1、3.2.2 双曲线的简单几何性质一知识梳理双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2a2b2(ca0，cb0)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率为e.二 每日一练一、单选题1经过点且与双曲
2、线有共同渐近线的双曲线方程为（ ）ABCD2若双曲线上存在四个点A，B，C，D满足四边形是正方形，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）ABCD3已知圆：与双曲线：的渐近线相切，则的离心率为（ ）A2BCD4已知双曲线的离心率为，则点到双曲线C的渐近线的距离为（ ）A2BCD5已知双曲线：的左、右焦点分别为，点在的右支上，直线与的左支交于点，若，且，则的离心率为（ ）ABCD6已知双曲线C与椭圆有共同的焦点，且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线C的方程为（ ）ABCD7已知双曲线(a4)的实轴长是虚轴长的3倍，则实数a=（ ）A5B6C8D98已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
3、ABCD二、多选题9已知曲线分别为曲线的左右焦点，则下列说法正确的是（ ）A若，则曲线的两条渐近线所成的锐角为B若曲线的离心率，则C若，则曲线上不存在点，使得D若为上一个动点，则面积的最大值为10已知双曲线，圆.（ ）A圆的圆心在双曲线上B若双曲线的焦距为4，则C双曲线的顶点与圆的圆心构成的三角形的面积为D若圆与轴和双曲线的渐近线均相切，则离心率11已知双曲线的左右焦点分别为、，点P为C上的一点，且，则下列说法正确的是（ ）A双曲线的离心率为B双曲线的渐近线方程为C的周长为30D点P在椭圆上12已知圆锥曲线，则下列说法可能正确的有（ ）A圆锥曲线的离心率为 B圆锥曲线的离心率为C圆锥曲线的离心
4、率为 D圆锥曲线的离心率为三、填空题13已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_14已知双曲线方程为，则该双曲线的渐近线方程为_；15在平面直角坐标系中，若双曲线的焦距为8，_.16写出一个与双曲线共渐近线的双曲线的标准方程_.四、解答题17求双曲线的顶点坐标焦点坐标实轴长虚轴长离心率和渐近线方程.18已知双曲线的左焦点为，右顶点为，过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点.（1）设为坐标原点，求线段的长度；（2）求证：平分.19双曲线：的顶点与椭圆：长轴的两个端点重合，且一条渐近线的方程为（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线右焦点作直线与分别交于左右两支上的点，又过原
5、点作直线，使，且与双曲线分别交于左右两支上的点，是否存在定值，使得？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由20（1）求与双曲线有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程；（2）已知椭圆的离心率，求的值21已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为（1）求双曲线的标准方程；（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.参考答案1A解：由题意可得：设所求双曲线为，把点，解得，所求的双曲线方程为，即2D设，由题知：，解得：，因为四边形是正方形，所以，解得.又因为，所以，解得，所以.3C由得，所以圆心，半径，双曲线：的一条渐近线为，由题意得圆心到渐近线的距离，所以，所
6、以，所以.4C由题离心率，即，又，则，即，则渐近线方程为，则点到双曲线C的渐近线的距离为.5D由双曲线的定义可得，即，则的离心率为6A解：因为椭圆的方程为，所以椭圆的焦点坐标为，由题意，双曲线C的焦点在轴上，且，设双曲线C的方程为，则有，其渐近线方程为，即，又焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则有，所以，所以双曲线C的方程为，7A由双曲线(a4)的实轴长是虚轴长的3倍，可得 可得，解得.8A根据双曲线标准方程，知：，双曲线的离心率为，而，所以其渐近线方程为.9ABD对于A选项，当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，渐近线方程为，故渐近线的倾斜角分别为，所以曲线的两条渐近线所成的锐角为，故A选项正确
7、；对于B选项，离心率，则曲线为焦点在轴上的双曲线，故，所以，所以，故B选项正确；对于C选项，若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，此时，设椭圆的短轴的一个顶点坐标为，则，故为钝角，所以线上存在点，使得，故C选项错误；对于D选项，若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，此时，为上一个动点，则面积的最大值为，故D选项正确.10BD圆的圆心为，代入双曲线方程得，因不能判断与1的关系，从而不能判断圆的圆心是否在双曲线上，故A错误；若双曲线的焦距为4，则，由基本不等式的性质知，故B正确；双曲线的顶点为与构成的三角形面积为，故C错误；圆的圆心为，半径为，若与轴相切，则，此时圆在第一象限，则与双曲线的渐近线相切，即，解得
8、，则，离心率，故D正确；.11BCD双曲线标准方程为，则，离心率为，A错；渐近线方程为，即，B正确；，在左支上，的周长为30，C正确；，因此在椭圆（此椭圆是以为焦点，长轴长为20的椭圆）上，D正确12BC当时，圆锥曲线是焦点在轴上的椭圆，其离心率，故C符合题意；当时，圆锥曲线是焦点在轴上的椭圆，其离心率，故B符合题意；当时，圆锥曲线是焦点在轴上的双曲线，其离心率，故C符合题意.134由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），故焦距14易知双曲线的焦点在轴上，且，所以双曲线的渐近线方程为，即.153.由双曲线可得：，解得：m=3.16(答案不唯一)与双曲线共渐近线的双曲线
9、为，即，所以可以填.17双曲线方程可化为：，则双曲线焦点在轴上，；，顶点坐标为；焦点坐标为；实轴长为；虚轴长为；离心率；渐近线方程为.18（1）；（2）证明见解析.（1）不妨设在第二象限，则渐近线的方程为，则直线的方程为，由得：，；（2）证明：设直线的倾斜角为，则，又，直线的斜率为，则直线的方程为，由得：，又，直线的斜率为，故平分.19（1）；（2）存在；.解：（1）由椭圆：得到：，双曲线的渐近线方程为，得到：，解得：.则双曲线的方程（2）若存在定值，使得，与同向，设：，由消去整理得：，由交左右两支于、两点，有，即，则，由于，可设：，由消去整理得：，由此，故存在定值，使得20 （1）；（2）.（1）双曲线与双曲线1有相同焦点，可设所求双曲线方程为：，双曲线过点，解得：或（舍），所求双曲线方程为.（2）椭圆方程可化为:，即，解得：.21（1）（2）（1）由焦点可知，又一条渐近线方程为所以，由可得 ,解得，故双曲线的标准方程为（2）设，AB中点的坐标为则，得：，即，又，所以，所以直线的方程为，即
