1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第八节 直线与圆锥曲线 A组 基础题组 1.直线 mx+ny=4和圆 O:x2+y2=4没有交点 ,则过点 (m,n)的直线与椭圆 + =1的交点个数是 ( ) A.至多一个 B.2 C.1 D.0 2.已知经过点 (0, )且斜率为 k的直线 l与椭圆 +y2=1 有两个不同的交点 P和 Q,则 k的取值范围是( ) A. B. C.(- , ) D.(-, - )( ,+) 3.过抛物线 y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于 A,B两点 ,它们的横坐标之和等于 2,则这样的直线( ) A.有且只有一条 B.有且 只有两条 C.有且只有三条 D.有且只有四
2、条 4.经过椭圆 +y2=1的一个焦点作倾斜角为 45 的直线 l,交椭圆于 A,B两点 .设 O为坐标原点 ,则 等于 ( ) A.-3 B.- C.- 或 -3 D. 5.抛物线 y2=4x的焦点为 F,准线为 l,经过 F且斜率为 的直线与抛物线在 x轴上方的部分相交于点A,AKl, 垂足为 K,则 AKF 的面积是 ( ) A.4 B.3 C.4 D.8 =【 ;精品教育资源文库 】 = 6.已知抛物线 x2=ay与直线 y=2x-2相交于 M,N两点 ,若 MN中点的横坐标为 3,则此抛物线方 程为 . 7.已知椭圆 C: + =1(ab0),F( ,0)为其右焦点 ,过 F且垂直于
3、 x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2,则椭圆 C的方程为 . 8.设双曲线 - =1的右顶点为 A,右焦点为 F.过点 F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B,则 AFB 的面积为 . 9.椭圆 C: + =1(ab0)过点 ,离心率为 ,左 ,右焦点分别为 F1,F2,过 F1的直线交椭圆于 A,B两点 . (1)求椭圆 C的方程 ; (2)当 F 2AB 的面积为 时 ,求直线的方程 . 10.在直角坐标系 xOy中 ,直线 l:y=t(t0) 交 y轴于点 M,交抛物线 C:y2=2px(p0)于点 P,M关于点 P的对称点为 N,连接 ON并延长交 C于点 H. (1)求
4、 ; (2)除 H 以外 ,直线 MH 与 C是否有其他公共点 ?说明理由 . B组 提升题组 11.设抛物线 E:y2=4x的焦点为 F,直线 l过 F且与 E交于 A,B两点 .若 |AF|=3|BF|,则 l的方程为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.y=x-1或 y=-x+1 B.y= (x-1)或 y=- (x-1) C.y= (x-1)或 y=- (x-1) D.y= (x-1)或 y=- (x-1) 12.已知抛物线 C:y2=8x与点 M(-2,2),过 C的焦点且斜率为 k的直线与 C交于 A,B两点 .若 =0,则 k= . 13.(2015北京朝阳一模 )已知
5、椭圆 C: + =1(ab0)的两个焦点分别为 F1(-2,0),F2(2,0),离心率为 .过点 F2的直线 l(斜率不为 0)与椭圆 C交于 A、 B两点 ,线段 AB 的中点为 D,O为坐标原点 ,直线 OD交椭圆于M,N 两点 . (1)求椭圆 C的方程 ; (2)当四边形 MF1NF2为矩形时 ,求直线 l 的方程 . 14.(2016北京丰台一模 )已知椭圆 C: + =1(ab0)过点 A(2,0),离心率 e= ,斜率为 k(02,m 2+n20,解得 k ,即 k的取值范围是 .故选 B. 3.B 2p=2,|AB|=x 1+x2+p,|AB|=32p, 故这样的直线有且只有
6、两条 . 4.B 依题意 ,当直线 l经过椭圆的右焦点 (1,0)时 ,其方程为 y-0=tan 45(x -1),即 y=x-1,代入椭圆方程 +y2=1并整理得 3x2-4x=0,解得 x=0或 x= ,所以两个交点坐标分别为 (0,-1), , =- ,同理 ,直线 l经过椭圆的左焦点时 ,也有 =- . 5.C y 2=4x,F(1,0), 准线 l:x=-1, 过焦点 F且斜率为 的直线 l1的方程为 y= (x-1),与 y2=4x联立 ,解得 或 由题易知 A(3,2 ),AK=4, S AKF = 42 =4 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 6. 答案 x2=3y 解析
