1、2.5.1 直线与圆的位置关系一知识梳理直线与圆的位置关系设直线l：AxByC0(A2B20)，圆：(xa)2(yb)2r2(r0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为.方法位置关系几何法代数法相交dr0相切dr0相离dr0直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半l满足关系式r2d2.二 每日一练一、单选题1不经过坐标原点的直线被曲线截得的弦的长度等于，则直线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是（ ）ABCD2在平面直角坐标系中，过点作倾斜角为的直线，已知直线与圆交于、两点，则（ ）ABCD3己知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程是
2、（ ）ABC或D或4已知直线截圆所得弦的长度为4，则实数的值是（ ）A-8B-6C-5D-45“”是“直线与圆相交”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6若直线（，）被圆截得弦长为，则的最小值是（ ）ABCD7过点作圆的切线，切线的方程为（ ）ABC或D或8直线与圆的位置关系是（ ）A相离B相交C相切D不确定二、多选题9设直线与圆，则下列结论正确的为（ ）A与可能相离 B不可能将的周长平分C当时，被截得的弦长为 D被截得的最短弦长为10已知点在圆上，点、，则（ ）A点到直线的距离小于 B点到直线的距离大于C当最小时， D当最大时，11已知直线与圆，则下列说法
3、中正确的是（ ）A直线l与圆M一定相交B若，则直线l与圆M相切C当时，直线l与圆M的相交弦最长D圆心M到直线l的距离的最大值为12已知直线：和圆：，则（ ）A存在使得直线与直线：垂直B直线恒过定点C若，则直线与圆相交D若，则直线被圆截得的弦长的取值范围为三、填空题13直线被圆截得的弦长最小值是_.14直线与圆分别交于两点，其中为原点，若，则_.15已知圆：()，直线：与直线垂直，则直线与圆的位置关系为_.16已知两条直线：，：与圆：交于，四点且构成正方形，则的值为_四、解答题17最近国际局势波云诡谲，我国在某岛（如图（1）上进行军事演练，如图（2），是三个军事基地，为一个军事要塞.已知km，到
4、的距离分别为km，km. （1）求两个军事基地的长； （2）若要塞正北方向距离要塞20km处有一城中心正在进行爆破试验，爆炸波生成th时的半径为(为大于零的常数)，爆炸波开始生成时，一军事卡车以km/h的速度自基地开往基地，问实数在什么范围取值时，爆炸波不会波及到卡车的行驶.18已知圆经过两点，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）设直线与圆相交于，两点，为坐标原点，若，求的值.19已知圆C过点，点A在直线上.（1）圆C的方程.（2）过点A作直线l1，l2与圆C相切，切点分别为M，N，若，求点A的坐标.20已知圆经过两点，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆交于不同的两
5、点，且，求直线的方程.21已知圆，直线（1）求直线过的定点坐标（2）求直线被圆截得的弦长最短时的方程22已知圆C经过两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2，（1）求圆C的方程；（2）求过点且与圆C相切的直线方程参考答案1A曲线的方程可整理为：，则曲线为圆心为，半径为的圆；圆心到直线的距离，解得：或，又不经过坐标原点，即，与坐标轴的交点坐标为，直线与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为中点，半径，所求外接圆方程为，即.2A，即，圆心坐标，半径，因为直线过点且倾斜角为，所以直线方程为，即，则圆心到直线的距离，故，3D圆的圆心为点，半径为，圆心到直线的距离为.若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心
