1、1.2 空间向量基本定理一、知识梳理1空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在唯一的实数，使得ab(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc其中a，b，c叫做空间的一个基底二每日一练（一）、单选题1如图，在平行六面体中，点M是棱的中点，连结，交于点P，则（ ）A BCD2已知空间四边形中，点M在OA上，且，N为BC的中点，则等于（ ）ABC
2、D3在平行六面体中，若，则的值等于（ ）ABCD4如图，在四棱柱中，底面是平行四边形， ，则线段的长度是（ ） A B10 C D5在正方体中，点为棱的中点，点为棱的中点，若，则（ ）ABCD6已知、是空间的一个基底，若，则、的值分别为（ ）A，1B，1，C1，D，17如图：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若，则下列向量中与相等的向量是（ ）ABCD8已知向量，是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，若向量在基底，下的坐标为，则在，下的坐标为（ ）A B CD（二）、多选题9设是空间一个基底，下列选项中正确的是（ ）A若，则B则两两共面，但不可
3、能共面C对空间任一向量，总存在有序实数组，使D则，一定能构成空间的一个基底10在以下命题中，不正确的命题有（ ）A是、共线的充要条件B若，则存在唯一的实数，使C对空间任意一点和不共线的三点、，若，则、四点共面D若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底11下列命题正确的是（ ）A已知，是两个不共线的向量.若，则，共面B若向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底C若，则与向量共线的单位向最为D在三棱锥中，若侧棱OA，OB，OC两两垂直，则底面是锐角三角形12(多选)点A(n，n1，2n)，B(1，n，n)，则|的可能取值为（ ）A B C1 D2（三）、填空题13如图所示，在正方体中，点是侧
4、面的中心，若，求_14已知，且不共面，若，则_.15如图所示，已知在四面体中，点、分别是棱、的中点，若，其中、为实数，则的值为_16四棱锥的底面是平行四边形，若，则 _（四）、解答题17已知、为空间的9个点（如图所示），并且，求证：（1）、四点共面，、四点共面；（2）18如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，E是的中点，F在上，且.（1）用表示；（2）求向量与向量所成角的余弦值.19在所有棱长均为2的三棱柱中，求证：（1）；（2）平面.20已知平行六面体，设，；（1）试用、表示；（2）求的长度；21如图，在三棱锥中，G是的重心（三条中线的交点），P是空间任意一点.（1）用向量表示向量，并证明
5、你的结论；（2）设，请写出点P在的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）.22在平行六面体中，分别为，的中点.（1）构成空间的一个基底，用它们表示，设，.（2）求与的夹角.参考答案1B，可得，点M是棱的中点，所以，所以.2B因为N为BC的中点，所以，因为，所以，所以，3A可知在平行六面体中，又，即，.4C因为，所以，所以，5A如图所示：，又因为，所以，所以，6D因为，所以，因为，所以，解得，7A，8C不妨设向量，；则向量，设，即，解得即在，下的坐标为9BCD由是空间一个基底，知：在A中，若，则与的夹角不一定是，故A错误；在B中，两两共面，但不可能共面，故B正确；在C中，根据空间向量的
6、基本定理可知C正确；在D中，因为不共面，假设，共面，设，化简得，可得共面，与已知矛盾，所以，不共面，可作为基底，故D正确.10ABC对于A选项，充分性：若，则、方向相反，且，充分性成立；必要性：若、共线且方向相同，则，即必要性不成立，所以，是、共线的充分不必要条件，A选项错误；对于B选项，若，则，但不存在实数，使得，B选项错误；对于C选项，对空间任意一点和不共线的三点、，若、四点共面，可设，其中、，则，可得，由于，此时，、四点不共面，C选项错误；对于D选项，假设、共面，可设，由于为空间的一个基底，可得，该方程组无解，假设不成立，所以，构成空间的另一个基底，D选项正确.11ABCD对于A，是两个
7、不共线的向量，不妨假设，共面则，即，可得，存在一对实数，使得，即假设成立，故A正确；对于B，向量，则，与任何向量都共面，所以，与任何向量都不能构成空间的一个基底，故B正确；对于C，所以，故C正确；对于D， OA，OB，OC两两垂直，所以与的夹角为锐角，即为锐角，同理，为锐角，是锐角三角形，故D正确.12BCD因为点A(n，n1，2n)，B(1，n，n)，所以(1n，12n，n)，所以|2(1n)2(12n)2n2，当n时，|的最小值为所以|的可能取值有，1，2131，故，则14解：且，即，又不共面，则，.15连接，为的中点，又为的中点，因此，.16由，则 四棱锥的底面是平行四边形,即为平行四边
8、形，则 则 又所以，故17（1）证明见解析；（2）证明见解析.由，由共面向量的基本定理可得：为共面向量且有公共点为共面向量且有公共点所以、C、四点共面，、四点共面（2）因为，又，所以18（1）；（2）.（1）因为E是的中点，F在上，且，所以，于是.（2）由（1）得，因此，又因为，所以向量与向量所成角的余弦值为.19（1）证明见解析；（2）证明见解析.（1）依题意可知三角形是等边三角形，所以，则.所以.（2）依题意四边形为菱形，所以.因为，所以，又，所以平面.20（1）；（2）.解：（1）（2），设，；，的长度为21（1）；证明见解析；（2），且.解析（1）.证明如下：.（2）若，点P在的内部（不包括边界），的充分必要条件是：，且.22（1），；（2）（1）因为，所以，；（2）因为，所以，所以与的夹角为.
