1、1.4.2用空间向量研究距离.夹角问题一 知识梳理1.点到直线的距离已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.设=a，则向量在直线l上的投影向量=(a).点P到直线l的距离为PQ=.2.两条平行直线之间的距离求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.(二)点到平面的距离两个平行平面之间的距离点到平面的距离已知平面的法向量为n，A是平面内的定点，P是平面外一点.过点P作平面的垂线l，交平面于点Q，则点P到平面的距离为PQ=.2.如果一条直线l与一个平面平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到
2、平面的距离求解.3.两个平行平面之间距离如果两个平面，互相平行，在其中一个平面内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面的距离求解.二 每日一练一、单选题1已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（ ）ABCD2已知ABC的顶点A(1，1，2)，B(5，6，2)，C(1，3，1)，则BC边上的中线长为（ ）A B C D3四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A平面ABCD，AA13，底面是边长为4且DAB60的菱形，ACBDO，A1C1B1D1O1，E是O1A的中点，则点E到平面O1BC的距离为（ ）A2 B1 C D34已知RtEFG的直角顶点E在平面内，斜边FG，且FG6c
3、m，EF，EG与平面分别成30和45角，则FG到平面的距离是（ ）Acm Bcm C2cm D2cm5已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PDAD，PDAD2，二面角P-AD-C为60，则P到AB的距离是（ ）A2 B C2 D 6如图所示，正方体中，点分别在上，则与所成角的余弦值为（ ）A BC D7在直三棱柱中，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）ABCD8在正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）ABCD二、多选题9如图，为正方体，下列结论中正确的是（）A平面 B平面C与底面所成角的正切值是D过点与异面直线与成角的直线有条10如图，在正方体中，、分别为、的中点，
4、则（ ）AB平面CD向量与向量的夹角是11在长方体中，以为原点，以，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）A B异面直线与所成角的余弦值为C平面的一个法向量为 D二面角的余弦值为12三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，若，则二面角的大小可能为（ ）A B C D三、填空题13如图，在正三棱柱中，分别是的中点设D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_14已知在棱长为a的正方体ABCD-ABCD中，E是BC的中点，则直线AC与DE所成角的余弦值为_15如图所示，ABCD-EFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足，则P点到
5、直线AB的距离为_16已知长方体的棱，则异面直线与所成角的大小是_.（结果用反三角函数值表示）四、解答题17如图，在三棱柱中，底面，.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.18如图所示，在直三棱柱中，侧面为长方形，.（1）求证：平面平面；（2）求直线和平面所成角的正弦值.19如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，.且Q为线段的中点（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求直线与平面所成角的大小20如图，在四棱锥中，平面平面，.直线与平面所成的角为.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.21在四棱锥中，底面为直角梯形，平面底面，为的中点，是棱上的点，.（1）求证：平面平面；（2）若，求直
6、线与所成角的余弦值；（3）若二面角大小为，求的长.22如图所示，在几何体中，四边形为菱形，.（1）证明：平面；（2）若平面，求二面角的余弦值.参考答案1A因为，所以，则，由点到直线的距离公式得，2B易得BC的中点D坐标为，故BC边上的中线长为|AD|.3C因为OO1平面ABCD，所以OO1OA，OO1OB.又OAOB，所以可建立如图所示的空间直角坐标系因为底面ABCD是边长为4，DAB60的菱形，所以OA2，OB2.则A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(2，0，0)，O1(0，0，3)设平面O1BC的法向量为n(x，y，z)，则，所以，若z2，则x，y3，所以(，3，2)是平面O1BC的一
7、个法向量设点E到平面O1BC的距离为d，因为E是O1A的中点，所以，则d，所以点E到平面O1BC的距离等于.4 B5 解析：如图所示，过F，G分别作FA，GB，A，B分别为垂足，连接AE，EB，在RtFAE中，FE2FA；在RtGBE中，EGBG.设FG到平面的距离为d，则dFAGB.在RtFEG中，EF2EG236，即4d22d236，d26，所以d cm.5D因为ABCD为正方形，所以ADDC.由PDC为二面角P-AD-C的平面角，即PDC60.如图所示，过P作PHDC于H.,AD面PDC.,AD面PH.又PHDC, ,PH面ABCD,在平面AC内过H作HEAB于E，连接PE，则PEAB，
