1、统计热力学电教课之四 10.3 玻尔兹曼玻尔兹曼方程方程 BoltzmannBoltzmann Equation Equation 第十章第十章 非平衡态统非平衡态统计简单理论计简单理论采用弛豫时间近似采用弛豫时间近似(Relaxation time approximation), ,简化碰撞贡献计算，从而简化玻尔兹曼积分微分方程，简化碰撞贡献计算，从而简化玻尔兹曼积分微分方程，导出较简便的玻尔兹曼方程导出较简便的玻尔兹曼方程. .简要讨论其应用简要讨论其应用Boltzmann EquationViscous Phenomenon of Gases Electric conductivity
2、of Metals 统计热力学电教课之四1 1玻尔兹曼方程玻尔兹曼方程 BoltzmannBoltzmann Equation Equation系统未达平衡态，其局部可（近似）达平衡系统未达平衡态，其局部可（近似）达平衡 局域平衡局域平衡f(0) 局域平衡的麦氏分布（与平衡部分整体运局域平衡的麦氏分布（与平衡部分整体运动有关）动有关）各局域平衡部分通过碰撞相互影响，最后趋向大各局域平衡部分通过碰撞相互影响，最后趋向大平衡：一致的平衡：一致的f f(0)(0)0)0(tf 202020)()()(22/302wwvvuukTmekTmnf过程是缓慢的，可近似认为过程是缓慢的，可近似认为u0、v0
3、、w0 整体运动速度三分量整体运动速度三分量 统计热力学电教课之四Boltzmann 的的弛豫时间法弛豫时间法设想分布函数时间变化率的碰撞贡献项设想分布函数时间变化率的碰撞贡献项与与 f 对对平衡分布平衡分布f f(0)(0)的偏离的偏离成正比：成正比：0)0(fftfc 弛豫时间弛豫时间 )( 1111 dvdffffvfFrfvtfvBoltzmann 积分微分方程积分微分方程求解困难，应简化之求解困难，应简化之统计热力学电教课之四0)0()0()(fffftc注意到注意到 f(0)/ t 0， 有有 )0 ,(),( 0)0()0(tefvfftvf经经0时间，分布函数对平衡值偏离减至最
4、初的时间，分布函数对平衡值偏离减至最初的1/e粗略认为：粗略认为：0恢复平衡所需时间恢复平衡所需时间一般一般0 与速度有关，进一步化简，假定为常数与速度有关，进一步化简，假定为常数 0 与两次碰撞间平均时间（频率之倒数）同量级与两次碰撞间平均时间（频率之倒数）同量级弛豫时间弛豫时间0 的物理意义：的物理意义： 统计热力学电教课之四玻尔兹曼积分微分方程成为玻尔兹曼积分微分方程成为0)0(ffvfFrfvtfBoltzmannBoltzmann方程方程稳恒态稳恒态（steady state）0tf 亦称亦称BoltzmannBoltzmann方程方程0)0(ffvfFrfv* * *在不均匀、有外
5、在不均匀、有外场条件下，细致平场条件下，细致平衡原理仍正确。衡原理仍正确。细致平衡时，漂移细致平衡时，漂移贡献各部分相消而贡献各部分相消而为零为零在漂移贡献非零时在漂移贡献非零时，虽细致平衡条件，虽细致平衡条件不满足，但分布不不满足，但分布不变变 稳恒态，稳恒态，漂移与碰撞贡献相漂移与碰撞贡献相互抵消互抵消 统计热力学电教课之四2 2气体粘滞现象气体粘滞现象Viscous Phenomenon of Gases u0 = w0 = 0, v0 = v0 (x) 沿沿 x 方向有梯度方向有梯度( (图图) ) 以平面以平面x = x0为界为界x x0 正方；正方；x x0 反方反方Newton粘
6、滞定律粘滞定律单位面积正方作用于负方的单位面积正方作用于负方的胁强（沿胁强（沿y y方的力）方的力）dxxdvpxy)(0 粘滞系数粘滞系数 统计热力学电教课之四粘滞力的微观机制：粘滞力的微观机制：分子交流使动量传递不均衡，表现为粘滞力分子交流使动量传递不均衡，表现为粘滞力单位时间由正方单位时间由正方“跑入跑入”负方的分子数负方的分子数 d= fudv携带动量（沿携带动量（沿y方）方） mvfudv正方传给负方的总动量（沿正方传给负方的总动量（沿y y方）方） 0mvfududvdw 0mvfududvdw负方传给正方的总动量（沿负方传给正方的总动量（沿y y方）方） uvuvmnmvfudu
7、dvdwpxy 相减得相减得统计热力学电教课之四稳恒态稳恒态 2 2202)(22/3)0(wvvukTmekTmnf代入代入Boltzmann方程（为简单，考虑无外场情形）有方程（为简单，考虑无外场情形）有xfxf )0(代用 0)0(ffxfu速度梯度不大，设速度梯度不大，设 )1()0(fff)1()0(ff 0)1()0(fxfu 0)0(0)0()1()0(dxdvvfuffff解出解出f（1）代入代入统计热力学电教课之四 0)0(20dudvdwdxdvvfvmupxy代入胁强的公式得代入胁强的公式得与粘滞定律比较与粘滞定律比较 )0(20dvvfvduudwm )0()0()0(
