1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 33 讲 二元一次不等式 (组 )与简单的线性规划问题 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组 2了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组 3会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决 . 2017 全国卷 ， 7 2017 全国卷 ， 7 2017 全国卷 ， 5 2017 天津卷， 16 对线性规划的考查常以线性目标函数的最值为重点，兼顾考查代数式的几何意义，有时也考查用线性规划知识解决实际问题 . 分值： 5 分 1 二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，在平面直角坐标系中
2、，二元一次不等式 Ax By C 0 表示直线 Ax By C 0 某一侧的所有点组成的平面区域 (半平面 )_不包括 _边界直线，把边界直线画成虚线；不等式 Ax By C0 所表示的平面区域 (半平面 )_包括 _边界直线，把边界直线画成实线 (2)对于直线 Ax By C 0 同一侧的所有点 (x， y)，使得 Ax By C 的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，如果其坐标满足 Ax By C 0，则位于另一个半平面内的点，其坐标满足 _Ax By C0 表示的平面区域在直线 2x y 2 0 的下方 (2)错误当二元一次不等式组中的不等式所表示的区域没有公共部分时，就无法表示平面上
3、的一个区域 (3)正确当线性目标函数转化成的直线和某个边界重合时，最优解有无穷多个 (4)错误目标函数 z ax by(b0) 中， zb是直线 ax by z 0 在 y 轴上的截距 2 点 (3,1)和 ( 4,6)在直线 3x 2y a 0 的两侧，则 ( B ) A a 7 或 a 24 B 7 a 24 C a 7 或 a 24 D以上都不对 解析 点 (3,1)和 ( 4,6)在直线 3x 2y a 0 的两侧，说明将这两点坐标代入 3x 2y a 后，符号相反，所以 (9 2 a)( 12 12 a)1. 一 二元一次不等式 (组 )表示的平面区域 确定二元一次不等式 (组 )表
4、示的平面区域的方法 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)“ 直线定界，特殊点定域 ” ，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组若满足不等式组，则不等式 (组 )表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域若直线不过原点，特殊点一般取 (0,0)点 (2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线 【例 1】 (1)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为 ( A ) A? x y 10 ，x 2y 20 B ? x y 10 ，x 2y 20 C? x y 10 ，x 2y 20 D ? x y 1 0，x 2y 2 0 (2)若不等
5、式组? x y 20 ，x 2y 20 ，x y 2m0表示的平面区域为三角形，且其面积等于 43，则 m的值为 ( B ) A 3 B 1 C 43 D 3 解析 (1)两直线方程分别为 x 2y 2 0 与 x y 1 0. 由点 (0,0)在直线 x 2y 2 0 右下方， 可知表示的区域为 x 2y 20 ， 由点 (0,0)在直线 x y 1 0 左下方，可知表示的区域为 x y 10 ， 即? x y 10 ，x 2y 20 为所表示的可行域故选 A (2)作出可行域，如图中阴影部分所示，易求 A， B， C， D 的坐标分别为 A(2,0)， B(1m,1 m)， C? ?2 4
6、m3 ， 2 2m3 ， D( 2m,0) S ABC S ADB S ADC 12| |AD | |yB yC =【 ;精品教育资源文库 】 = 12(2 2m)? ?1 m 2 2m3 (1 m)? ?1 m 23 43， 解得 m 1 或 m 3(舍去 ) 二 线性目标函数的最值问题 (1)求线性目标函 数的最值线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值 (2)由目标函数的最值求参数求解线性规划中含参问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题
7、的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数 (3)利用可行域及最优解求参 数及其范围利用约束条件作出可行域，通过分析可行域及目标函数确定最优解的点，再利用已知可求参数的值或范围 【例 2】 (1)设变量 x， y 满足约束条件? x y 20 ，2x 3y 60 ，3x 2y 90 ，则目标函数 z 2x 5y的最小值为 ( B ) A 4 B 6 C 10 D 17 (2)x， y 满足约束条件? x y 20 ，x 2y 20 ，2x y 20 .
