1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第五节 椭圆 A组 基础题组 1.已知方程 + =1表示焦点在 y轴上的椭圆 ,则实数 k的取值范围是 ( ) A. B.(1,+) C.(1,2) D. 2.椭圆 + =1上一点 M到焦点 F1的距离为 2,N是 MF1的中点 ,则 |ON|等于 ( ) A.2 B.4 C.8 D. 3.设 F1,F2分别是椭圆 C: + =1(ab0)的左 ,右焦点 ,点 P在椭圆 C上 ,线段 PF1的中点在 y轴上 ,若PF 1F2=30, 则椭圆 C的离心率为 ( ) A. B. C. D. 4.已 知椭圆 E: + =1(ab0)的右焦点为 F(3,0),过点 F
2、 的直线交 E于 A,B两点 .若 AB的中点坐标为(1,-1),则 E的方程为 ( ) A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1 5.已知椭圆 C: + =1的左 ,右焦点分别为 F1,F2,椭圆 C上的点 A满足 AF2F 1F2.若点 P是椭圆 C上的动点 ,则 的最大值为 ( ) A. B. C. D. 6.直线 x-2y+2=0过椭圆 + =1 的左焦点 F1和一个顶点 B,则椭圆的方程为 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 7.如图 ,椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 F1、 F2,点 P在椭圆上 ,若 |PF1|=4,F 1PF2=120, 则 a的值为
3、 . 8.(2016 北京西城一模 )已知椭圆 C: + =1(m0)的长轴长为 2 ,O为坐标原点 . (1)求椭圆 C的方程和离心率 ; (2)设动直线 l与 y轴相交于点 B,点 A(3,0)关于直线 l的对称点 P在椭圆 C上 ,求 |OB|的最小值 . 9.(2017 北京 ,19,14分 )已知椭圆 C的两个顶点分别为 A(-2,0),B(2,0),焦点在 x轴上 ,离心率为 . (1)求椭圆 C的方程 ; (2)点 D 为 x轴 上一点 ,过 D作 x轴的垂线交椭圆 C于不同的两点 M,N,过 D作 AM的垂线交 BN于点 E.求证 :BDE 与 BDN 的面积之比为 45. B
4、组 提升题组 =【 ;精品教育资源文库 】 = 10.已知椭圆 E: + =1(ab0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直线 l:3x-4y=0交椭圆 E于 A,B两点 .若 |AF|+|BF|=4,点 M到直线 l的距离不小于 ,则椭圆 E的离心率的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 11.已知椭圆 + =1(ab0)上的动点到焦点的距离的最小值为 -1,以原点为圆心、椭圆 的短半轴长为半径的圆与直线 x-y+ =0 相切 ,则椭圆 C的方程为 ( ) A. + =1 B. + =1 C. +y2=1 D. + =1 12.已知椭圆 + =1(ab0)的离心率等于 ,其焦点分别
5、为 A,B,C为椭圆上异于长轴端点的任意一点 ,则在 ABC 中 , 的值等于 . 13.(2017北京朝阳二模 )已知椭圆 W: + =1(b0)的一个焦点的坐标为 ( ,0). (1)求椭圆 W的方程和离心率 ; (2)若椭圆 W与 y轴交于 A,B 两点 (A点在 B点的上方 ),M 是椭圆上异于 A,B的任意一点 ,过点 M作 MNy轴于 N,E为线段 MN 的中点 ,直线 AE与直线 y=-1交于点 C,G为线段 BC的中点 ,O 为坐标原点 ,求 OEG 的大小 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 14.(2017北京西城一模 )如图 ,已知椭圆 C: + =1(ab0)的离心率
6、为 ,F为椭圆 C的右焦点 .A(-a,0),|AF|=3. (1)求椭圆 C的方程 ; (2)设 O 为原点 ,P为椭圆上一点 ,AP的中点为 M.直线 OM与直线 x=4交于点 D,过 O作 OEDF, 交直线 x=4于点 E.求证 :OEAP. 答案精解精析 A组 基础题组 1.C 方程 + =1表示焦 点在 y轴上的椭圆 , 解得 故 k 的取值范围是 (1,2). 2.B 设椭圆的另一个焦点为 F2. 如图 ,连接 MF2,已知 |MF1|=2, 又 |MF1|+|MF2|=10, =【 ;精品教育资源文库 】 = |MF 2|=10-|MF1|=8. 由题意知 |ON|= |MF2
