1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第四节 基本不等式及其应用 A组 基础题组 1.(2017 北京朝阳二模 )“x0,y0” 是 “ + 2” 的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.当 x0时 ,函数 f(x)= 有 ( ) A.最小值 1 B.最大值 1 C.最小值 2 D.最大值 2 3. (-6a3) 的最大值为 ( ) A.9 B. C.3 D. 4.已知函数 f(x)=4x+ (x0,a0)在 x=3时取得最小值 ,则 a= . 5.已知 a0,b0,a+2b=3,则 + 的最小值为 . 6.(2015 北京石景山一模
2、 )某学校拟建一块周长为 400 米的操场 ,如图所示 ,操场的两头是半圆形 ,中间区域是矩形 ,学生做操一般安排在矩形区域 ,为了能让学生的做操区域尽可能大 ,矩形的长应该设计为 米 . 7.(2017 北京丰台一模 )设 a+b=M(a0,b0),M为常数 ,且 ab的最大值为 2,则 M等于 . 8.已知 x0,y0,且 2x+8y-xy=0,求 (1)xy的最小值 ; (2)x+y 的最小值 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 9.某厂家拟在明年举行促销活动 ,经调 查测算 ,该产品的年销售量 (即该厂的年产量 )x 万件与年促销费用m 万元 (m0) 满足 x=3- (k为常数 )
3、,如果不搞促销活动 ,则该产品的年销售量只能是 1万件 .已知明年生产该产品的固定投入为 8万元 ,每生产一万件该产品需要再投入 16 万元 ,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5倍 (产品成本包括固定投入和再投入两部分资金 ). (1)将明年该产品的利润 y万元表示为年促销费用 m万元的函数 ; (2)该厂家明年的促销费用投入多少万元时 ,厂家的利润最大 ? B组 提升题组 10.若 2x+2y=1,则 x+y的取值范围是 ( ) A.0,2 B.-2,0 C.-2,+) D.(-, -2 11.若直线 2ax+by-2=0(a0,b0)平分圆 x2+y2-2x-4y-6
4、=0,则 + 的最小值是 ( ) A.2- B. -1 C.3+2 D.3-2 12.设 =(1,-2), =(a,-1), =(-b,0)(a0,b0,O为坐标原点 ),若 A,B,C三点共线 ,则 + 的最小值是( ) A.4 B. C.8 D.9 =【 ;精品教育资源文库 】 = 13.若两个正实数 x,y满足 + =1,且不等式 x+ 0,y0时 ,x?y+(2y)?x的最小值为 . 15.已知 x,yR 且满足 x2+2xy+4y2=6,则 z=x2+4y2的取值范围为 . 16.某造纸厂拟建一座底面形状为矩形且面积为 162平方米的三级污水处理池 ,池的深度一定 (平面图如图所示
5、),如果池四周的围墙建 造单价为 400元 /米 ,中间两道隔墙建造单价为 248元 /米 ,池底建造单价为80 元 /平方米 ,水池所有墙的厚度忽略不计 . (1)试设计污水处理池的长和宽 ,使总造价最低 ,并求出最低总造价 ; (2)若由于地形限制 ,该水池的长和宽都不能超过 16米 ,试设计污水处理池的长和宽 ,使总造价最低 ,并求出最低总造价 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案精解精析 A组 基础题组 1.A 2.B x0,f(x)= =1. 当且仅当 x= ,即 x=1时取等号 . 所以 f(x)有最大值 1. 3.B 因为 -6a 3,所以 3-a0,a+60, 则由基本不
6、等式可知 , = ,当且仅当 a=- 时等号成立 . 4. 答案 36 解析 x0,a0,f(x)=4x+ 2 =4 ,当且仅当 4x= ,即 a=4x2时取等号 ,则由题意知a=43 2=36. 5. 答案 解析 由 a+2b=3得 a+ b=1, 又 a0,b0, + = = + + +2 = . 当且仅当 a=2b= 时取等号 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 6. 答案 100 解析 设矩形的长为 x米 ,宽为 y米 ,则由题意得 2x+y=400, 则 xy= 2xy = ,当且仅当 2x=y=200 时 ,等号成立 ,所以当矩形的面积最大时 ,矩形的长为 100米 . 7. 答
7、案 2 解析 a+b=M(a0,b0), ab = . ab 的最大值为 2, =2,又 M0, M=2 . 8. 解析 (1)由 2x+8y-xy=0, 得 + =1. 又 x0,y0, 所以 1= + 2 = , 得 xy64, 当且仅当 x=16,y=4时 ,等号成立 . 所以 xy 的最小值为 64. (2)由 2x+8y-xy=0,得 + =1, 则 x+y= (x+y)=10+ + 10+2 =18. 当且仅当 x=12且 y=6时等号成立 , 所以 x+y的最小值为 18. 9. 解析 (1)由题意知 ,当 m=0 时 ,x=1, =【 ;精品教育资源文库 】 = 1=3 -k?