8、若 z y ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为 ( D ) A 12或 1 B 2 或 12 C 2 或 1 D 2 或 1 解析 (1)由线性约束条件画出可行域 (如图 (1)中阴影部分 ) 当直线 2x 5y z 0 过点 A(3,0)时， zmin 23 50 6.故选 B 图 (1) 图 (2) =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)作出可行域 (如图 (2)所示的 ABC 及其内部 ) 由题设 z y ax 取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数取最大值时，对 应的直线与可行域某一边界重合 又 kAB 1， kAC 2， kBC 12， a 1 或 a 2 或
9、a 12， 验证： a 1 或 a 2 时，满足题意； a 12时，不满足题意故选 D 三 非线性目标函数的最值问题 非线性目标函数常见类型的几何意义 (1)(x a)2 (y b)2为点 (x， y)与点 (a， b)距离的平方 (2)y bx a为点 (x， y)与点 (a， b)连线的斜率 (3)|Ax By C|是点 (x， y)到直线 Ax By C 0 的距离的 A2 B2倍 【例 3】 (1)(2018 山东德州期中 )已知实数 x， y 满足? x0 ，y0 ，x3y41 ，则 y 1x 1的取值范围是 ( C ) A ? ? 16， 5 B 1,5 C ? ?14， 5 D
10、0,5 (2)(2018 江西宜春樟树中学月考 )若实数 x， y 满足不等式组? x1 ，x y 10 ，2x y 20 ，则x2 y2的最小值为 _5_. (3)已知实数 x， y 满足? x 2y 10 ，x2 ，x y 10 ，则 z |x 2y 6|的最大值与最小值之差为 _5_. 解析 (1)由约束条件? x0 ，y0 ，x3y41作出可行域如图所示 =【 ;精品教育资源文库 】 = 可得 A(3,0)， B(0,4)， y 1x 1的几何意义为可行域内的动点 (x， y)与定点 P( 1， 1)连线的斜率 kPA 14， kPB 5， y 1x 1的取值范围为 ? ?14， 5
11、.故选 C (2)先根据约束条件? x1 ，x y 10 ，2x y 20画出可行域，如图 z x2 y2表示可行域内的点到原点距离的平方，由图知，当在点 A(1,2)时， z 的最小值为 12 22 5. (3)画出满足条件的可行域，如图所示，因为 z |x 2y 6| 5 |x 2y 6|5 表示可行域内点 P(x， y)到直线 x 2y 6 0 的距离的 5 倍，由图象知点 A 到直线 x 2y 6 0的距离最小，点 B 到直线 x 2y 6 0 的距离最大，且点 A? ?2， 32 ，点 B(2， 1)，所以 zmin 5 ? ?2 2 32 65 1， zmax 5|2 2 ? 1?
12、 6|5 6，所以 zmax zmin 5. 四 线性规划的实际应用 解线性规划应用题的一般步骤 第一步：分析题意，设出未知量； =【 ;精品教育资源文库 】 = 第二步：列出线性约束条件和目标函数； 第三步：作出可行域并利用数形结合求解； 第四步：将数 学问题的答案还原为实际问题的方案 【例 4】 (2016 天津卷 )某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要 A， B， C 三种主要原料生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示 . 原料 肥料 A B C 甲 4 8 3 乙 5 5 10 现有 A 种原料 200 吨， B 种原料 360 吨， C 种原料 3
13、00 吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 3 万元分别用 x， y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数 (1)用 x， y 列出满足生产 条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润 解析 (1)由已知， x， y 满足的数学关系式为? 4x 5y200 ，8x 5y360 ，3x 10y300 ，x0 ，y0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分 (2)设利润为 z 万元，则目标函数为 z 2x 3y.考虑 z
14、2x 3y，将它变形为 y 23x z3，这是斜率为 23，随 z 变化的一族平行直线， z3为直线在 y 轴上的截距，当 z3取最大值时，z 的值最大又因为 x， y 满足约束条件，所以由图 2 可知，当直线 z 2x 3y 经过可行域=【 ;精品教育资源文库 】 = 上的点 M 时，截距 z3最大，即 z 最大 解方程组? 4x 5y 200，3x 10y 300， 得点 M 的坐标为 (20,24) 所以 zmax 220 324 112. 故生产甲种肥 料 20 车皮、乙种肥料 24 车皮时利润最大，且最大利润为 112 万元 1 (2017 全国卷 )设 x， y 满足约束条件? 2x 3y 30 ，2x 3y 30 ，y 30 ，则 z 2x y 的最小值是 ( A ) A 15 B 9 C 1 D 9 解析 依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线 2x y 0(图略 )，平移直线 y 2x，当直线经过点 ( 6， 3)时，其在 x 轴上的截距达到最小，此时 z 2x y 取得最小值 zmin 2( 6) (
