1、1.3空间向量及运算的坐标表示一知识梳理(1)设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)ab(a1b1，a2b2，a3b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)， a(a1，a2，a3)，aba1b1a2b2a3b3，aba1b1a2b2a3b30， aba1b1，a2b2，a3b3(R)，cosa，b .(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则(x2x1，y2y1，z2z1)二，每日一练（一）、单选题1若的三个顶点坐标分别为，则的形状是（ ）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等边三角形2已知空间三点，若，且，则点的坐标为（ ）ABC或D 或3已知向量=(1，0，
2、1)，=(0，1，1)，O为坐标原点，则三角形OAB的面积为（ ）ABC1D4已知，则向量与的夹角是（ ）A90B60C45D305已知，则以为邻边的平行四边形的面积为（ ）ABC4D86若向量，且与的夹角余弦为，则等于（）ABC或D27已知向量，下列与垂直的向量是（ ）ABCD8已知l，且l的方向向量为(2，m，1)，平面的法向量为，则mA8B5C5D8（二）、多选题9如图，在正方体中，点，分别是棱和的中点，则下列选项正确的是（ ）ABCD10已知空间四点，则下列说法正确的是（ ）ABC点O到直线的距离为DO，A，B，C四点共面11已知直线的方向向量分别是，若且则的值可以是（ ）ABCD12
3、(多选)已知，且，则（ ）AxBxCyDy4（三）、填空题13若，且，则与的夹角的余弦值为_14已知，则的最小值是_15若向量，则向量的夹角为_16点P(3，2，1)关于平面xOz的对称点是_，关于z轴的对称点是_，关于M(1，2，1)的对称点是_（四）、解答题17如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N分别为A1B1，A1A的中点（1）求BN的长；（2）求A1B与B1C所成角的余弦值；18假设在一个以米为单位的空间直角坐标系中，平面内有一跟踪和控制飞行机器人的控制台，的位置为.上午10时07分测得飞行机器人在处，并对飞行机器人发出指令：以速度米/秒
4、沿单位向量作匀速直线飞行(飞行中无障碍物)，10秒后到达点，再发出指令让机器人在点原地盘旋秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到米/秒，然后保持米/秒，再沿单位向量作匀速直线飞行(飞行中无障碍物)，当飞行机器人最终落在平面内发出指令让它停止运动.机器人近似看成一个点.（1）求从点开始出发20秒后飞行机器人的位置；（2）求在整个飞行过程中飞行机器人与控制台的最近距离(精确到米).19已知.（1）若，分别求与m的值；（2）若，且与垂直，求.20在空间直角坐标系中，点P(2，1，4)（1）求点P关于x轴的对称点的坐标；（2）求点P关于xOy平面的对称点的坐标；（3）求点P关于点M(2，1，4)的对称点
5、的坐标21如图，在长方体中，为棱的中点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系（1）求点的坐标；（2）求点的坐标22已知，求，参考答案1A ，因为 ，所以是锐角，因为，所以是锐角，因，所以所以是锐角，所以为锐角三角形2C设，则，因为，所以，所以，又，解得或，所以或，3D，由于，所以，所以三角形OAB的面积为，4A依题意，则，所以，所以，即向量与的夹角是905A解析：设向量的夹角为，于是由此可得所以以为邻边的平行四边形的面积为.6A解：向量，解得7D，所以与垂直，D选项符合.8Al，直线l的方向向量与平面的法向量垂直220，m89ACD以为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，A
6、正确；，B错；，C正确；，D正确10ABC，A正确；，B正确；，所以，所以点O到直线的距离为，C正确；，假设若O，A，B，C四点共面，则共面，设，则，此方程组无解，所以O，A，B，C四点不共面，D错11AC，若且，则，解得或，所以或.12BD解：因为所以，因为 ，所以3(12x)4(2x)且3(4y)4(2y2)，所以x，y4131解：因为，所以，因为，所以，得，所以3316得，所以所以14解：由已知，得(2，t，t)(1t，1t，t)(1t，2t1，0)所以所以当t时，的最小值为15根据题意，设向量的夹角为，向量则向量则又由，则16(3，2，1) (3，2，1) (5，2，3) 点P(3，2
7、，1)关于平面xOz的对称点是(3，2，1)，关于z轴的对称点是(3，2，1)设点P(3，2，1)关于M(1，2，1)的对称点为(x，y，z)则解得故点P(3，2，1)关于点M(1，2，1)的对称点为(5，2，3)故答案为： (3，2，1)； (3，2，1)；(5，2，3)17（1）；（2）.（1）如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz.依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，|，线段BN的长为.（2）依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，(1，1，2)，(0，1，2)，10(1)1223.又|，|.cos.故A1B与B1C所成角的余弦值为.18 （1）；（2）米
8、.19 （1）设飞行时间为秒，的位置当时，当时，所以得当时当时，所以秒后飞行机器人的位置（2）当时定义域内单调递减，当时当时 ，答：在整个行驶过程中飞行机器人与控制台的最近距离米.19（1）=，m=3；（2）.解：（1）由，得，解得（2），且化简得，解得.因此20（1）(2，1，4)；（2）(2，1，4)；（3）(6，3，12)（1）由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(2，1，4)（2）由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(2，1，4)（3）设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点由中点坐标公式，可得x22(2)6，y2(1)13，z2(4)412，所以P3(6，3，12)21（1），；（2）.（1）为坐标原点，则，点在轴的正半轴上，且，同理可得：，点在坐标平面内，同理可得：，与的坐标相比，点的坐标中只有坐标不同，综上所述：，.（2）由（1）知：，则的中点为，即.22； .； .