6、到直线的距离为，合乎题意；若直线的斜率存在，可设直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，解得.此时直线的方程为.综上所述，直线的方程为或.4D圆化为，故该圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离，则弦长为，解得.5B由直线与圆相交，得圆心到直线的距离为，解得，而由集合的关系可知，是直线与圆相交的必要不充分条件.6A直线被圆截得的弦长为4，圆的半径为 ,圆心为 直线过圆心，故 ，即 ，当且仅当 ，即 时等号成立，最小值为9.7D解：圆的圆心为，半径，过点作圆的切线，当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足条件，当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线方程为，即，则，解得，故切线方程为，综上可得切线方程为或8
7、B解：直线，即，由得，所以直线恒过定点，因为，所以定点在圆内，所以直线与圆相交，9BD对于A选项，直线过定点，且点在圆内，则直线与圆必相交，A选项错误；对于B选项，若直线将圆平分，则直线过原点，此时直线的斜率不存在，B选项正确；对于C选项，当时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，所以，直线被截得的弦长为，C选项错误；对于D选项，圆心到直线的距离为，所以，直线被截得的弦长为，D选项正确.10ACD圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，由勾股定理可得，CD选项正
8、确.11BCD，即，是以为圆心，以1为半径的圆，A.因为直线，直线l过原点，原点在圆外所以直线l与圆M不一定相交，故错误；B.若，则直线，直线l与圆M相切，故正确；C.当时，直线l的方程为，过圆M的圆心，故正确；D.由点到直线距高公式，知(当时，等号成立).故正确，12AC解：A：当时，直线：，即，斜率为，与直线：垂直，故A正确；B：直线：，恒过，故B不正确；C：圆心到直线的距离为，则，若，则直线与圆相交，故C正确；D：，则直线被圆截得的弦长，则，所以弦长.故D不正确；13因为直线经过定点，定点在圆内，所以圆心到直线的最大距离为，所以，所求弦长的最小值为14由圆方程知其圆心坐标为，半径，圆心到
9、直线距离，解得：，.15相离可化为，所以，圆的半径，因为直线：与直线垂直，所以，解得，所以直线的方程为，又，所以圆心到直线的距离.因为，所以，所以直线与圆的位置关系是相离，16由题设知：，要使，四点且构成正方形，正方形的边长等于直线、的距离，则，若圆的半径为r，由正方形的性质知：，即有.17（1）；（2）解：（1）以点为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系如图所示则由题设得：，直线的方程为，由，及 解得，直线的方程为，即，由 得 即，即基地的长为（2）设爆炸产生的爆炸波圆，由题意可得，生成小时时，卡车在线段上的点处，则，爆炸波不会波及卡车的通行即对恒成立，即当 时，上式恒成立，当时即，令，当且仅
10、当，即时等号成立，所以，在时 恒成立，亦即爆炸波不会波及卡车的通行18（1）；（2）.（1）因为，所以线段的中点的坐标为，直线的斜率，因此直线的垂直平分线的方程是：，即.圆心的坐标是方程组的解.解此方程组，得，所以圆心的坐标是，圆心为的圆的半径长为，所以，圆心为的圆的标准方程是.（2）设，联立直线与圆的方程，得消元得，因为直线与圆相交，所以，解得，且，所以.因为，所以，解得或3，因为，所以，此时直线的方程为，即，此时圆心到直线的距离，则.19（1）；（2）.（1）设圆C的方程为，则，解得，故圆C的方程.（2）依题意，四边形MANC为正方形，正方形的边长为半径，所以，而圆心到直线的距离，所以点.
11、20（1）；（2）或.（1）线段的中垂线方程为，由得圆心的坐标所以半径，圆的方程为（2）设直线的方程为 到的距离为，即解得或，故直线的方程为或21（1）定点坐标为（3，1）；（2）（1）将直线的方程变形为：由，解得即定点为（2）由可知，点在圆内部圆心，则根据圆的对称性可知，当点为直线与圆相交弦的中点时，直线被圆截得的弦长最短即，即故直线的方程为，即22（1）；（2）或解：（1）由题意设圆，令，得，则，令，得，则，两坐标轴上的四个截距之和是2，且圆过两点，将，代入方程得，解得：，故得圆（2）由（1）得圆，即，圆心，半径，过作圆的切线，显然切线的斜率存在，设斜率为，则切线方程为，即，则，解得或，故切线方程为或