8、所以线段PE即为所求以H为坐标原点建立空间直角坐标系，则所以,6C以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为3，则，设EF与所成的角为，则7A由题意，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，不妨令，则，因此，所，故直线与直线夹角的余弦值为.8B解：以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，设平面的法向量为，令，则，设直线与平面所成角为，则，9ABD对于A选项，如图，在正方体中，平面，平面，则，由于四边形为正方形，则，因此，平面，故A正确；对于B选项，在正方体中，平面，平面，因为四边形为正方形，所以，平面，平面，同理可得，平面，
9、故B正确；对于C选项，由平面，得为与平面所成角，且，故C错误；对于D选项，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、，设过点且与直线、所成角的直线的方向向量为，则，整理可得，消去并整理得，解得或，由已知可得，所以，可得，因此，过点与异面直线与成角的直线有条，D选项正确.10BC以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、.对于A选项，则，故A选项错误；对于B选项，设平面的法向量为，由，可得，取，可得，平面，平面，故B选项正确；对于C选项，故C选项正确；对于D选项，所以，向量与向量的夹角是，故D选项错误
10、.11ACD解：在长方体中，以为原点，以，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，对于A，故A正确；对于B，设异面直线与所成角为，则异面直线与所成角的余弦值为：，故B错误；对于C，设平面的一个法向量为，则，取，得平面的一个法向量为，故C正确；对于D，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，二面角的余弦值为：，故D正确.12BC二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，二面角的大小可能为或.13以E为原点，EA，EC为x，y轴建立空间直角坐标系，如下图设，解得t=1，所以，14如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0，0，a)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，E，(a，a，a)，所以.所以直线A
11、C与DE所成角的余弦值为.15解析：过P作PM平面ABCD于M，过M作MNAB于N，连接PN，则PN即为所求，如图所示因为，所以，所以.即P点到直线AB的距离为.16解：建立如图所示的空间直角坐标系：在长方体中，异面直线与所成角的大小是17（1）证明见解析；（2）.（1）因为三棱柱中，底面所以底面，所以，因为，所以，因为面，面，所以面，因为面，所以.（2）由（1）可知：底面，所以， 两两垂直，以为坐标原点，分别以，为轴建立空间直角坐标系，如图所示,，设面法向量为 由，得令，则，则.又因为平面的法向量为，所以. 由题可知，二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.18（1）证明见解析；（2）.（1
12、）在直三棱柱中，平面，平面，为的中点，则，则平面，平面，因此，平面平面；（2）由（1）可知，平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、，设平面的法向量为，由，取，可得，.因此，直线和平面所成角的正弦值为.19（1）；（2）.以为x轴，为y轴，为z轴，建立坐标系.，则，设异面直线与所成的角为，则，即异面直线与所成角的大小为.（2）设平面的法向量为，设直线与平面所成的角为，则即直线与平面所成角的大小为20（1）证明见解析；（2）.（1）取的中点，连结，.在中，因为，为的中点，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.在四边形中，且，所以，所以
13、在中，有，所以，即.因为，平面，因为平面.因为平面，所以.（2）由（1）知，平面，所以为在平面内的射影，即为直线与平面所成的角，所以.所以在中，.如图，分别以，所在直线为轴和轴，以平面内过点且与垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，.设平面的一个法向量，则即取，可得.设平面的一个法向量，则即取，可得.设二面角的大小为，则，所以，即二面角的正弦值为.21（1）证明见解析；（2）；（3）.（1）为的中点，且，则，又因为，则，故四边形为平行四边形，因为，故四边形为矩形，所以，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，因此，平面平面；（2）连接，由（1）可知，平面，为的中点，则，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，则、，设，因为，则，解得，则.因此，直线与所成角的余弦值为；（3）易知平面的一个法向量是，设，设平面的法向量为，由，取，可得，由题意可得，解得，所以，因此，.22（1）证明见解析；（2）.因为平面，平面所以平面因为四边形为菱形，所以同理可得平面又因为所以平面平面又因为平面所以平面 连接相交于点，以为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以所以，所以.设平面的一个法向量，所以.所以令，得，所以.设平面的一个法向量，所以所以令，得所以所以所以二面角的余弦值为