7、设点 M(x1,y1),N(x2,y2). 由 消去 y,得 x2-2ax+2a=0, 所以 = =3,即 a=3, 因此所求的抛物线方程是 x2=3y. 7. 答案 + =1 解析 由题意得 解得 椭圆 C的方程为 + =1. 8. 答案 解析 易知 c=5,取过点 F且平行于一条渐近线的直线方程为 y= (x-5),即 4x-3y-20=0,联立直线与双曲线方程 ,求得 yB=- ,则 S= (5 -3) = . 9. 解析 (1)因为椭圆 C: + =1(ab0)过点 , 所以 + =1. 又因为离心率为 ,所以 = , =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 = . 联立 解得 a2=
8、4,b2=3. 所以椭圆 C的方程为 + =1. (2)当直线的倾斜角为 时 ,A , B , 则 = |AB|F 1F2|= 32=3 . 当直线的倾斜角不为 时 ,设直线方程为 y=k(x+1), 代入 + =1得 (4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=- ,x1x2= , 所以 = |y1-y2|F 1F2| =|k| =|k| = = , 所以 17k4+k2-18=0, 解得 k2=1 ,所以 k=1, 所以所求直线的方程为 x-y+1=0或 x+y+1=0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 10. 解析 (1)
9、由已知得 M(0,t),P . 又 N为 M关于点 P的对称点 , 故 N ,ON的方程为 y= x,代入 y2=2px整理得 px2-2t2x=0, 解得 x1=0,x2= . 因此 H . 所以 N为 OH 的中点 ,即 =2. (2)直线 MH与 C除 H以外没有其他公共点 . 理由如下 : 直线 MH 的方程为 y-t= x, 即 x= (y-t). 代入 y2=2px得 y2-4ty+4t2=0,解得 y1=y2=2t,即直线 MH与 C只有一个公共点 ,所以除 H以外直线 MH与 C没有其他公共点 . B组 提升题组 11.C 设直线 AB 与抛物线的准线 x=-1交于点 C.分别
10、过 A、 B作 AA1垂直准线于 A1,BB1垂直准线于 B1,由抛物线的定义可设 |BF|=|BB1|=t,|AF|=|AA1|=3t.由三角形的相似得= = ,|BC|=2t,B 1CB= , 直线的倾斜角为 或 . 又 F(1,0), 直线 AB 的方程为 y= (x-1)或 y=- (x-1).故选 C. =【 ;精品教育资源文库 】 = 12. 答案 2 解析 如图所示 ,设 F为焦点 ,取 AB的中点 P,过 A,B分别作准线 l的垂线 ,垂足分别为 G,H,连接 MF,MP,由 =0,知 MAMB, 则 |MP|= |AB|= (|AG|+|BH|),所以 MP为直角梯形 BHG
11、A的中位线 ,所以MPAGBH, 所以 GAM=AMP=PAM, 又 |AG|=|AF|,AM为公共边 ,所以 AMGAMF, 所以AFM=AGM=90, 则 MFAB, 所以 k=- =2. 13. 解析 (1)由题意可知 解得 a= ,b= . 故椭圆 C的方程为 + =1. (2)由题意可知直线 l的斜率存在 ,设为 k,则其方程为 y=k(x-2)(k0), 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(-x3,-y3), 由 得 (1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0, 所以 x1+x2= , =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 y1+y2=k(x1+x2-4)= , 所以 AB 的中点 D的坐标为 , 因此直线 OD 的方程为 x+3ky=0(k0). 由 得 M,N点的坐标为 , . 因为四边形 MF1NF2为矩形 , 所以 =0, 即 (x3-2,y3)( -x3-2,-y3)=0, 所以 4- - =0. 所以 4- =0,解得 k= . 故直线 l的方程为 y= (x-2). 14. 解析 (1)由已知得 a=2, 因为 e= = ,所以 c=1, 由 a2=b2+c2,得 b= , 所以椭圆 C的标准方程为 + =1. (2)设 G(x1,y1),H(x2,y2), 由题意知直线 l:y=kx+2,B .