8、dvfvfdvvfv分分部部积积分分 20 xvnm与实验吻合与实验吻合kTvmx2vl0 TvlnkT统计热力学电教课之四3 3金属电导率金属电导率Electric conductivity of MetalsElectric conductivity of Metals恒定均匀电场中的金属中电子的输运问题恒定均匀电场中的金属中电子的输运问题 设电场沿设电场沿z 方向，场强方向，场强 z根据欧姆定律根据欧姆定律 zzJ Electric conductivity统计热力学电教课之四电子电荷电子电荷 e , 质量质量 m , 自旋自旋1/2 , 速度速度dv 内、单位体积中的电子数内、单位体积
9、中的电子数 2 33dudvdwhmf电流密度电流密度 2)( 33vdhmfwenweJz 11 2/) 0(2mveff费密函数费密函数无外场、平衡态无外场、平衡态 J = 0 ，无电流无电流 统计热力学电教课之四有外场，稳恒态时，假定有外场，稳恒态时，假定 不随坐标变化不随坐标变化 0)0(ffwfmezz z 对电子单位质量的力对电子单位质量的力 meFzz/)( )1()0(fff用 0)1()0(fwfmez电流密度成为电流密度成为 2 33)0(02vdhmwfwmeJzz类粘滞力问题类粘滞力问题统计热力学电教课之四F0dvhmdudwwfwmeJFzz33)0(22 2 233
10、)0(2zFFzzmnevdhmfmeJ完成积分完成积分 2mneF对比对比Ohms定律得定律得电导率电导率 FFFvl / /11 2TqlF又又222kTqA离子位移离子位移 q 用能均分估用能均分估 / 1 T高温时与实验相符高温时与实验相符 需求弛豫时间，半定量分析需求弛豫时间，半定量分析与温度无关，但与离子振动相关与温度无关，但与离子振动相关 TF/ T统计热力学电教课之四R/(R290)421 10 T 钾的不同纯度样品之电阻钾的不同纯度样品之电阻R TC T水银超导水银超导习题：习题：9.39.3 统计热力学电教课之四for his investigations on the p
11、roperties of matter at low temperatures which led, inter alia, to the production of liquid heliumThe Nobel Prize in Physics 1913Heike Kamerlingh Onnesthe NetherlandsLeiden University Leiden, the Netherlands b. 1853d. 1926 The Nobel Prize in Physics 1972for their jointly developed theory of supercond
12、uctivity, usually called the BCS-theory John Bardeen Leon Neil Cooper John Robert Schrieffer 1/3 of the prize 1/3 of the prize 1/3 of the prize USA USA USA University of Illinois Urbana, IL, USA Brown University Providence, RI, USA University of Pennsylvania Philadelphia, PA, USA b. 1908d. 1991b. 19
13、30b. 1931 The Nobel Prize in Physics 1987for their important break-through in the discovery of superconductivity in ceramic materials J. Georg Bednorz K. Alexander Mller 1/2 of the prize 1/2 of the prize Federal Republic of Germany Switzerland IBM Zurich Research Laboratory Rschlikon, Switzerland IB
14、M Zurich Research Laboratory Rschlikon, Switzerland b. 1950b. 1927统计热力学电教课之四The End The End of the Statistical of the Statistical ThermodynamicsThermodynamics统计热力学全课结束 统计物理歌统计物理歌 赤橙黄绿紫靛蓝，瞬息多变唯象观；赤橙黄绿紫靛蓝，瞬息多变唯象观；宏观微观百类奇，系综理论一线穿；宏观微观百类奇，系综理论一线穿；绝热杜功系孤立，微正系综态平权；绝热杜功系孤立，微正系综态平权；统计物理汝为本，热学规律尔作源；统计物理汝为本，热
