1、2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）3.1.2 椭圆的简单几何性质一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1椭圆的焦点的坐标为（ ）A，B，C，D，2万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（ ）cmABCD3椭圆的离心率是（ ）ABCD4椭圆
2、的左、右焦点为，过垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若为等边三角形，则椭圆C的离心率为（ ）ABCD5椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（ ）A2B4CD6阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为.若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的的标准方程为（ ）A或B或C或D或7已知椭圆：，过点的直线交椭圆于，两点.若中点坐标为，则椭圆的离心率为（ ）ABCD8已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点M，则M的坐标为（ ）ABCD二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中
3、，有多项符合题目要求9已知椭圆=1与椭圆=1有相同的长轴，椭圆=1的短轴长与椭圆=1的短轴长相等，则下列结论不正确的有（ ）Aa2=25，b2=16Ba2=9，b2=25Ca2=25，b2=9或a2=9，b2=25Da2=25，b2=910设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A， B两点，则下述结论正确的是（ ）AAF+BF为定值BABF的周长的取值范围是6，12C当时，ABF为直角三角形D当m=1时，ABF 的面积为11如图，两个椭圆内部重叠区域的边界记为曲线是曲线上的任意一点，下列四个说法正确的为（ ）A到四点的距离之和为定值B曲线关于直线均对称C曲线所围区域面积必小于36D曲线总长度不大于
4、12如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，则下列式子正确的是（ ）ABCD三、填空题：本题共4小题13设P为椭圆上的一点，是该椭圆的两个焦点，若，则的面积为_.14椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成的三角形的面积等于_15已知中心在原点，焦点坐标为的椭圆截直线所得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为_16已知斜率为1的直线经过
5、椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若椭圆上存在点，使得的重心恰好是坐标原点，则椭圆的离心率_.四、解答题：本题共6小题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17设椭圆C：过点（0，4），离心率为.（1）求C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标18已知椭圆，点M与椭圆C的焦点不重合，若M关于C的两焦点的对称点分别为A，B，且线段的中点在椭圆C上，求的值19已知椭圆，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点.（1）若，求椭圆的离心率；（2）若，求椭圆的方程.20已知圆，点P为椭圆上一点，A，B分别是椭圆C的左右顶点.（1）若过P点的直线与圆O切于点Q
6、（Q位于第一象限），求使得面积最大值时的直线PQ的方程；（2）若直线AP，BP与y轴的交点分别为E，F，以EF为直径的圆与圆O交于点M，求证：直线PM平行于x轴.21已知椭圆的左右焦点分别为为坐标原点，A为椭圆上一点，连接，交y轴于点M，若，且，求该椭圆的离心率.22已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且直线经过椭圆的右顶点（1）求椭圆C的标准方程；（2）设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且，求面积的取值范围参考答案1B【解析】解：因为椭圆方程为，所以，且焦点在轴上，所以焦点坐标为：，.故选：B.2B【解析】由大椭圆和小椭圆扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同，由大椭圆长轴长为40cm，
7、短轴长为20cm，可得焦距长为cm，故离心率为，所以小椭圆离心率为，小椭圆的短轴长为10cm，即cm，由，可得：cm，所以长轴为cm.故选：B.3C【解析】因为椭圆，所以，即.故选：C4D【解析】椭圆的左、右焦点为，过垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若为等边三角形，可得，所以：，即，解得，故选：D.5D【解析】椭圆的焦点在轴上，即有，由椭圆方程可得，由长轴长是短轴长的2倍，可得，解得；故选：D.6A【解析】由题意，解得，椭圆方程为或故选：A7B【解析】设，则，两式相减得：，因为中点坐标为，所以，所以，又，所以，即，所以，故选：B8C【解析】由题意，设椭圆与弦的交点为，则将代入椭圆方程，整理得
8、：，而，故，又在上，则，故选：C9ABC【解析】椭圆的长轴长为10，椭圆的短轴长为6，由题意可知椭圆的焦点在x轴上，即有，.故只有D对故选：ABC10AD【解析】设椭圆的左焦点为，则为定值，A正确；的周长为，因为为定值6，的范围是，的周长的范围是，B错误；将与椭圆方程联立，可解得，又，不是直角三角形，C不正确；将与椭圆方程联立，解得，D正确故选：AD11BC【解析】易知分别为椭圆的两个焦点，分别为椭圆的两个焦点.若点仅在椭圆上，则到、两点的距离之和为定值，到两点的距离之和不为定值，故A错误；两个椭圆关于直线均对称，则曲线关于直线均对称，故B正确；曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小
9、于36，故C正确；曲线所围区域在半径为3的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长，故D错误.故选：BC12BC【解析】由题图可得，故A不正确；，故B正确；由得，即，即，故C正确，D不正确故选：BC13【解析】由椭圆方程知，椭圆右焦点为设抛物线方程为：，则 抛物线方程为：故答案为144【解析】因为，所以，所以，所以，由以及，解得，在三角形中由余弦定理得，所以，所以的面积为.故答案为：415【解析】设椭圆方程为，则设直线与椭圆相交的弦的端点为，则而弦的中点的横坐标为，则纵坐标为，即，即联立得：故该椭圆的方程为故答案为：16【解析】设，坐标分别为，因为的重心恰好是坐标原点，则，则，代入椭圆方程可得，其
10、中，所以因为直线的斜率为，且过左焦点，则的方程为：，联立方程消去可得：，所以，所以，将代入得，从而.故答案为：17（1）；（2）.【解析】（1）将（0，4）代入C的方程得，=4，又 得，即，A=5，C的方程为（2）过点且斜率为的直线方程为，设直线与C的交点为A，B，将直线方程代入C的方程，得，即， AB的中点坐标，即中点为1816.【解析】由得：，设分别是椭圆C的左、右焦点，M关于的对称点为A，关于的对称点为B，为线段的中点，由已知条件，易得分别是线段的中点，则在和中，有，又由椭圆的定义，得，所以故答案为：1619（1）；（2）【解析】（1）若，则为等腰直角三角形，所以有，即.所以，椭圆的离心
11、率为.（2）由题知，设，由，得，解得，即.将点坐标代入，得，即又由，得，即有由解得，从而有.所以椭圆的方程为.20（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）因为，又，所以当时，面积取得最大值，此时点，又因为点位于第一象限，所以，即，故直线的方程为.（2）由题意知点不与点或点重合，设，则直线方程为，令得，同理可求，因为以为直径的圆与圆交于点，所以，将及代入化简得，即，所以直线平行于轴.21.【解析】解：设.如图所示，由题意易得，所以，所以，又，所以，所以，故该椭圆的离心率为.22（1）；（2）【解析】解：（1）双曲线的离心率为，椭圆的离心率又直线经过椭圆的右顶点，令，则右顶点的坐标为，即，椭圆C的标准方程为（2）由题意可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，联立消去y，整理得，则，于是又，故，则由得，解得又由，得，且设原点O到直线的距离为d，则，故由m的取值范围可得面积的取值范围为