7、|=4.故选 B. 3.A 如图 ,设 PF1的中点为 M,连接 PF2. 因为 O为 F1F2的中点 , 所以 OM 为 PF 1F2的中位线 . 所以 OMPF 2, 所以 PF 2F1=MOF 1=90. 因为 PF 1F2=30, 所以 |PF1|=2|PF2|. 由勾股定理得 |F1F2|= = |PF2|, 由椭圆定义得 2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|?a= ,2c=|F1F2|= |PF2|?c= , 则 e= = = . 4.D 直线 AB的斜率 k= = , 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 - 得 =- . 即 k=- , =【 ;精品教育资源文库
8、】 = = . 又 a2-b2=c2=9, 由 得 a2=18,b2=9. 椭圆 E的方程为 + =1,故选 D. 5.B 由椭圆方程知 c= =1, 所以 F1(-1,0),F2(1,0), 因为椭圆 C上的点 A满足 AF2F 1F2, 所以可设 A(1,y0), 代入椭圆方程可得 = ,所以 y0= .设 P(x1,y1),则 =(x1+1,y1), =(0,y0),所以 =y1y0,因为点 P 是椭圆 C上的动点 ,所以 - y 1 , 故 的最大值为 ,选 B. 6. 答案 +y2=1 解析 直线 x-2y+2=0与 x轴的交点为 (-2,0),即为椭圆的左焦点 ,故 c=2. 直线
9、 x-2y+2=0与 y轴的交点为 (0,1),即为椭圆的上顶点 ,故 b=1. 所以 a2=b2+c2=5, 所以椭圆的方程为 +y2=1. 7. 答案 3 解析 由题意知 |F1F2|=2 ,因为 |PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a,所以 |PF2|=2a-4,在 F 1PF2中 ,由余弦定理得 cos 120= =- ,解得 a=3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 8. 解析 (1)因为椭圆 C: + =1, 所以 a2=3m,b2=m, 故 2a=2 =2 ,解得 m=2, 所以椭圆 C的方程为 + =1. 因为 c= =2, 所以离心率 e= = . (2)由题意 ,直
10、线 l的斜率存在 , 设点 P(x0,y0)(y00), 则线段 AP的中点 D的坐标为 , 且直线 AP的斜率 kAP= , 由点 A(3,0)关于直 线 l的对称点为 P,得直线 lAP, 故直线 l的斜率为 - = ,且过点 D, 所以直线 l的方程为 y- = , 令 x=0,得 y= ,则 B , 由 + =1,得 =6-3 , 化简得 B . 所以 |OB|= =|y0|+ =【 ;精品教育资源文库 】 = 2 = . 当且仅当 |y0|= , 即 y0= - , 时等号成立 . 所以 |OB|的最小值为 . 9. 解析 本题考查椭圆的方程和性质 ,直线的方程等知识 ,考查运算求解
11、能力 . (1)设椭圆 C的方程为 + =1(ab0). 由题意得 解得 c= . 所以 b2=a2-c2=1. 所以椭圆 C的方程为 +y2=1. (2)证明 :设 M(m,n), 则 D(m,0),N(m,-n). 由题设知 m2, 且 n0. 直线 AM 的斜率 kAM= ,故直线 DE的斜率 kDE=- . 所以直线 DE 的方程为 y=- (x-m), 直线 BN 的方程为 y= (x-2). =【 ;精品教育资源文库 】 = 联立得 解得点 E的纵坐标 yE=- . 由点 M在椭圆 C上 ,得 4-m2=4n2. 所以 yE=- n. 又 SBDE = |BD|y E|= |BD|
12、n|, SBDN = |BD|n|, 所以 BDE 与 BDN 的面积之比为 45. B组 提升题组 10.A 直线 l:3x-4y=0过原点 ,从而 A,B两点关于原点对称 ,于是 |AF|+|BF|=2a=4,所以 a=2.不妨令M(0,b),则由点 M(0,b)到直线 l的距离不小于 ,得 ,即 b1. 所以 e2= = = ,又 0e1, 所以 e ,故选 A. 11.C 由题意知 a-c= -1,b= =1,所以 a2-c2=1, 联立 , 解得 所以椭圆 C的方程为+y2=1.故选 C. 12. 答案 3 解析 在 ABC 中 ,由正弦定理得 = ,因为点 C在椭圆上 ,所以由椭圆
13、定义知|CA|+|CB|=2a,而 |AB|=2c,所以 = = =3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 13. 解析 (1)依题意得 ,a=2,c= , 所以 b2=a2-c2=1, 则椭圆 W的方程为 +y2=1. 离心率 e= = . (2)设 M(x0,y0),x00, 则 N(0,y0),E . 因为 A(0,1),所以直线 AE的方程为 y-1= x. 令 y=-1,得 C . 又 B(0,-1),G为线段 BC的中点 , 所以 G . 所以 = , = , 所以 = +y0(y0+1)= - + +y0. 因为点 M在椭圆 W上 , 则 + =1, 所以 =4-4 . 所以 =1- +y0=1-y0-1+y0=0,