8、k=2, x=3 - , 每件产品的销售价格为 1.5 (元 ), y=1.5x -8-16x-m =- +29(m0). (2)m0 时 , +m+12 =8,当且仅当 =m+1,即 m=3 时 ,取等号 , y -8+29=21. 故该厂家明年的促销费用投入 3万元时 ,厂家的利润最大 . B组 提升题组 10.D 1=2x+2y 2 =2 (当且仅当 2x=2y时等号成 立 ), , 2x+y , x+y -2. 11.C 易知圆心为 (1,2),由题意知圆心 (1,2)在直线 2ax+by-2=0上 , a+b=1, + = (a+b)=3+ + 3+2 .当且仅当 = , 即 a=2
9、- ,b= -1时等号成立 . 12.D = - =(a-1,1), = - =(-b-1,2), 若 A,B,C三点共线 , 则有 , (a-1) 2-1 (-b-1)=0, 2a+b=1, =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 a0,b0, + = (2a+b) =5+ + 5+2 =9, 当且仅当 即 a=b= 时等号成立 . 13.B 不等式 x+ 0,y0,且 + =1, x+ = = + +2 2 +2=4,当且仅当 = ,即 x=2,y=8时取等号 , =4,故 m2-3m4, 解得 m4. 实数 m的取值范围是 (- ,-1) (4,+ ),故选 B. 14. 答案 解析 x?
10、y+(2y)?x= + = = = + , x0,y0, + 2 = , 当且仅当 = ,即 x= y时等号成立 , 故所求的最小值为 . 15. 答案 4,12 解析 2xy=6-(x2+4y2),又 2xy , 6-(x2+4y2) , x2+4y2 4(当且仅当 x=2y时取等号 ).又 (x+2y)2=6+2xy 0,即 2xy -6, z=x2+4y2=6-2xy 12(当且仅当 x=-2y 时取等号 ).综上可知 ,4x2+4y2 12,即 z=x2+4y2的取值范围为 4,12. =【 ;精品教育资源文库 】 = 16. 解析 (1)设总造价为 f(x)元 ,污水处理池的宽为 x
11、 米 ,则长为 米 . 总造价 f(x)=400 +248 2x+80 162 =1 296x+ +12 960 =1 296 +12 960, x0, f(x) 1 296 2 +12 960=38 880, 当且仅当 x= ,即 x=10时取等号 . 当污水处理池的长为 16.2 米 ,宽为 10米时总造价最低 ,最低总造价为 38 880元 . (2)由限制条件知 x 16. 设 g(x)=x+ ,则 g(x)=1- ,因为 g(x)=1- 在 上恒大于零 ,故 g(x)在上是增函数 , 当 x= 时 ,g(x)取最小值 ,即 f(x)取最小值 ,为 1 296 +12 960=38 882. 当污水处理池的长为 16米 ,宽为 米时总 造价最低 ,最低总造价为 38 882元 .
