为椭圆的一个焦点，A，B为该椭圆的两个顶点，若，则满足条件的椭圆方程为（ ）A B C D12已知椭圆C：内一点M(1,2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（ ）A椭圆的焦点坐标为(2,0)(-2,0)B椭圆C的长轴长为C直线的方程为D三、填空题
5、13已知是椭圆的一个焦点，过F的直线交该椭圆于两点，线段的中点坐标为，则该椭圆的离心率是_14已知椭圆的右焦点为，直线与交于，两点，若，则椭圆的离心率为_.15设椭圆：的右焦点为，过原点的动直线与椭圆交于，两点，若，那么_.16椭圆的焦点坐标为_四、解答题17已知椭圆，为椭圆的左右焦点，为椭圆的上顶点，椭圆的焦距为，的内切圆半径为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点，且的面积满足，求直线的方程.18已知椭圆的离心率为，椭圆过点（1）求椭圆的标准方程:（2）设点、分别是椭圆的左顶点和上顶点，、为椭圆上异于、的两点，满足，判断的面积是否为定值，并给出理由.19如图所示，已知
6、椭圆：的离心率为，且过点，（1）求椭圆的方程；（2）设在椭圆上，且与轴平行，过作两条直线分别交椭圆于两点，直线平分，且直线过点，求四边形的面积20已知椭圆的离心率为，且过点，A，B分别为椭圆E的左，右顶点，P为直线上的动点（不在x轴上），与椭圆E的另一交点为C，与椭圆E的另一交点为D，记直线与的斜率分别为，（）求椭圆E的方程；（）求的值；（）证明：直线过一个定点，并求出此定点的坐标21已知椭圆C：的离心率为，且C经过点（1）求C的方程；（2）已知F为C的右焦点，A为C的左顶点，过点F的直线l与C交于M，N两点（异于点A），若的面积为，求l的斜率22椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于、两点，当是
7、的中点时，（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆在点、处的切线交于点，为坐标原点，求证：直线平分线段附：椭圆上一点处的切线方程为参考答案1A设椭圆的左焦点为，圆的半径为，则，解得：，圆经过椭圆的焦点，又，两点间的距离的最小值为，且，即，解得：，椭圆的离心率2A设椭圆的方程为()，由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，最大值为，根据题意可得近火点满足，解得，所以椭圆的离心率为，3A解：因为轴，则点的横坐标为，且点在椭圆上，代入椭圆方程，解得点坐标，又椭圆左顶点坐标为，直线斜率为，所以有，即，代入可得，即 解得（舍）或，则离心率为.4C解：椭圆方程为：，则椭圆的长半轴长为，又短半轴长为，则离
8、心率为，则.5C由题意知，所以，又因为，所以，所以椭圆的长轴长为.6B由椭圆的对称性，得.设，则.由椭圆的定义，知，即，解得，故，.在中，由余弦定理，得，即，则，故.7A由于为等边三角形，根据椭圆的对称性可知，在中，所以.8C由椭圆方程可知，所以，椭圆的离心率.9BCD解：将，的坐标代入椭圆的方程得且，得，所以椭圆的方程为，其焦点为，故A错误离心率为，故B项正确根据题意，可知点在曲线段之间，因为直线的斜率为1，所以直线的斜率小于1，故C项正确由于直线的斜率为，所以设与平行且与椭圆相切的直线为，将其代入椭圆方程整理得，由得或，当时，切点为不合题意，舍去，当时，切点为，即当取时，的面积最大，因为直
9、线为，所以直线与切线间的距离为，所以的面积最大值为，故D项正确10BC11BCD由题意，已知F为椭圆的一个焦点，其中为该椭圆的两个顶点，且，当为左右两个顶点时，可得，解得，所以，此时椭圆的方程为；当为椭圆短轴的顶点，为长轴的顶点时，可得解得，则，此时椭圆的方程为；当为椭圆长轴的顶点，为短轴的顶点时，可得，解得，则，此时椭圆的方程为.12BCDA：由椭圆方程知：其焦点坐标为，错误；B：，即椭圆C的长轴长为，正确；C：由题意，可设直线为，则，联立椭圆方程并整理得：，M为椭圆内一点则，可得，即直线为，正确；D：由C知：，则，正确.13设，因为在椭圆上，所以，所以，所以，因为线段的中点坐标为，所以，且
10、，所以，所以且，所以，14根据题意，把代入中，得，不妨设，且，则到直线的距离为，由，得，则，平方计算得.15根据题意，直线过原点，由椭圆的对称性可知，如图所示，已知，所以四边形是平行四边形，则，由椭圆的定义可知，所以.16根据椭圆方程，可得，所以，所以，所以焦点坐标为，17（1）；（2）直线或.（1）由题意得：，解得：，椭圆的标准方程为；（2）由（1）知：，由题意知：直线斜率不为零，设直线，由得：，即，即，即，整理可得，化简得：，直线方程为：或.18（1）；（2）是定值，答案见解析.（1）由题意得，解得，则椭圆的标准方程: （2）设、，由题意得直线、的斜率存在，设直线的方程为，设直线的方程为，
11、由得，显然，解得，即，由得，显然，解得，即，易得，直线的方程为，所以点到直线的距离为，所以，所以的面积为定值1.19（1）；（2）解：（1）由离心率，得（*），由于点在椭圆上，故（*），联立（*）（*）得，所以椭圆的方程为（2）由直线过点，可设：，它与椭圆的方程联立得，设，则，因为直线平分，所以，即，整理得，将代入上式并化简得，所以，所以，所以，所以四边形的面积20（）；（）；（）证明见解析，定点坐标.（1）由条件可知：且，解得，所以椭圆的方程为；（2）因为，设，所以，所以；（3）设，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以， 又因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以直线过定点.21（1）；（2）1或解：（1）由题意可得，解得，椭圆C的方程为：（2）由（1）可知，设直线l的方程为，则点A到直线l的距离，联立方程，消去x得：，设，直线l的方程为：或，直线l的斜率为1或22（1）；（2）证明见解析.解：（1）当是的中点时，轴，当时，又，椭圆的方程为（2）证明：设，则切线方程为：，切线方程为：，直线的方程为：，又直线过点，故，即直线方程为，若，则在轴上，轴，由对称性可知，直线平分线段；若，设直线方程为，其中，联立直线与椭圆的方程有，消去并整理可得，设中点为，则，三点共线，则直线平分线段；综上：直线平分线段
