1、第二章 直线和圆的方程 单元测试卷一、单选题1已知圆，点是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直线为l1，直线l2的方程为，那么（ ）A，且l2与圆O相离Bl1l2，且l2与圆O相切C，且l2与圆O相交Dl1l2，且l2与圆O相离2圆与圆的位置关系是（ ）A内切B外切C相交D外离3设直线：与圆：相交于、两点，若，则圆的面积为（ ）.ABCD4阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点、间的距离为，动点与、距离之比为，当、不共线时，面积的最大值是（ ）.ABCD5过点的直线l将圆分成两段弧，
2、当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率为（ ）ABCD6已知圆内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是（ ）ABCD7若原点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）ABCD8已知直线，点，若直线与线段AB有公共点，则实数的取值范围是（ ）A，B，C，D，二、多选题9已知直线，以下结论正确的是（ ）A不论为何值时，与都互相垂直；B当变化时，与分别经过定点和C不论为何值时，与都关于直线对称D如果与交于点M，则的最大值是10已知直线过点，且与直线以及轴围成一个底边在轴上的等腰三角形，则（ ）A直线与直线的斜率互为相反数B直线与直线的倾斜角互补C直线在轴上的截距为-1D这样的直线有两条11瑞士
3、著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”若满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ）A圆上的点到原点的最大距离为B圆上存在三个点到直线的距离为C若点在圆上，则的最小值是D若圆与圆有公共点，则12瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”在平面直角坐标系中作，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ）A的“欧拉线”方程为B圆上点到直线的最大距离为C若点在圆上，则的最小值是D圆与圆有公共点，则的取值范围是，三、填空题13已知点，若
4、点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为_.14已知直线经过点，直线经过点，如果那么_15设点，若直线与线段没有交点，则的取值范围是_.16已知直线，与两坐标轴分别交于、两点当的面积取最小值时（为坐标原点），则的值为_四、解答题17已知ABC中，BC边上的高所在的直线方程为，A的平分线所在的直线方程为y=0，点C的坐标为(1，2).（1）求点A和点B的坐标；（2）过点C作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点M、N，求MON（O为坐标原点）的面积最小值及此时直线l的方程.18已知P、为圆上的动点，A(2，0)，B(1，1)为定点（1）求线段AP中点M的轨迹方程；（2）若PBQ=90，求线段
5、PQ中点N的轨迹方程19已知的三个顶点、.（1）求边所在直线的方程；（2）边上中线的方程为，且，求点A的坐标.20已知圆过点，且圆心在直线上（1）求圆的标准方程（2）设直线与圆交于不同的两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由21如图，已知圆，过点的直线与圆相交于，两点（1）当时，求直线的方程；（2）已知在圆上，且，求四边形面积的最大值22在平面直角坐标系中，已知圆，圆与圆关于点对称（1）求圆的方程；（2）若过平面上一点存在无穷多对互相垂直的直线和，的斜率存在且不为，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足
6、条件的点的坐标参考答案1A【解析】点P(a，b)在圆O内部，=|r|，l2与圆O相离.故选：A2A【解析】由，得，所以圆的圆心，半径，由，得，所以圆的圆心，半径，所以，所以两圆内切，故选：A3C【解析】由题意：，圆的标准方程为，圆心到直线的距离，故，故选：C4D【解析】如图，以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建系，如图：则、，设，两边平方并整理得：，所以圆的半径为，面积的最大值是.故选：D5C【解析】圆的圆心为，在圆内.所以当时，劣弧所对的圆心角最小，.故选：C6B【解析】由题意可知，当过圆心且过点时所得弦为直径，当与这条直径垂直时所得弦长最短，圆心为，则由两点间斜率公式可得，所以与垂直
7、的直线斜率为，则由点斜式可得过点的直线方程为，化简可得，故选：B7C【解析】根据题意，圆的圆心为，半径为，必有，若原点在圆的外部，则有，则有，综合可得：；故选：C.8A【解析】若直线与线段有公共点，则、在直线的两侧（也可以点在直线上）.令，则有，即.解得，故选：A.9ABD【解析】对于A，恒成立，恒成立，A正确；对于B，对于直线，当时，恒成立，则过定点；对于直线，当时，恒成立，则恒过定点，B正确；对于C，在上任取点，关于直线对称的点的坐标为，代入方程知：不在上，C错误；对于D，联立，解得：，即，即的最大值是，D正确.故选：ABD.10AB【解析】因为直线与及轴围成一个底边在轴上的等腰三角形，所
