1、1.4.1用空间向量研究直线.平面的位置关系一 知识梳理直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个(2)平面的法向量定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量确定：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面的法向量为m
2、lnmnm0lnmnm平面，的法向量分别为n，mnmnmnmnm0二 每日一练一、单选题1设a，b是两条直线，是两个平面，且，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2已知平面内有一点A(2，1,2)，它的一个法向量为，则下列点P中，在平面内的是（）A(1，1,1)B(1,3，)C(1，3，)D(1,3，)3已知，则平面ABC的一个单位法向量为（ ）ABCD4在空间直角坐标系内，平面经过三点，向量是平面的一个法向量，则（ ）ABC5D75平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，则平面与的位置关系是（ ）A平行B相交且不垂直C相交且垂直D不确定6设直线
3、、的方向向量分别为，若，则等于（ ）A2B2C6D107若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）A B C D与斜交8平面的一个法向量是,，平面的一个法向量是,6,，则平面与平面的关系是（ ）A平行B重合C平行或重合D垂直二、多选题9已知平面过点，其法向量，则下列点不在内的是（ ）ABCD10已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，对于结论： ； ； 是平面的法向量； 其中正确的是（ ）ABCD11(多选)若A(1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ）A(1，2，3)B(1，3，2)C(1，2，3)D(1，3，2)12已知为直线l的方向向量，分别为平面，
4、的法向量（，不重合），那么下列选项中，正确的是（ ）ABClDl三、填空题13在棱长为9的正方体中，点，分别在棱，上，满足，点是上一点，且平面，则四棱锥外接球的表面积为_.14已知直线l在平面外，且是直线l的方向向量，是平面的法向量，则直线l与平面的位置关系为_.15已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为(1，3，z)，向量(3，2，1)与平面平行，则z_.16已知分别是平面，的法向量，则，三个平面中互相垂直的有_对四、解答题17如图在正方体中，E、F分别是棱，的中点.求证：为平面的一个法向量.18如图所示，垂直于正方形所在的平面，与平面所成角是，是的中点，是的中点.求证：平面.19如图
5、，在四棱锥中，底面，点为棱的中点.证明：（1）；（2）平面；（3）平面平面.20如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，、分别是、的中点，.求证：（1）平面；（2）平面平面.21如图所示，正方体的棱长为，过顶点、截下一个三棱锥（1）求剩余部分的体积；（2）证明平面22如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD2，侧面PBC底面ABCD，E为PB的中点求：（1）求证：平面ADP；（2）求证：平面PAD平面PAB；参考答案1C，则是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，则由得，必要性满足，反之若，则法向量，充分性满足，应是充要条件2B对于选项A，则，故排除A；
6、对于选项B，则对于选项C，则，故排除C；对于选项D，则，故排除D；3B设平面的法向量为，则有取，则.所以因为，所以平面的一个单位法向量可以是.4D，可得，5C因为，所以平面平面，6D直线、的方向向量分别为，且，解得7B解：，即，.8C平面的一个法向量是,，平面的一个法向量是,6,，平面与平面的关系是平行或重合9BCD由平面过点，其法向量，对于A，点在内，故A错误；对于B，点不在内，故B正确；对于C，点不在内，故C正确；对于D，点不在平面内，故D正确.10ABC，所以，所以，故 正确；，所以，所以，故正确；因为与不平行，所以是平面所以是平面的法向量，故正确因为，因为，所以与不平行，故错误11AC
7、故直线l的一个方向向量为(1，2，3)或(1，2，3)12AB解：为直线l的方向向量，分别为平面，的法向量（，不重合），则，l，l或l.13以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，由，则，设， ，设平面的法向量为，则，即，不妨令，则，得，因为平面，所以，即，解得，所以，由平面，且底面是正方形，所以四棱锥外接球的直径就是，由，得，所以外接球的表面积.14平行因为，且直线l在平面外，所以直线l与平面平行.159因为l，所以，所以(1，3，z)(3，2，1)0，即36z0，所以z9.160因为，.所以中任意两个向量都不垂直，即，中任意两个平面都不垂直17证明见解析由题意，以点D为原点，直线，分别为x，
8、y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，可得，所以，所以，且平面，平面，所以平面，所以为平面的一个法向量.18证明见解析证明：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，由与平面所成的角为，得，则，则，.设平面PFB的法向量为，则，即.令，则，故平面的一个法向量为.，又平面PFB，则平面PFB.19（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.因为底面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系.可得、，由为的中点，得.（1）向量，故，所以，；（2）因为平面，平面，平面，所以向量为平面的一个法向量，而，所以，又因为平面，所以平面；（3）由（2）
9、知平面的一个法向量为，向量，设平面的一个法向量为，则，取，可得平面的一个法向量为，所以，平面平面.20（1）证明见解析；（2）证明见解析.以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则、，所以、，.（1）因为，所以，即.又平面，平面，所以平面;（2）因为，所以，同理可得，即，.又，所以平面.平面，所以平面平面.21（1）；（2）见解析.（1）由题意，正方体的棱长为，则正方体的体积为，又三棱锥的体积， 所以剩余部分的体积；（2）如图建立空间直角坐标系，则，有，所以，且，面A1DB，面，所以面 22（1）证明见详解；（2）证明见详解；（1）取的中点，连接，则，且，又且,所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面ADP，平面ADP，所以CE平面ADP. （2）取的中点，连接，为等边三角形，即,平面底面，为交线， 平面,底面.以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.，则.，, 即, 即又 , 平面,平面.平面,平面平面.