15、学规律尔作源；正则系综封闭系，负能贝塔指数肩；正则系综封闭系，负能贝塔指数肩；配分函数囊百宝，对数求导解万难；配分函数囊百宝，对数求导解万难；量子经典君可辨，涨落一曲尽开颜。量子经典君可辨，涨落一曲尽开颜。 统计热力学电教课之三统计热力学要点统计热力学要点 系综理论系综理论主线主线 基础基础微正则系综微正则系综 * *重点重点正则系综正则系综 外延外延巨正则系综巨正则系综 * *核心核心配分函数配分函数 热力学函数和关系热力学函数和关系应用应用 * *直接计算函数、涨落直接计算函数、涨落 * *导出热力学导出热力学平衡态性质、相平衡平衡态性质、相平衡 非平衡态和连续相变（了解）非平衡态和连续相
16、变（了解）* *应用应用一、微观状态的描述一、微观状态的描述单粒子态（自由粒子、谐振子、自旋）：单粒子态（自由粒子、谐振子、自旋）： 量子描述量子描述经典描述经典描述( (空间的状态数空间的状态数) )多粒子态：多粒子态： 全同性（全同性（B.E.、F.D.、M.B.） 经典。经典。要求：掌握微观态描述方法，以及量子向经要求：掌握微观态描述方法，以及量子向经典过度的条件和方法典过度的条件和方法统计热力学电教课之四统计热力学电教课之四 二、微正则系综（孤立系）二、微正则系综（孤立系）统计规律及描述：统计规律及描述： 基本原理（统计平均）基本原理（统计平均）概率分布概率分布系综系综微正则系综：微正
17、则系综： 等几率假设等几率假设温度温度内能内能热一热一热二热二要求：理解微正则系综要求：理解微正则系综 熟悉热力学定律熟悉热力学定律 统计热力学电教课之四 三、封闭系的正则系综三、封闭系的正则系综 正则分布：正则分布：量子量子经典、配分函数、热力学公式、经典、配分函数、热力学公式、热力学函数、涨落热力学函数、涨落 麦麦玻分布玻分布: :正则正则麦玻、量子麦玻、量子经典、经典、粒子配分函数、热力学量、能均分定理粒子配分函数、热力学量、能均分定理 应用：应用：能均分、肖脱基缺陷、二能态与负温度能均分、肖脱基缺陷、二能态与负温度 要求：掌握基本概念和推导，要求：掌握基本概念和推导， 计算有关问题计算
18、有关问题统计热力学电教课之四四、均匀物质热力学四、均匀物质热力学 麦氏关系：麦氏关系：概念、导出和互导、求重要热力学关系概念、导出和互导、求重要热力学关系 基本热力学函数：基本热力学函数：概念、计算方法概念、计算方法* * 特性函数：特性函数：概念、推导、计算、运用概念、推导、计算、运用 应用：磁介质应用：磁介质* *，焦，焦- -汤效应汤效应* * 要求：熟练运用麦氏关系证明热力学关系，要求：熟练运用麦氏关系证明热力学关系， 能计算特性函数并求其它热力学函数能计算特性函数并求其它热力学函数 统计热力学电教课之四 五、理想气体五、理想气体 * *单原子分子理想气体的热力学函数单原子分子理想气体
19、的热力学函数 * *双原子分子理想气体的热力学函数双原子分子理想气体的热力学函数 要求：用正则分布计算理想气体热要求：用正则分布计算理想气体热力学函数力学函数 统计热力学电教课之四 六、开放系六、开放系 巨正则分布巨正则分布 巨配分函数、气体热力学函数、粒子数涨落巨配分函数、气体热力学函数、粒子数涨落* * * *复相平衡复相平衡 平衡条件和判据、相图平衡条件和判据、相图* *、水滴、水滴* * 要求：巨正则分布计算必要的热力学函数要求：巨正则分布计算必要的热力学函数 掌握热平衡条件和判据及简单计算掌握热平衡条件和判据及简单计算统计热力学电教课之四 * *七、量子统计法七、量子统计法 量子统计
20、法量子统计法 玻色、费米和玻尔兹曼分布、热力学公式、涨落玻色、费米和玻尔兹曼分布、热力学公式、涨落 应用：应用： 零温电子气、光子气内能、玻色凝结零温电子气、光子气内能、玻色凝结* *、固体比热、固体比热* * 要求：熟悉各种量子统计法要求：熟悉各种量子统计法较简单量子系统的计算与讨论较简单量子系统的计算与讨论统计热力学电教课之四 八、涨落的准热力学理论八、涨落的准热力学理论要求：用准热力学方法计算简单的涨落，布朗运要求：用准热力学方法计算简单的涨落，布朗运动理论主要内容动理论主要内容* * 九、输运过程理论九、输运过程理论* *要求：导出要求：导出H H定理，由定理，由BoltzmannBoltzmann方程求电导率，方程求电导率，粘滞系数粘滞系数 十、相图和气液相变十、相图和气液相变* *要求：了解图，知道概念要求：了解图，知道概念统计热力学电教课之四 考试复习注意考试复习注意系统复习、悉心体会、梳理总结系统复习、悉心体会、梳理总结厚书变薄书；厚书变薄书；注重物理，掌握基本概念、基本方法、基本运算，用基注重物理，掌握基本概念、基本方法、基本运算，用基本能力获得基本的分数；本能力获得基本的分数；在三个在三个“基本基本” 基础上，深化认识，扩展涉猎面基础上，深化认识，扩展涉猎面，提高处理问题应变能力，取得优异成绩。，提高处理问题应变能力，取得优异成绩。谢谢谢！谢！