8、以与的倾斜角互补，斜率互为相反数，故选项A，B均正确；由直线的斜率为2，知直线的斜率为-2，可得直线的方程为，令，可得在轴上的截距为，故选项C错误；过且斜率为的直线只有一条，故选项D错误.故选：AB11BD【解析】由题意，为等腰三角形，的欧拉线即的垂直平分线，、，的中点坐标为，直线的斜率为，则的垂直平分线方程为，即由“欧拉线”与圆相切，所以，圆心到直线的距离为，则圆的方程为，圆心到原点的距离为，则圆上的点到原点的最大距离为，故A错误；圆心到直线的距离为，圆上存在三个点到直线的距离为，故B正确；的几何意义为圆上的点与定点连线的斜率，设，即，则直线与圆有公共点，由，解得，的最小值是，故C错误；的圆
9、心坐标，半径为，圆的圆心坐标为，半径为，要使圆与圆有公共点，则圆心距的范围为，所以，,解得，故D正确故选：BD12ACD【解析】解：，由题意可得三角形的欧拉线为的中垂线，由，点可得的中点为，且，线段的中垂线方程为：，即，故正确；三角形的“欧拉线”与圆相切，圆心到直线的距离，圆的方程为：，圆心到直线的距离，圆上点到直线的距离的最大值为，故错误；令，代入圆的方程，可得，由于在圆上，有根，则，整理得：，解得：，的最小值为，即的最小值为，故正确；圆心坐标，半径为，圆的的圆心坐标为，半径为，要使圆与圆有公共点，则圆心距，即圆心距，即：，解得，故正确故选：13【解析】因为点，所以直线的方程为，即；且，因为
10、的面积为2，设点到直线的距离为，则，可得，设点，则点到的距离，可得，所以或，解得：，所以使得的面积为2的点的个数为个，故答案为：.14或【解析】解:因为直线经过点，且，所以的斜率存在，而的斜率可能不存在，下面对a进行讨论：当，即时，的斜率不存在，的斜率为0，此时满足当，即时，直线的斜率均存在，设直线的斜率分别为由得，即，解得综上，a的值为或故答案为：或15【解析】 直线与线段没有交点,即直线与线段没有交点对于直线,令,则,则直线恒过点 根据题意,作出如下图像: , 根据两点求斜率公式可得:直线的斜率为 , 根据两点求斜率公式可得:直线的斜率为 直线的斜率为若直线与线段没有交点，则，故答案为：.
11、16【解析】由题设得：，当的面积，令，则，当，即时，取得最小值 故答案为：17（1），；（2）的面积最小值为4，此时直线l的方程是.【解析】（1）因为点A在BC边上的高所在的直线x-2y+1=0上，且在A的平分线所在的直线y=0上，所以解方程组得A(-1，0).因为BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0，所以kBC=-2，因为点C的坐标为(1，2)，所以直线BC的方程为2x+y-4=0，因为kAC=1，kAB=-kAC=-1，所以直线AB的方程为x+y+1=0，解方程组得B(5，-6)，故点A，点B的坐标分别为(-1，0)，(5，-6).（2）依题意得直线的斜率存在，设直线l的方程为y-
12、2=k(x-1)(k0)，则M，N(0，2-k)，所以SMON=(2-k)=4，当且仅当= ，即时取等号，所以(SMON)min=4，此时直线l的方程是2x+y-4=0.18（1）；（2）.【解析】（1）设点，圆上一点为，因为为AP中点，故满足，变形得，代入圆的方程得：，化简得；（2）设点，在中，设为原点坐标，连接，则，化简得，故线段PQ中点N的轨迹方程为19（1）；（2）点A坐标为或.【解析】解：（1）由、得边所在直线方程为，即；（2），则，所以，A到边所在直线的距离为，所以，则或，由于A在直线上，故或，解得或，所以或.20（1） ；（2） 不存在；理由见解析【解析】（1）设圆的方程为，则有
13、，解得，所以圆的方程为，化为标准方程，（2）设存在符合条件的实数，由于直线垂直平分弦，故圆心必在直线上，所以直线的斜率，又，所以把直线，代入圆的方程，消去，整理得由于直线交圆于，两点，故，解得，与矛盾，故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦21（1）或；（2）【解析】（1）圆的半径为，则，在中，由余弦定理可得，解得，设直线的方程为，则点到直线的距离，于是，解得，所以直线的方程为或（2）当直线与轴弄直时，况四边形的面积，当直线与轴不垂直时，设直线方程为，即，则直线方程为，即，点到直线的距离为，点到直线的距离为，则四边形面积，令（当时，四边形不存在），四边形面积的最大值为22（1）；（2）所有满足条件的点的坐标为和点【解析】解：（1）设圆的圆心的坐标为，圆与圆关于点对称，与关于点对称，由中点坐标公式，得，即，圆的方程为；（2）设点满足条件，不妨设直线的方程为，则直线的方程为圆和圆的半径相等，直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，圆心到直线的距离和圆心到直线的距离相等，即，整理，得，从而或的取值有无穷多个，或解得或这样的点只可能是点或点经检验，点和点都满足条件，所有满足条件的点的坐标为和点
